I. Formules fondamentales
Nous écrirons l'équation de Fredliolm sous la forme suivante :
9(.r) est la fonction inconnue, 'l'(.r) une fonclion donnée, /'(ar,)) le novau (les limites de l'intégrale étant deux constantes). La solution du problème nous est donnée par la formule de Fredholm
OÙ D(>.) est le D x^ de Fredliolm, tandis que N(?.; x,y) s'écrit d'après les notations de Fredholm
Nous aurons donc
D. À, = V I^^J: /;/■(■'•'• ■•-^- '■" Va,-, .r.r, . . . ,l.r„ = .- ;. ffLr,. .r,uU,^.. . .
.Je n'écris qu'un signe / [)Our une intégration multiple. Nous aurons de même
^Là n\ J ■' \r, .1-1, ./•.,, ..., ./•„/
('j IiTiiuinn'' le vi seplemlu'e 1901J.
550 REMARQUES DIVERSES SUR LÉQUATLON DE FREDHOLM.
Nous sommes ainsi conduits à examiner la formation du déterminant
/./Ji. ■'■■., r,, \
Un des termes de son développement s«ra de la forme
=z n/i j-,. Xi).
n f{xi, Tf,) représentant le produit d'un certain nombre de facteurs de la forme y(j",, .r/,). Ces facteurs doivent satisfaire à la condition suivante : chacune des lettres x,, j^, . . . , Xn devra figurer une fois et une seule comme Xi, c'est-àdire comme premier argument de la fonction /(x,i-) dans l'un des facteurs du produit. Elle devra figurer une fois et une seule comme x^, c'est-à-dire comme second argument de la fonction f(x, y) dans l'un des facteurs du produit. A chacun des termes du déterminant correspondra ainsi une permutation des lettres X| . 'a) • • • 1 J-'n '. à savoir celle qui change chacune des lettres x, en la lettre J?/, correspondante. Il y aura autant de termes dans le déterminant qu'il y a de semblables permutations, c'est-à-dire « ! ; et le produit H devra être du signe -f- si la permutation appartient au giou|)i' alterné et du signe — dans le cas contraire.
On peut répartir les lettres j-,, x-., . . . . x„ en un certain nombre de cycles de telle façon que la permutation S envisagée permute circulaircment entre elles les lettres d'un même cycle. Si nous désignons par T(S) celui des termes ztn/'(a7,, Xk) de notre déterminant qui correspond à la permutation S, et si nous posons, pour abréger,
nous pourrons écrire
T( S I = ± Il /'( .(•,. JU ) =r = ||/( Jy.. ./Jj, . . . , ./•). ./y I.
Le dernier membre représente un produit de facteurs de la forme
Cliai un de ces facteurs correspond à un des cycles de la permutiition S et les
lettres
sont les lettres de ce cycle, qui sont j)ermutées circulaircment par S.
Quant au signe, on l'obtient en faisant le produit de dillerents facteurs ± i correspondant aux difl'érents {àcleurs f{x^, Xi, ...,Xi^), ces facteurs étant
REMARQUES l)lVERi-ES SIR u'ÉOlATION DE FREDHOl-M. 55^
égaux à + I pour les cycles d'un nombre impair de lettres el à — i pour les cycles d'un nombre pair de lellres.
Nous
s poserons
po
Ci)
/ji = I f'- ■'■«, -'''{i, ■ ■ ■! -n, ■'>,) "'■''ï '/■'■[', ■ ■ ■ '/■'■), '/■'>.•
Dans celle dernière égalité, l'indice /. de b/t représente le nombre des lettres
du cycle x^, J'i '"/■, 'u.; l'intégrale ne dépend évidemment que de ce
nombre, puistpie, quelles que soient les lettres .Co., . . . , j^ envisagées, on les fera toujours varier entre les mêmes limites.
Cela posé l'intégrale c'(S) va se décomposer en un produit d'intégrales ù^, puisque chacun des facteurs de T(S) ne contient qu'un certain nombre de lettres .r^, . . ., .Cj qui ne figurent pas dans les autres facteurs; nous pourrons
écrire
a(S)=±nb/,
ou jiour préciser le signe
Si par exemple « = i- et (jue S comprenne i cycle de 4 letties, 2 de .'> lettres, 3 de :>. lettres et 2 d'une lettre, nous aurons
,7( S ) =( — />, \{h;,)-{—h, r(6| )^= h.hlh'il)'].
