REMARQUES
L'ÉQUATION DE FREDHOLM
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 147, p. 13117-1371 (21 cloccinbrc ignS).
On sait que Fredholm résout l'équation
par la formule
(2) -Ax) = 'h{j:)-J —^^.h(y)dy,
où V), fi . ) et D, , sont deux fonctions entières de \. Le développement de D, f commence par le terme i , et le terme général est
— , 1 f\ ' -'■■■' "1 dxi d.c« . . . dx„. Le terme général du développement de D,/-/ ' j est
La notation /( '' '' "j représente le déleriiiiiiant à n lignes et
n colonnes, où l'élément de la t""'"' ligne et de la A"'""' colonne est/(x,, jx).
Si/(a?, )') devient infini pour x =: y les formules précédentes deviennent illusoires, puisque certains éléments de nos déterminants sont infinis. On sait comment Fredholm s'est tiré de cette difficulté. Soient /'2, /j, ... ce que l'on appelle les noyaux réitérés; sif{x,y) devient infini comme {x — .))""* et que l'exposant « soit suffisamment petit, il arrivera que tous ces noyaux réitérés seront finis à partir de l'un d'entre eux. Supposons donc que/,, soit fini, ainsi que tous les noyaux réitérés d'indice plus grand. Fredholm ramène l'équation (1)
REMARQUES SUR l'ÉQUATION r)E FREDHOLM. 5/(1
à une autre équation de même forme, mais où )> est remplacé par — ( — 1)" et /par/,,.
Dans l'équation (2), la fonction méromorphe en 1
iv(;:
se trouve remplacée par une autre fonction méromorphe en À, •I»„(^), dont le
dénominateur est
Si/est fini, /'„ l'est également, et les deux formules sont applicables; les deux fonctions méromorphes «I» et tp„ sont donc égales, eu qui veut dire que l'on peut revenir de la nouvelle formule à l'ancienne en divisant le numérateur et le dénominateur par un même facteur commun. 11 est aisé en effet de vérifier
que, si l'on pose
Dà/=F(à)
et si X est une racine /i"'""' de l'unité, on aura
Qu'arrive-t-il maintenant quand / devient infini el que, par exemple, /a est fini? Ici encore, nous devons prévoir que le numérateur et le dénominateur de <l>2 auront un facteur commun, et que D2 = D),,;, qui est une fonction entière de 1-, sera le produit de deux fonctions entières G(X) et G( — ^), le second facteur G( — 1) divisant également le numérateur.
C'est en effet ce qui arrive; on peut alors se proposer, puisque la fonction méromorphe <1> se présente sous une forme illusoire et que la fonction méromorphe <I>2 n'est pas irréductible, de former une fonction méromorphe irréductible égale à «l».,. Dans ce cas, la solution se présente sous une forme très simple.
Nous aurons
N et D étant deux fonctions entières de >. qui se formeront de la même manière que l)x/( ' ) el D,y ; la seule diflerence, c'est que les déterminants
■' \u; ,Xi, .... .r„ / ' •' \y,Xi, .r,, ..., x„ )
54?. REMARQUES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.
seront remplacés par d'autres, formés lout à fait de la même manière, sauf que les élémonls J\xi, X;) qui deviennenl infinis seront remplacés par zéro.
Les considérations suivantes permettront de mieux comprendre la signification de ce résultat. Supposons que la fonction /(j:, j') non seulement soit finie, mais admette des déri\ées premières finies. Dans ce cas, d'après un résultat de M. Fredliolm sur la loi de décroissance des coefficients, la fonction entière Dy^ sera de genre zéro. Supposons, au contraire, que /{x, )■) devienne infinie
pour ,r = }- romme (x — >')-=' et que a soil plus petit que -• Supposons même.
pour éviter loule conipiicalion dans l'énonce', (|ue l'on ait
la fonction (j/ restant holf)morphe dans le domaine considéré. On aura alors
\f-ii-f', j' )—fi^ ■'■. .y) i < -^ I ■'"'— ■'■ r~-*,
(■t, d'après le théorème de M. Fredholm, le coefficient de >.-" dans le dévelop-
pement de D>!/., décroîtra comme (n") -; de sorte que, si a<^-, celte
fonction D^),^^ sera une fonction enlière de genre zéro de A-. Nous savons qu'une fonction entière de genre zéro de À- peut toujours être regardée comme le produit de deux fondions entières de "k,
qui sont de genre i . Nous devons donc nous al tendre à ce qu'en appelant D(/. ) le dénominal eur de la formule (3), on ait
D>,y>= D(X)D(— À), de sorle que
où k est une constante quelconque. C'est en ellét ce qui arrive. Ce qui caractérise la fonction D(),) et la distingue de toutes les autres fonctions G();), c'est que le coefficient de 1 est nul. Quand la fonction /{x, y) reste finie de telle façon que Djf existe, D, / sera aussi une fonction G(X) et l'on aura
k étant le coefficient de À dans le développement de D>y. Dès que la fonction f{x, y) devient infinie, cette formule devient illusoire, parce que le coefficient k devieni Infini.
Proposons-nous, d'autre part, de développer log D,/ suivant les puissances
REMAHQUES SLR LÉplATION DE FREDHOLM. 543
(Je ). ; nous trouverons en posant
r,, = (—1)"-^' I /tu-,,x. )/|.ro, J- :;!.../( r„i,J-„j/l^„,.'-| )</■!■, '/.'■■. . . . i/.r„.
Un peut tirer de là une conclubion. Reprenons la formule
L'a./ Miiliiplions haut et bas par
/,?, '/.' I, 'l' yy
Nous obtiendrons ainsi la formule (3 />«) <I>(X)=^',
où N/, et 1)/, sont des fonctions entières de >,. Ces fonctions se formeront de la même manière que D>,y (■* j et D;,^, avec celte différence qu'après avoir développé les déterminants
/x,,.r.,. ...,.r„\ /.r,ji,,x.., ...,3r„\
il faudra supprimer dans le développement tous les termes qui contiennent en facteur un |iroduil de la forme
yï,ri,.ri), fUu->^i)f{-'^i,^l), /(•^l,.^î)/(''-J--^:i)/(-^:i, ■'■■)
jusqu'à
f{,Xt,x,)f(x.,,.r.)...f{r,,^t,x,,)f{Xi„3-^).
Mais il arrivera ceci; supposons quey(^, )) ne reste plus Uni, mais |ireunela forme
J'-^^y)= -r— T7TÏ'
i|/ étant fini. Alors les séries D,,, \\fi''^\ ne seront plus convergentes, les si'ries N,, et D,, resteront convergentes^ pourvu que
/'-i de sorte (|ue la formule (.5 bis] resleia applicable.
544 BKMARQUES SUH L'ÉQUATION DE FREDHOLM.
Si l'on suppose /{x, y) fini et pourvu d'une dérivée, les quatre séries D)y, D>/Y'ji ]N/j et D/, sont toutes convergentes; mais les deux premières convergent plus rapidement, puisqu'elles représentent des fonctions entières de genre zéro, tandis que les deux dernières représentent des fonctions entières de genre p.
Remarquons encore qu'on peut obtenir la dérivée logarithmique de D,j de la tacon suivante :
Soit 0{x, Ç) la solution de l'équation
0(^, Ç) + lJfi.T, s) 0(.v, T) '/s =f(-r, K);
^logD)./ = Ç^(.r..c),l.r.
on aura
