VII. — Application aux surfaces du troisième degré

Appliquons ces principes à la surface du troisième degré. Daus les paragraphes précédents, un rôle essentiel était joué par les surfaces de Riemann S(i') correspondant aux inlcrseclionsde la surface F = o avec le |i]au )'=eonsl.

SVR LIÎS PliniODES IIF.S INTK(;nALES 1)01 «LES. 53 1

Si nous prenons les coordonnées lioniogènes

ces plans )■ = con^t. passenl |)iir une droilc fixe située à l'infini et c|iii a pour équations )• = < = o. On ponirail ré|)i'ti;r la même analyse en taisant jouer le rôle de cotte droite )- ^ < ;= o à une droite (quelconque D, et le rôle des surfaces S(jk) aux surfaces de Riemann corresjiondant aux intersections de F= o avec les plans passant par D.

Cela revient à faire un changement de coordonnées télraédriques en prenant cette droite D pour l'une des arêtes du tétraèdre de référence. Tout étant projeclif, il est clair que le résultai doit rester le même quelle que soit la droite IJ, el l'on en comprendra d'ailleurs mieux les raisons en se reporlant à ('e (pu a été dit aux paragraphes 'i et 3.

L'application de la formule (3) doit conduire au même nondjre de cycles à deux dimensions, de quelque façon que soil choisie la droite D.

Mais, si ce résultat est certain a priori, il conduit à quelques paradoxes apparents el il est inléiessant de voir par quel mécanisme se tait la compensation. M. Picird, en éludianl une surface du troisième degré parliculière, sur laquelle nous reviendrons, avait déjà mis en évidence certaines propositions paradoxales, dont il avait donné l'explication.

Dans la formule (3), le nombre q représente le nondjre des cycles linéaires. Ce nombre est évidemment indépendant de la droite D. Il est d'ailleurs nid, comme l'a montré M. Picard, pour \n surface du troisième degré.

Le nombre N est le nombre des plans tangents que l'on peut mener à la surface par la droite D. Ce nombre est égal à 12 dans le cas le plus général.

Le nombre p est le genre de la courbe, interseclion de F = o par un |)lan passant par la droite D; il est égal à i .

Les points Q,, Q.,, . . . sont les intersections de la surface F = o el de la droite D; le nombre m est le nombre dv ces intersections. Il est égal à '.i dans le cas général. On a donc, dans le cas général,

rj = o, N = ri, /; = I, /)! = i

et, pour le nombre de cvclcs,

Supposons maintenant (pie la surface !<" = o, restant toujours la plus générale, la droite D prenne des |posil ions particulières.

532 Sun LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

Supposons d'abord que la droite D devienne tangente à la surface; deux des plans tangents menés par D se confondront et N se réduira à 1 1, mais deux des points d'intersection de D se confondront et m se réduira à 2. Le nombre

N -h ^ -i- 2 — I /< — III ne changera pas.

Supposons maintenant cpie Tun des plans tangents menés par D coupe la surface suivant une courbe préseninnt un point de rebroussement; ici encore deux plans tangents se confondront, mais il faut tenir compte du degré de multiplicité. Or nous avons vu que, dans le cas d'un rebroussement, il y a deux cycles évanouissants et que, par conséquent, le plan langent doit être regardé comme double; le nombre N reste donc égal à 12.

La surface F = o contient vingt-sept droites que nous appellerons les

pt aroites que nous appc

droites A. Supposons que D renconlre l'une des droites A. Le plan de D et de A coupe la surface suivant la droite A et une conique; c'est donc un jdan tangent double avec deux points de contact distincts.

Le nombre des plans tangents distincts se réduit donc à 1 1 , mais ce plan DA doit être regardé comme double; il n'y a, il est vrai, qu'un seul cycle évanouissant, mais la ccuirbe se décompose; cela fait donc deux doigis simples, l'un engendré par le cycle évanouissant, l'autre homologue à l'une des composantes de la surface de Riemann, donc I\ reste égal à 12.

Les divers plans menés par A coupent la surface suivant des coniques; deux de ces coniques touchent la droite A. Soient P, et Pj les plans de ces deux coniques et supposons que A soit dans le plan P,. Alors trois de nos douze plans tangents se confondent, les deux points de contact du plan langent DA, qui étaient distincts et équivalents à deux points doubles à tangentes séparées, se confondent en un seul, équivalent à un point de rebroussement. Nous avons cette fois deux cycles évanouissants, cela nous fait trois doigis simples dont deux correspondent à ces deux cycles et un est homologue à l'une des composantes de la surface de Riemann (composante relative à la droite, ou bien à la conique); donc le plan tangent P, doit être regardé comme triple et N reste égal à 12.