Il faut maintenant calculer
a„ = -rt(S j.
la somm iliiin étant étendue aux ditlérentes permutations .S tie u Ictlres. ?\ou> devons donc rechercher combien il a a de permulalions comprenant a cvcles de y. lettres, b cycles de (3 lettres, c cycles de y lettres, d cycles de 0 lettres, etc. En d'autres termes, de combien de manières peut-on répartir /( lettres en a groupes de 7. lettres, b de 3, c de y, d de 0 lettres, etc.? On rangera les letlres dans les différents ordres possibles qui sont au nombre de /; ! ; on prendra ensuite les a premières lettres qui nous donneront le premier groupe, puis les a. suivantes qui nous donneront le second, et ainsi de suite jusciu'à ce qu'on ait les a groupes de y. letlres; on prendra ensuite les [3 letti-es suivantes pour former le premier groupe de (3 lettres, et ainsi de suite. On obtiendrait ainsi /( ! solutions, mais elles ne sont pas distinctes; on obtient la même répartition en perniiitant cirriilffirernrnl les lettres d'un même groupe, ce (pii nous oblige
330 REMARQlIliS DIVERSES SUR I, EQUATION DE FREDHOLM.
à diviser par a"|3*y' ô'. . . ; on obtient la même répartition en permutant d'une manière quelconque les dis'ers groupes qui sont formés d'un même nombre de lettres, ce ijiii nous oblige à diviser par alblcldl . . . ; le nombre cherché est donc
On aura donc
^2<'P*Y"o''...«! 6! c\ iV. .. .
Xf(— l)»+i6al"['' — I 13+163 l''|(—I)T^-'^y ]'■[(— 1)5+' 65 I''. ..
Les entiers y., 3, y^ 0, . . . , a, h, c, d, . . . sont assujettis à la condition
2 a -=- [j 6 — 7 c — 0(/ -'...=: n. On a donc
'h, t-ii" (-''A"/-hY(- '": Vf- ''■' \ ■'
n\ a\l>\c\,l\ ...\ -j. ) \ 3 I \ V / \ o / ' Il vient ensuite
^ Il :
Zj(r'./>\c\,r....\ 2 / \ .3 J\ ■; )\ 0 j de sorte que L)^^/.) se présente sous la forme d'un produit
-Mais la sonimatinn est immédiate el Ton trouve
9a=P * ; log?a = ^>
d'cjll
I () 1 IogD(/, )— — >
et en prenant la dérivée logarithmique de 1)(/)
rj'( >.)
Ces formules ne sont pas nouvelles, elles ont été énoncées par Fredholm qui les a découvertes par une vole dillerenle {Acta mathematica, t. 27,
REMVRQIRS tlIVIînSES SUR I.'kQL'ATION DK FREDHOI-M. îSg
Appliquons la iiiènie nnalvse au calcul de N(/. ) et du dclerminanl
Clia([ue terme se présentera sous la lornie
±n/(.ra, .r;i, .... .r|j.').
sauf que lun des facteurs sera remplacé par
(8) /(.r, r ; .r^i. X'i, rx) =./"(.r, .ra).A(-«'a- ■'•'^') • ■■/(■n, V)
Si nous posons
/( .r, y ; j-^, .r^ ri) (U,. d.rrj, . . . i/.ri = //,+, ( .r. y),
cette intégrale ne dépendra que du nombre /. des variables x^,, x^, . . ., x;. par rapport auxquelles on intègre; c'est ce nombre qui figure dans l'indice /, + i • Cette fonclion fk+,{-f, r) n'est autre chose que ce qu'on appelle le noyau itéré d'ordre A" + i . ( )n aura d'ailleurs
fiA ■''. ■>■ ) il.r.
Si alors, par analogie avec les notations adoptées plus haut, nous désignons par T'(S) un quelconque des termes de notre nouveau déterminant et |iar a'(S) l'intégrale de T'(S), nous trouverons comme plus haut
avec la condition
h )LI. = n.
Le fadeur yy,^i (./■, )) provient de l'inlégrallon du facteur ( S) et les divers facteurs bi, de l'intégration des autres fadeurs de la forme /( .Ta, '(i, • . ., '),).
.le puis encore écrire
ii'i <,)-{ — -[ )i'l'i,^^,n S' I.
OÙ S' est la substitution qui permute enlie elles les lettres qui figurent dans les facteurs autres que le facteur ( K ) et de la façon indiquée par l'ordre de ces lettres dans ces divers facteurs. Si alors nous désignons par r/^, l'intégrale de notre déterminant lui-même, il viendra en remarcpiaut qu'on obtient aut;int de
fois le même terme qu'il y a de manières de choisir les h lettres X:^, .rvj, ',
qui figurent dans le facteur (S): c'est-à-dire aulant de fois qu'il y a d arrange-
56o REMARQUES DIVERSES SUR L ÉQUATION DE FREUHOLM.
menls dv /i lellres h à h : c'est-à-dire -7-, ■>
ou
don enfin
Celte formule s'obtiendrait immédiatement en chercliant à développer suivant les puissances de /. la solution de l'équation ( i ).
Bien que les séries (6 ), ( - ) et ( () ) ne convergent que pour les petites valeurs de À, leur considération peut abréger le calcul des termes des séries D(À) et X(/.), qui, elles, convergent toujours. Mais ce n'est pas là l'usage que je veux en faire.
