Y.-.."L6!c!...'^-""'^-l"l^-')'"'^3in(-0-"'fcr
d'où l'on conclut
c'est-à-dire
L a\ùlr\... \ II. ''.
d'où l'on tire
loglX/. ) =— > --^, D'(À)
Le numrrateur N(.r, y; À) de la fonction G(x, y\ 1) peut être défini de même par l'équation
SIB I.F.S É(,)1;AT10NS DK l'nEDMOI.iM. 54'J
Ces équations, (|ui se trouvent d'ailleurs déjà dans Fredliolm, sont utiles comme point de départ à dv nombreuses considérations, comme on va le voir sur quelques exemples.
La méthode de Fredliolm n'est immédiatement applicable que pour des noyaux f(x,y) qui restent finis. Si le nojau devient intini on certains points, il arrive parfois que l'un des noyaux itérés, y,, (a?, y) par exemple, ilemeuro fini. L'équation intégiale relative au noyau itéré se laisse alors traiter par la méthode de Fredholm et Fredliolm montre que l'équation initiale (i) se laisse ramener à celle-ci.
La solution en est encore donnée |)ar une foiniule telle que (i„), mais on a
^= D„(X) ' où
r)„i-A) = IX À" !/„) et
Les fonctions N, et D„ de 1 sont encore des transcendantes entières; on peut cependant montrer qu'elles possèdent un diviseur commun.
Nous allons voir comment cela résulte de nos formules (2) et (3) et comment on |)arvienl à une expression fiactionnaire pour la fonction méromorphc G, dont les deux termes sont sans diviseur commun.
De notre hypothèse sur les noyaux itérés, il suit que les coefficients b,,, 6„^i, . . . sont finis. Formons alors, eu égard à l'équation (2^). la suite
l'osons maintenant
nons avons là lexpression cherchée. Pour l'établir, il nous faut montrer que e"^ et e'^ . i )/y'/, ^ I sont des fonctions entières.
t'ornions dans ce but -p- j on oi)tient aisément
dx
55o SUR I.ES ÉQIATIONS DE KBEUHOLM.
On en conclut d'abord que -p- est môroniorplie en }., car elle possède au plus
des pôles aux zéros de D„(>.), c'est-à-dire aux points À = aÀ, où y. est une racine /!''""■ de l'unité, et \i une valeur propre du noyau /'„. On peut alors
montrer qu'en ces points de discontinuité possible le résidu de Cauchj de -jr
est I ou o suivant que l'on a :z =: i ou a ^3^ i . Nous ne ferons pas le calcul ici;
on utilise pour cela le fait que le résidu de - ' ' — pour ), = >,< est égal
à o/(^). 't>a(j') où cp<, é/i sont respectivement les fondions propres correspondant à }. = }.<, solutions des deux équations
Il juit de là que c^ ' est une l'onction entière fjui ne s'annule qu'aux points
Si l'on envisage de même le numérateur de G, on voit d'abord que c'est une fonction méromorphe de A qui ne peut devenir infinie qu'aux points ). = «>./. La considération des résidus montre alors que cela n'a pas lieu et par suite que le numérateur e^^V'f/,^, est aussi une fonction entière en ),. La réduction annoncée pour la fonction de Fredholm est donc obtenue.
Nous obtiendrons les développements en série des deux termes de la fraction de Fredholm sous cette forme réduite, en revenaiil à la formation de K().); si nous posons, pour le dénominateur.
nous aurons
à condition de poser et
Z>3c = o pour a < «
■y.= j /ïl-'-,
pour y. ç. n.
Le numérateur est formé de manière analogue. On doit donc développer les déterminants selon l'usage courant, puis rejeter les termes de ce développement qui contiennent un facteury'(.r,, x», . . ., Xp) avec moins de n variables.
SIR LES ÉQIATI0,\S DE FtlEDHOLM. 55 1
Nos formules (2). (2^), (o) sonl êgalemenl utiles lorsque, avec le novau y"(.r, y), tous les noyaux itérés deviennent infinis, cas où la méthode de Fredholm échoue certainement.
Supposons, par exemple, les nombres b,, />., .... h„^[ infinis et 6„, .6„ + i, . . . finis. On peut former la série K-(X), chercher si elle est convergente et si e*^ '■' est encore une fonction entière. Dans l'Iivpothcse où /'(j-, y) est un noyau symétrique, c'est-à-dire où /{.r, y) =f(y, x), j'ai pu l'établir. J'utilise dans ce but les relations
qui doivent avoir lieu pour n ^ 2, car le genre de la fonction D("/. ), d'après un théorème d'Hadamard, est inférieur à 2.
Le temps me manque pour indiquer ici ma démonstration. Je n'ai pas traité la question pour le numérateur de la fraction de Fredholm.
Quelques mois encore sur l'équation intégrale de première espèce.
On peut appliquer directement à certaines de ces équations, quand on les ramène d'abord à des équations intégrales de seconde espèce, la méthode de Fredholm.