Ainsi voilà trois cas où le plan tangent correspond à deux, deux ou tmis plans tangents confondus : ce sont ceux où ce plan coupe la surface suivant une cubique à rebroussement, suivant une droite A et une conique qui la coupe, suivant une droite A et une conique qui la touche; nous venons de voir que ce plan doit être alors regardé comme double, double ou triple. Mais il

peut arriver que, dans l'un de ces trois cas, la droite D passe par le point de contact, c'est ce qui arrive respectivement si D touche la surface en un point où l'indicatrice est parabolique, si D coupe A en un point où cette droite rencontre la conique intersection du plan DA et de la surface F = o, si 1^ coupe A au point où cette droite touche la conique intersection de D A et de la surface. Lo plan tangent correspond alors à trois, trois ou quatre plans tangents confondus, et il reste double, double ou triple; le nombre N se réduit donc à 1 1, mais, comme D touChe la surface, le nombre m se réduit à 2, de sorte que la différence N — m et le nombre des cycles

N -- y — ■?. — f\p — m ne changent pas.

Si la droite D est une asymplole de Tindicalrice en un point de la surface, le plan tangent correspondant équivaut à trois plans tangents confondus; donc N se réduit à 10, mais, d'autre part, D coupe la surface en trois points confondus, de sorte que m se réduit à i et que la différence N — m ne change pas.

[1 peut se faire que, parmi les plans tangents menés par D, il y en ait deux ou plusieurs qui présentent séparément l'une des singularités que nous venons d'étudier; rien n'est à changer alors à ce qui précède. 11 peut arriver enfin que par la droite D on puisse mener un plan qui coupe la surface suivant trois droites A, qui soit par conséquent triplement tangent à la surface. Ce plan correspondra à trois plans tangents confondus. Quel est son degré de multiplicité, c'est-à-dire le nombre de doigts simples auxquels il correspond? 11 n'y a qu'un cycle évanouissant, mais la surface de Riemann S(ca) se décompose en trois parties S,(si), 'S^i'^k)-, ^i{^k) correspondant aux trois droites. Nous aurons donc trois doigts simples, le premier engendré parle cycle évanouissant, le deuxième homologue à S|(£/;) plus une partie de S(o), le troisième homologue à 82(6^) plus une partie de S(o). Le cycle qui serait homologue à 'ii{tk) plus une partie de S(o) n'est pas distinct des précédents, car, toutes les surfaces 'S( j) étant homologues entre elles, comme nous l'avons vu, on a

Si(s/.) + S,(c/,) + S3(a/,)~S(o),

de sorte tpi'une combinaison de nos trois doigts nous ramène au cycle S(r)). En résumé, ce plan triplement tangent, qui équivaut à trois plans tangents confondus, a pour degré de multiplicité .3, de sorte que N reste égal à la.

Il nous reste à examiner le cas où D est l'une des droites A. Alors D rencontre dix autres droites A, que j'appellerai A, et B,, Ao et Bo, A, et B3, A4 et B4, As et Bj.

Les droites A, et B, se rencontrent quel que soit i et il n'y a pas d'aiilrc rencontre entre les droites A et B. Par D on peut mener cinq plans tangents qui sont les cinq plans DA,B/; que sont devenus les sept autres plans tangents? Soit D' une droite très voisine de D; par D' nous pouvons mener douze plans tangents, dont cinq tendront vers les cinq plans 1)A,B,; vers quelles limites tendront les sept autres et les points de contact correspondants? Parmi les plans menés par D, il y en a deux P, et P^, qui coupent la surface suivant la droite D et une conique qui la touche. Eh hien, deux plans tangents tendront vers P, et deux vers P.j.

Il reste à voir ce que deviennent les trois plans tangents restants. Soient M, , M„, M!j les trois points d'intersection de D' avec la surface; quand D' tendra vers D, ces trois points tendront vers trois |)oints M,. INIj, M^ de i); eh hien, les points de contact des Iriiis plans tangents restants tendront vers M,, M.,, M3.

