SUR QUELQUES APPLICATIONS DE LA MKTHODE DE FREDHOLM

Proposons-nous encore de résoudre l'équation intégrale de première espèce

o(z)[ei~-^-^f(.i:,z)](/z='h(x).

Nous nous proposons de déterminer la fonction cp(;) pour les valeurs de s comprises entre o et 27:; je ne dirai pas en se donnant arbitrairement la fonction 'i(>r), cela serait impossible, mais en se donnant les valeurs de ii(x) pour toutes les valeurs entières de x positives ou négatives.

Pour que cela soit possible, il suffit que la série

et que riiitégrale

convergent absohinient et uniformément.

Je profite de l'occasion pour réparer un oubli involontaire qui m'a été signalé par M. Picard.

Dans une Note récente, j'ai signalé une série de résultats relatils respectivement aux cas où le noyau de l'équation de Fiedlioliu devient iiilini ilOrdre

<C-) <C^' <7'-"-; 'û premier de ces résultais avait déjà été obtenu par une

autre voie par M. Hilbert.

SUR

LES ÉOUATIONS DE FREDTIOLM

Sechs Vortriige iiber ausgewdltlle ijcgenslnnde aus der reinen M'ithriiiatil, un'i Malhematischen P/iyiik. F.i'ipzi^; uml Bi-rliii. loi.i ( l-:isti-r Xorlrn;;). p. i-m.

L'équalion intégrale est, comme l'on sait, résolue par l'expression inlégiale de même espèce

(l„) z(.r) = 'li(.r)-'r~l j- 'U])Gi.r.])>h-,

où

N et D sont, d'après la théorie de Fredholm, deux transcendantes entières en À. Alin de pouvoir écrire explicitement leur développement, nous désignons avec

Fredholm par /■( '' " ") le déterminant à 7i lignes dont léiémenl général

^ "^ \fu 7'., ■ ■•■.>•/;/ ° °

est f{Xi, y/:).

Si l'on pose alors

'Il •- n •- Il

on a

Nous transformerons cette équation en introduisant les no vaux déduits de f{jc, y) par itération.

Si nous posons

548 SUR LES ÉOL'ATIONS DE FRKDUni M.

il est clair que /'( ' '' " ) a la formel ± ïl/(Xx, ■ ■ ■ , J",j.), ainsi qu'il résulte

du développement du déterniinanl. Soit alors

OÙ A' désigne le nombre des variables d'intégration x^^, . . ., J?a, nous pouvons aussi écrire

bk= / /i(-'-, ■'■)'/.>■, ^ ,1 en regardant

fk'.-r, y)= j ... I J {■r,.i-:i)J {.r^.T'i) . . .f{.r^,r)il.r^. .. ilxa

comme le /,''""' noyau itéré.

En raison de celte relation, nous avons donc

«„ = Vrtii6/..

Si nous observons que certains des b^ figurant ilans un produit II 6/ peuvent être égaux, que de plus certains des produits Wbi peu\ent eux-nicnics être égauï, ceux qui se déduisent lun de l'aulie par une permutation des a:,, l'analyse combinatoire de a,, conduira à une expression