VI. Homologies entre les cycles

Vinsi tous iio> e\ eles peuvent >e ramener à S( 11) ou à unc)cle de la lorme(^i). Tous les cycles (pic 1 on peut loinier ainsi sont-ils distincts? Poule coud)inaison de S((i) el de cycles de la lorme ( i) est elle-même une combinaison de la forme (i) et, par conséquent, en tous ses points )■ est nul ou ajqiartlent à 1 une des coupures. Est-il possible qu'une pareille combinaison soil homologue à zéro? C'esl-à-dire existe-t-il une \ariété à Irois dimensions W doTil une pareille combinaison forme la frontière complèlc?

Soit \\ une paredle xaricli'. soil ) „ une xaleur île r n ap|)artenanl pas à l'une des cou|)iires: soit \\ ()„) 1 ensemble des points de ^^ pour lesquels )- = '>oi alors \\ ( )■()) formera une ligne ou variété à une dimension. Celle ligne W ()o) peut-elle aboutir à un point d'arrêt? Non, car ce point darrèl appartiendrait à la frontière de VV, ce qui est impossible, puisque, pour tous les points de celle fronlière. )' est nul ou se trouve sur l'une des coupures et ne |ieut, par eonséquenl, (Hre éi;al à )(,• A moins que ce point darrèl ne soit 1 un des /// |iiiints eommnus à loutes les siirlace> de Riemann S( )) el (iiil vont donnés, cuniine nous l'axons \u plus liaul. par l'écpialion

St)lenl (^i, (^j. . . . , ()„, ces /» points.

iin.si. W ( )|| ) st' (oiiiposera de cycles fernics et de li^'/ies allant de l'un des points () i( lin autre.

La llgnj' W ( 1(1 ) apparlieni à la surface S( y,, ): considérons sur la surface S(i"|) les points qui eorrespomlenl à ceux de W(i|)) en veilu de la lui de cor-

Ô2& SUn LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

respondance adoptée plus Iiaut; soil W()-(|, j/-,) l'ensemble de ces points. Je dis que lu ligne \^ (,>o..;)'i) l'estera toujours homologue à elle-même sur la surface S( )-,) quand r, restant constant on fera varier Vo- Si en ellel )o varie d'une façon continue, W(>'o) et par conséquent W( )o, ,^'^) varieront d'une façon continue, sans quoi le W(j'o) pour lequel une discontinuité se produirait devrait ap|)arienir à la frontière de W.

11 résulte de là par exemple que, s'il y avait des valeurs de y pour lesquelles W n'admette aucun point, W(ro) y^) devrait être constamment homologue à zéro sur S(j)i) et que, par conséquent, il en sera de même de ^^ ( To ) sur

S(jo).

De quoi va alors se composer la frontière de W? Lorsque i,, approchera d'un point r, de l'une des coupures, la ligne W(}o, .)i), toujours homologue à elle-même sur S()-,), tendra vers W(r,, i,) et W( )„) tendra vers W(r/), de telle façon que W (r,. Vi) soit le lieu des points de •S( )•,) qui correspondent aux diffiTcnls points de \^ (r,) sur S(r/). Quand maintenante^» approchera du même poini p;ir raulre lèvre de la coupure, la ligne W()'o, J'i) tendra vers W(-/','. )-,) et la ligne \\ ( Iq ) tendra \i'rs ^V(r,'). En général. \V(r,) ne sera pas homologue à W(r/), car les poinis de W (r/, )',"> sont les points de S( )',) qui corres|)ondent à ceux de W(yî) considérés comme appartenant à S(r,); les points de W(r/, y,) sont les points de S(j'i) ([ui correspondent à ceux de AV(r/) considérés comme appartenant à S(r/). Alors, bien que ^^"(v), )-,) soit liomologLic à ^^ (r/, )■, ) sur S(y,), il n'en résulte pas que \V'(r)) soit homologue à W (r/) sur S(ri).