Quant aux cycles à deux dimensions correspondants, voici ce qu'ils deviennent. Considérons d'abord un plan tangent qui, à la limite, se réduit au plan A,B,D; la surface de Iliemann correspondant à l'intersection de ce plan et de la surface se décompose à la limite en trois parties correspondant aux trois droites A,, B,, D; le doigl correspondant est à la limite iiomologue à l'une de ces trois parties, par exemple à la surface de Riem.inn corresjiondant à la droite A, et que j'appellerai S(A/). ^'oilà donc déjà cinq de nos sept cycles correspondant aux cinq surfaces de Riemann S(A|), S(Ao), . . ., S( A:,). Les sept doigts correspondant aux sept autres plans tangents nous fourniront à la limite, pai- leur> combinaisons entre eux et av(^c S(o). un seul cycle nouveau (pii sera la surface de Riemann .S(l)); celle notation S(A,), S(D) ne peut engendrer aucune confusion avec S( j), puisque A, et D sont des droites et y une quantitt'. Il nous reste un dernier cycle qui est S(o), mais

S(<))~ S(D)-+-S(A,)-t-S(li/),

puisque S(o) est homologue à la surface de Riemann correspondant à l'intersection de la surface avec un plan (pielconque, et que, quand ce plan -est le plan l)A,B,, cette surface de Riemann se décompose en S(l)), S(A,), .S(B,). lui conséqueuee, tons les cycles à deux dimensions de F := o sont homologues à des combinaisons des sept cycles suivants :

S(n), S(A,), S(A,), S(A;,), S(AO, S(A5), S(B,),

qui ne sont antre chose que des surfaces de Riemann correspondant à sept des vingt-sept droites A.

suit LES PÉRIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 535

Quelques mots mainlenani sur les interseclions muluelles de ces eycles ; quel est rexcès du nombre des interseclions positives sur celui des intersections négatives, en ad<)|)tant le point de vue du paragraphe !J de V .■tii(tl]sis silus (Journal de l' Ecolr Pulytecluiique^ 2' série, I" Cahier, p. 33)? Si nous considérons deux surfaces de Riemann S()'| ) et ^{y-^), cet excès sera évidemment 3; si nous considérons deux surfaces de Piiemann S(A, ) et SfAn) corresponilanl à deux droites A, cet excès sera 1 ou zéro, siii\an[ que ces deux droites se rencontreront ou non. Si nous considérons deux cycles K, el K-.. , nous représenterons cet excès par \(K|, K^); si alors

on aura également

\( K,. K,) = rS(K'|. Ko).

Si maintenant

K.. ~ n„ S( l> I + 1/1, S( -V, ) -+- //,■, S( I5| ). il viendra

N(K,. k,) = «„ÎV[K,, S(D)1- i:«,N(k,. S( A, )] ^ »,; !\'[ K,. S(B,)], d'où cette conséquence que la connaissance des sept excès

suflit pour déterminer N(K|. Ko), K2 étant un cycle quelconque.

Soit, en particulier, K| = S(A,), K.j=.S(A2)5 -^1 et A^ étant deux quelconques des vingt-sept droites A; nous voyons que la connaissance du nombre des points d'intersection de A, avec D, les A; et B| suffit pour déterminer le nombre des interseclions de A| avec une droite quelconque Aj, c'est-à-dire j)our déterminer complètement la droite A,.

C'est, en effet, ce qu'il est aisé de vérifier; une des vingt-sept droites sera complètement déterminée quand on saura si elle rencontre une autre des vingtsept droites choisie au hasard D, et aussi si elle rencontre cintj autres des vingtsept droites qui rencontrent D sans se rencontrer entre elles.

On sait que les surfaces du troisième degré sont unicursales. Si en effet on 'prend deux des vingl-sept droites A qui ne se rencontrent pas, soient D et D'; quDn |)renne un point M sur D et un point M' sur D' ayant pour abscisse, par exemple, le premier «, le second r, la droite MM' rencontrera la surface en un troisième point M, dont les coordonnées sont des fonctions rationnelles de u et de V. De cette circonstance découlent des conséquences paradoxales sur lesquelles M. Picard a déjà appelé l'attention.

Si les valeurs de (/ et r correspondent à l'une des droites A,, Ao, A.i, A.,, A-,

qui rencontrent à la fois D et D', la droite MM' est toul entière sur la surface et les coordonnées du point M, deviennent indéterminées.