Soit, par exemple, l'équation
(I) / 9(^)-)i e'X> — /./(a;, y)]f/r ^'1 '— v: / -zi,
dans laquelle '^(x) est donné et o{x) inconnu, alors que la partie f(x, y) du noyau est une fonction donnée (|!ii est assujettie à certaines conditions restrictives indiquées plus loin.
Faisons, pour la fonction cherchée v(jl'), 1 hypothèse
de laquelle, en vertu d'un théorème de Fourier sur les intégrales, on tire, lorsque <t(a;) satisfait aux conditions de sa valabilité,
■> - <l<i ./■ I = / fiy)e'-^y '/y.
L'équation ( 1 ) se transforme alors en
! ::'I'( ,/■ I — À / / <I>i ; 1 /< .r, y)e-'-} dz dy = U'("*),
->^2 SLR LES ÉQl'ATIOMS DE FREDIIOLM.
OU encore
■i7:(]){j-) — '>• j 'l'( - ) K( .r, z)dz = 1'( J-), quand on pose
' -' Ki.r,:)= / f{.r,y)é-i'ydy\
nous sommes ainsi parvenus à une équalion intégrale de seconde espèce.
Le nojau (a) permet l'application de la méthode de Fredholm quand, par
exemple, f{x, y) el • , tendent uniformément en x vers zéro lorsque
y devient dr oo el qu'on a l'inégalilé
,r-f IVI
où M est une constante indéjicndante de x et de y.
Pour »r(.r), il suffit d'admettre que dans l'intervalle ( — oo, +00) elle n'a (|u'uii nombre limité de maxima et de minima et qu'elle est absolument intégrable.
On peut appli(|iier la mèuie méthode à une série
l'iJ-) =^ A, „[«'■"'■'• -^ ÀO,„(j-)|;
le problème est ici aussi, quand ^V{x) et les 'i,„{x) sont donnés, de calculer les coefficients A,„ de telle sorte que le développement soil valable. De même que tout à l'heure il s'agissait d'une extension du théorème intégral de Fourier. nous avons adairc ici à une extension de la série de Fourier. Si nous posons
y( =j = >, A,„e'"':; 2-A„,= / z( z\c-i"'- riz,
nous aurons
•l'f .;• j = 9 (a- ) -f- ^ / Y ( = ) y] e->"'--tt,„(j: ) c/z.
Nous devons supposer c|ue la série qui joue le rôle de noyau est absolument et uniformément convergente, c'est-à-dire nous devons admettre que
converge uniformément.
SIR LES ÉOIATIONS DE FREDHOLM. 553
Posons, par exemple,
nous obtieni]r(in> un développemenl de la forme
La condition {?>) est remplie quand on suppose la convergence absolue <ie'^{lj.„,~- m).
Considérons encore, enfin, l'équalion
qui se dislingue do (i) en ce que l'intégrale est à prendre dans un intervalle fini et non entre — oo et +00.
Dans ce cas, '\i{x) ne peut être pris arbitrairement : elle doit, si f{x, y) est holomorphe, être une fonction entière pour que l'équation ( "l ) admette une solution. Mais les valeurs '|(/'i) de cette fonction ]/ pour tous les entiers m peuvent être choisies arbitrairement.
Si l'on pose en effet
?(3.) =^-^™e-""- où ■.ir,X,„=l 9(j
9( r)e'"'yr/}-.
(ml
l'équation (4) se transforme, pour x = m, en
Nous obtenons ainsi un système d'une infinité d'équations linéaires avec une infinité d'inconnues, tel que ceux étudiés par Hill, H. v. Koch, Hill)ert entre autres. La résolution de ce système, au cas où nous supposons la série
(5) V / (.-</'.> f{ III. r) (/y
(//, ni)
absolument et uniformément convergente, est tout à fait analogue à la résolution par Fredholm de l'équation intégrale et conduit aussi à une fonction méromorphe du paramètre )..
La convergence absolue et uniforme de (5) est d'ailleurs, comme une inté- II. r. — III. -0
554 SIB LES ÉQUATIONS DE FREDHOLM.
gration par pdrties le montre, assurée au cas où la somme ^y"(;H, :■) ou l'inlé-
grale / /'{^^ r) c/,r, est absolument el uniformémenl convergenle.
Oa voit nettement l'analogie et la dillérence entre les deux cas(i) et(^); suivant que les limites de l'intégrale sont infinies ou finies, ou aussi suivant que le noyau présente aux limites (Finlégration une allure régulière ou une singularité suffisamment élevée, on jieut choisir la fonction donnée d'une manière essentiellement arbitraire ou seulement fixer une suite infinie mais discrète des valeurs qu'elle doit prendre. Il ne serait prohablement pas sans intérêt d'approfondir cette distinction |)ar l'emploi des noyaux itérés.
REMAHQUES DIVERSES
SUR
L'ÉQUATION DE FREDHOLM
AcCa inatheinatica, t. 33, 1901, p. 07-86.
