I-a frontière de \\ sera alois engendrée par les cvcics

quand DU lait décrire successivement à // toutes les coupures. Quand ou fera vaiier r, depuis d jusc|uà Z/, le long de la coupure Osa, le cycle W (r)) — W(r)'), (|ui devra s'évanouir pour/, = :/,, engendrera un doigt A(£a). La frontière de W esl donc bien un lAclc de la forme (r).

Combien pouvons-nous obtenir, de cette façon, d'homologies entre les cycles de la forme (i)?

Tout dépond de l'hypothèse faite au sujet de la ligne W [y^. y,). Il esl clair <(ue, si l'on remplace cette ligne par une autre (|ui lui soit homologue sur S( ),), les deux honudogies cpie l'on obtiendra ainsi ne seront [)as distinctes.

La ligne W ()•„. )|) pourra se composer de l'un des i/i c\ clés de la surface

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES UOl DLES. 5^7

de Riemami S( >i), un (l'une ligne allant sur celle surface de i), à lun des //( — I autres points Qj. (^3, . . ., Q,„, ou d'une combinaison de ces lignes: aucune autre livpollièse n'est possible. D'ailleurs, si l'on envisage deux lignes allant de Qi à Qj, il suffira de considérer la première, car la réunion de ces deux lignes formerail un cvcle. Cela nous fait donc en tout 2/'+ m — • 1 liomologies.

Ces homologies sont-elles toutes distinctes? Si le c\cle

est homologue à zéro sur S(r,) et cela sur toutes les coupures, il est clair que l'homologie correspondant à ^^ se réduit à une identité. En effet, dans ce cas, les doigts A(£^) qui figurent dans le premier membre de l'homologie S((^o)-(- 7 Ai£a)^^o sont iiomologues à zéro, plus une portion de S(<i); il reste donc S|(o)'^ o, S| (o) étant une portion de S(o); mais, comme une variété ne peut èlro iiomologue à zéro sans être fermée, cette homologie doit se réduire soit à une identité, soit à S(o)r^(j. Cette dernière liv|)ollu'se doit être rejetée puisque S(u) n'est pas homologue ù zéro. Si l'on peut former ainsi q homologies se réduisant à des identités, il n'\ aura plus que

■>.p -4- m — q — 1 homologies distinctes.

Si W(j-||) est un cvcle. il faut que \\ (v/)'^ \N ro ), c'est-à-dire (jue le cycle ne soit pas altéré quand )' tourne autour du point singulier cyj et qu'il en soit de même pour tous les autres points singuliers. Il faut, en d'autres termes, rpie \\ ( Ko) soit ce que nous avons appelé, dans le Mémoire cité, un cycle invarniiil', nous aurons donc d'abnril autant il iidumlo^^ie-. identiques que de c\cles invariants, c est-à-dire. li'après le Méinoire cité, autant que de cxcles à trois dimensions, ou encore autant que de c\cles à une dimension.

^ en a-t-il d'autres? Supposons que la ligne W(j'|,) aboutisse à un point Q,, considérons la portion d(> la variété à quatre dimensions V voisine de Q, ; soit M un [Hiint de \ inliniment voisin de (J,; soit H le plan tangent à la variété V au point Q, ; ce sera une variété plane à quatre dimensions appartenant à l'espace plan à plus de quatre dimensions, dans lequel nous supposons \ tracée; la droite MQi, si les deux points M et Q, sont infiniment voisins, sera dans le plan II. Portons alors sur la droite MQ, une longueur égale à i à partir de Qi et soit IKAIi le point ainsi obtenu; les points HfM) appartiendront à l'hypersphère de rayon 1 et de centre (^|, (ui |iliilôl à rinleisect Ion de celle

h}pers[jlière et du plan H, iiilersection que j'appelle J et qui est une Miriélé hvperspliérique II à trois dimensions. Si deux points M et M' sont de part et d'autre de Qi, de telle façon que les deux droites MQ, et Q, M' soient dans le ])rolongenienl l'une de l'autre, les deux points H(M)el H(M') seront diamétralement opposés sui- J.

Considérons maintenant les points M de \\ (|ui sont 1res voisins de Q,; ic^ 11(^1) Correspondants engendrei-ont une vaiiété à deux dimensions H(W) située sur J; considérons de même les points M très voisins de Qi et lels que )■ = )ol les 11(^1) correspondants engendreront une variété à une dimension Il(ro) située sur J. Enfin les |)oints de ^^ ( )'o) donneront des ll(M) en nondjre fini el dont l'ensemble pourra s'appeler ll(\\ ,1,,). !^i alors un point appartient à H( )„), il en sera de même du point diaméiralement opposé.

Au contraire, si un poinl appai-lient à II ( W . )i, i, il n'en sera pas de même du point diamétralement oppost', puis(jue par lixpolhése la ligne \\ ( (i, ) s arrête au poinl Q) et ne se prolonge pas au delà. Donc, si un point appartient à H(W), il n'en sera pas de même du point diamétralement opposé, sans quoi nous aurions deux |)()ints diamélialemenl opposés sur un même ll(\\ , ) „ 1-

Si la ligne Wf),,) doil mius conduiic à une honiologie >e réduisani à une identité, nous venons de voir(|ue\\ (r/i doit être homologue à \\ (^r,' ) sur S(r,). .le puis sans restreindre la généralité supposer que \\ (r,) est non seulement liomologue, mais identique à \A (r/). Si, en effet, il en était aulremenl. soit C(r/) la portion de S(ï)) limitée par le evcle W (r,) — \\ (r; ) homologue à zéro. Soit P(îa) la variété à trois dimensions engendrée par C(rj ) quand r, varie de zéro à £a en sui\anl la coupure: elle est limitée p>ir l'ensemble des cveles

(pii la séparent de W , r[ par Ci O. J/, ). en désignant par C( O, £/,) la limite vers huiui'lle tend (j(y, ) ipiand /, Icnd xers /éro rn suivant la coupure Oc/,. Il est clair (jue C(0, ca) esl une |kii tion de .S( o ).