Si maintenant nous prenons un point M| sur la surface, les deux plans M, I) et M| D' se couperont suivant une droite déterminée MM', les points M et M' seront donc déterminés et, par conséquent, a et c seront fonctions rationnelles des coordonnées de M|. Si cependant le point M, était sur la droite D, le plan M| D ne serait alors autre chose que le plan tangent en M, et ce (jui précède subsisterait.

Le lieu des points ;< = oo est une conique C qui coupe D' en deux points et le lieu des points i = ao est une conicpie C qui coupe D en deux points.

Reprenons maintenant la variété V à quatre dimensions engendrée par la surface F = o; et sur cette variété un cycle K fermé à deux dimensions et non homologue à zéro. Soit W l'espace plan à quatre dimensions engendré par les deux variables complexes u, r; on pourrait d'abord être tenté de dire que, la surface étant unicursale, \ et W doivent être homéomor|)hes, qu'à tout cycle fermé K de V correspondra un cycle fermé K' de W; que, tous les cycles fermés de W étant homologues à zéro, il doit en être de même de tons les cycles fermés de V; ce qui serait contraire aux conclusions ([iii précèdent. Les découvertes de M. Picard nous ont d'ailleurs depuis longtemps mis en garde contre un pareil raisonnement.

Le c^'cle K, en efTet, peut rencontrer l'une des droites A, ou l'une des coniques C ou C. S'il rencontre C, par exemjjle, le cycle correspondant K' ne sera plus fermé, mais présentera un pointement à l'infini, ainsi que l'a signalé M. Picard.

Supposons maintenant que le cycle K' soit fermé et, par consé(juenl, homologue à zéro dans l'espace W. S'ensuivra-t-il que le cycle fermé correspondant K soit iiomologue à zéro sur \ ? Pas du tout. 11 y a dans l'espace W cinq points auxquels correspondent une infinité de points de la variété ^ ; ce sont les points « = «,, i' = i', qui correspondent aux cinq droites A,; nous avons vu en effet que, pour ces valeurs de u et r, les coordonnées de M, sont indéterminées. Supposons alors que le cycle K' passe par l'un de ces points h,, c,; étant homologue à zéro sur W, il limitera un domaine à trois dimensions de cet espace. Mais considérons un point N de R et supposons que ce point se rapproche indéfiniment de «,', c, qui est sur la frontière de R. Soit M le point de V qui est le correspondant de N; quand N tendra vers Uj, c,, le point M tendra vers un point de la droite A, et ce point pourra occuper une position

quelconque sur celle droite, suivant la façon dont N tendra vers «,, f,. Soit R' un domaine à trois dimensions de V correspondant a R; sa frontière complète se composera non seulemeni de K. cvcle de V correspondant à K', mais de la surface de Riemann S (A,); car, quand N se rapproche de la frontière de R, le point correspondant M se rapproche, soit de K si N tend vers un point de K' autre que Ui, c,, soit d'un point quelconque de S (A,) si N tend vers «,-, Vj. Donc K. n'est pas homologue à zéro.

Dans la variété W, on doit considérer comme distincts les points h =: oo, f = c, et iiz^oo, (-'=('.,, de même que les points u^u,, c = » et u=Uj, 1^ = 00, puisque à ces points correspondent des droites AIM' distinctes. On doit donc adopter, au sujet des points à l'infini, non la convention du Mémoire actuel, mais celle du Mémoire cité. Il en résulte que les deux surfaces de Riemann u = const. et c = const. ne sont pas homologues entre elles. D'où cette conclusion : les cycles K' de W qui sont tout entiers à distance finie sont homologues à zéro; mais si l'on tient compte de ceux r[ui s'étendent à l'infini, il y en a deux qui non seulement ne sont pas homologues à zéro, mais sont indépendants; ce sont justement ces deux surfaces de Riemann a = const. et f = const.

De plus, parmi les c^'cles K' homologues à zéro, il y en a qui ne correspondent pas à des cycles K homologues à zéro : ce sont ceux qui passent par l'un des points m,, r, et cinq de ces cycles doivent être considérés comme distincts, puisqu'il y a cinq points m,, r,. Nous retrouverons donc bien nos sept cycles distincts et la conciliation est complète avec ce qui précède.

Un mol encore sur une circonstance qui peut se présenter pour certaines surfaces du troisième degré particulières; il peut arriver que trois des droites \ que j'appellerai A,, Aj, A3, soient dans un même plan tangent P et passent par un même point M. C'est ce qui arrive en particulier pour la surface de

M. Picard

Si alors la droite D par laquelle doivent être menés les plans tangents se trouve sur le plan P, quatre des plans tangents menés par D se confondront avec I*, de sorte que nous n'aurons plus que neuf plans tangents distincts au lieu de douze.

W faut voir à combien de doigts distincts ce plan correspond. Pour nous en rendre compte, prenons la surface de Picard et coupons par exemple par les plans z = const. ; la droite D étant alors la droite à l'infini qui est l'intersection H. P. - III. 68

53S St'B LES PERIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

comniuiii.' de tous ces plans ; ^ consl. La courbe d'interseclion esl

où ; esl regardé comme un paramètre. Les deux cycles sont des combinaisons de lacets tracés dans le plan des x et enveloppant les trois ])oints singuliers

£ étant une racine cubique de l'unité. Pour ; :^ i, ces trois points singuliers se confondent avec O, les lacets se réduisent à un point et il en est de même des cycles, les deux cycles sont donc évanouissants.

De plus, pour :^i, la courbe se décompose en trois droites A,, Aj, A.^ ; donc, entre les deux doigts provenant des deux cycles évanouissants, nous en aurons deux autres homologues à S(Ai) et 8(^2); je ne parle pas de ^(Aa) qui n'est pas distinct des précédents puisque

Ainsi ce plan tangent quadruple donne naissance à quatre doigts distincts. Le nombre N n'est donc pas altéré.

Supposons enfui que la surface présente un point conique II; dans ce cas, six des droites A, comptant chacune pour deux, passent en H; je les appellerai A|, A2, . . . , Ao ; il y a quinze autres droites qui sont dans les quinze plans déterminés par les six premières. Le nombre des cycles Iv se réduit alors à 6; (m peut le voir de trois nuuiières :

1" Nos sept cycles ^(D), S(A,), S(0) du cas général se réduisent ici à S(A,)(/^ ',2, . . . , 6) et S(o), parce que, si l'on piend pour la droite I) la droite A,, les droites A, ne sont autres que les ciu(| autres droites A, : or, les droites A, forment l'intersection de la surface avec le cône langent au point H qui est du second degré. La surface de Riemann correspondant à l'intersection de la surface avec une quadrique quelconque est homologue à 28(0), on a donc

l'homologie

de sorte qu'il ne reste que six cycles distincts.

2° Si la droite D esl (|uelconijue, deux des plans langeais menés par D se confondent avec le plan UH, de sorte que les nombres N, p et m deviennent

égaux à I 1 , 1 , 3 et que

SUR LES PÉRIODES FJES INTÉGRALES DOl'llLES. ÔSg

3" Si la dioiie I) |)abse par H, un plan ([uelconque mené par I) coupera la surface suivant une conique, et celle conique se décomposera en deux droites, quand ce plan passera par l'une des six droites A, ; on a donc N = (i, la conique étant unicursale p =ro, et D coupant la surface en deux points distincts in=:2;

on a donc

l*lus généralement, quand une surface acquerra un point conique, le nomlire des cycles à deux dimensions diminuera d'une uniti'. Soit, en ellel, I' le point conif[uc, et supposons d'aijord que la droite I) ne passe ])as par ce point, le plan PD devra être regardé comme un plan tangent, qui comptera pour deux plans tangents confondus, mais pour un seulement au point de vue de l'évaluation du nombre N. Le nombre N se changera donc en N — i et les autres nombres ne changeront pas.

Supposons maintenant qu'on fasse passer la droite D par P; les points de contact de la surface avec les plans tangents menés par D sont les intersections de celte surface avec une certaine courbe gauche, et cette courbe coupe la surface au [)oint P, non plus en deux, mais en six points confondus; de plus, ce point P ne comptera plus dans l'éxaluation du nomln-e N puisqu'il n'v a plus de plan PI). Dune N se changera, non plus en A — i, mais en N — 6.

D'aulrr part, le genre /> d'une se<'tion faite par un plan quelcoutpie mené par I) se change en p — i puis<[ue toutes ces sections admettent un |)i>int double. I^e nombre /n des intersections distinctes de D avec la surface se change en m — i puisque deux de ces intersections sont confondues en P.

I>e nombre 1\ +2 — \ /) — ni se change donc en N + i — 4 P — '«•

Nous n'avons pas à nous inciuiétcr des plans tangents menés par I) au ccuie tangent a la siiifaee au point P. En ellél, pour les sections faites par ces plans, le point double devient un point de rebroussemenl, ce qui n'allére pas le genre.