Envisageons alors la variété à trois dimensions

où la sommation indiquée |)ar le signe ^ est étendue aux dillérenles coupures. La variété W a\ait |)our Irontiére l'ensendjle des cveles

SUB LES PÉRIODES DES INTÉGHALES DOUBLES. Sag

plus une partie de S(o), la variété VP(ea) avait pour frontière l'ensemble des cycles W(yj)— W(r/) plus VC(0, et) qui est une partie de S(o). Quand

nous annexons les deux variétés l'unu à l'autre, la partie commune do la frontière disparait, de sorte que la frontière complète fait partie de S(o). Comme cette frontière complète doit être une variété fermée à deux dimensions, ou

bien elle se réduira à zéro, de sorte que W + 'Vp(£;,) est une variété fermée,

ou bien elle sera la surface S(o) tout entière, ce qui est très possible puisque cette surface n'est pas homologue à zéro.

Ainsi, \V+^P(£a) est une variété /ermée à trois dimensions: il est vrai

qu'elle présente une circonstance toute particulière, puisque pour certaines valeurs dey, à savoir les valeurs )• = n, les points de celte variété pour lesquels )/- = r, forment non plus une ligne, mais une variété à deux dimensions C(rj). Mais il suffit de déformer infiniment peu notre variété pour faire cesser cette circonstance gênante. Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer que W est une variété fermée et, par conséquent, que W(r;) est identique à W(r/).

Alors H(W) est une variété fermée; supposons d'abord que Q, soit l'extrémité d'une des branches de la ligne W(yo) et n'appartient à aucune autre branche de cette ligne; il suffit évidemment que cela ait lieu pour une valeur de yo pour que cela ait lieu pour toutes. Dans ce cas H(\V ) a un seul point commun a\ec H( )•„); ce sont deux variétés fermées l'une à deux, l'autre à une dimension tracées sur l'hypersphère H. Si elles n'ont qu'un point commun, c'est (ju'elles ne sont ni Tune ni l'autre homologues à zéro sur II; or cela esl absurde puisque H esl simplement connexe.

Prenons un cas plus général; chacune des branches de W(j-q) peut être parcourue dans deux sens opposés; nous distinguerons donc un sens positif et un sens' négatif. D'autre part nous attribuerons un signe à l'intersection de H(W) et de H(j'o) [d'après le signe d'un certain déterminant ainsi qu'il a été expliqué dans VAnalysis sitiis (Journal de l'Ecole Polytechnique, a'" série, I''' Cahier, p. 33 et suiv.)]. Supposons donc que p branches de W {yo) aboutissent à Q, de façon que Q, soit à \n fin de la branche quand on décrit cette branche dans le sens positif, et n branches quand on décrit la branche dans le sens négatif.

Alors H(W) et H(j-„) admettront j) intersections positives et n négatives. H. p. — III. G7

53o SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

Ou bien alors l'excès p ■ — /; ne sera pas nul, ce qui est impossible parce qu'on pourrait avoir H( W) ^^ o sur H et que H est simplement connexe; ou bien cet excès sera nul et alors la ligne W( Jq) pourra être remplacée par une autre ne passant pas par Q,.

Il est donc impossible qu'il existe une variété \V satisfaisant aux condilions énoncées; il n'y a donc pas d'autre homologie identique que celles que l'on déduit des cycles invariants.

En résumé, soit N le nombre des points singuliers £|, £2, •••) en tenant compte du degré de multiplicité, un de ces points pouvant être doidde par exemple s'il correspond à deux cycles évanouissants.

Soit 2p le nombre des cycles de la surface de lliemann .S( )■).

Soit m le nouijjre des points tels que Q,, Q^, ....

Soit g le nombre des cycles invariants de S( j), ou, ce qui revient au même, le nombre des cycles à une ou à trois dimensions de F(o).

Nous aurons N doigts, tous nos cycles seront des combinaisons de la foruie ( 1 ), c'est-à-dire des combinaisons de ces N doigts et de S(o); mais toutes les combinaisons de ces N -|- i variétés ne conviennent pas; elles doivent satisfaire à la condition (2); celte condition, puisque S(o) admet 2/1 cycles, équivaut à 2p conditions simples. 11 reste ainsi N -)- i — 2/1 cycles.

Mais ces cycles sont liés par des honiologies, engendrées par les dillérentes lignes W(>'o) possibles; il y en a 2/) provenant des 2/> cycles fermés qu'on peut tracer sur S()'o); '1 J eu a /;( — i provenant des m — 1 lignes qui vont d'un point Q à un autre point Q. .Si ce» 2p -+- m — 1 honiologies sont distinctes, ce qui arrive en général, il reste

-M +2 — fip — m

cycles à deux dimensions distincts. Mais il y a r/ liomologies identiques, il y a donc finalement

CAcles à deux dimensions.