II I V

(à) -tH r-f-...H--;=>-7>« — i

^ ' a a. a,', ^ al. ^

et l'inégalité

En résumé, si les inégalités (5) et (8) ont lieu à la fois, les équations (4) admettent une infinité de solutions.

Si l'inégalité (5) a lieu seule, elles peuvent en eomporter un nouibic lini ou n'en comporter aucune.

Si enfin l'inégalité (5). n'a pas lieu, elle> n'en admettent aucune.

Nous avons supposé jusqu'ici que les nombres a,- étaient connus. Cela est vrai en ce qui concerne les valeurs remarquables des deux premières espèces. Mais cela n'est plus vrai s'il existe des valeurs des trois dernières espèces. En ce qui concerne ces dernières, nous ne connaissons que les a,, mais nous ne connaissons pus les deux plus grands communs diviseurs ô, et o,, relatifs aux deux valeurs des trois dernières espèces qui peuvent exister. Posons alois

la sommation s'étendanl seulement aux valeurs des deux premières espèces. Soit -V- le plus petit des nombres a" relatifs à la première des valeurs des

trois dernières espèces, si cette valeur existe; si elle n'existe pas, nous ferons A, = o.

Soit de même -r- le plus petit des nombres a" iclatifs à la seconde valeur des

trois dernières espèces; si elle n'existe pas nous prendrons Ao^u. Nous pouvons toujours supposer A, > Aj. L'inégalité (5) devient alors

Si A„ > ^ — a, l'inégalité sera satisfaite (|uels que soient les nombres o, et âj.

Si A|,-|-A|>^ — 2, A(, + A2<(/ — 2, on pourra prendre ô^ aussi grand qu'on voudra, mais ô, sera limité.

Si Ao+ A2> ^ — 2, Ao<^q — 2, on pourra prendre l'un des deux nombres è, et Ô2 (mais non tous deux à la fois) aussi grand que l'on voudra.

SIR l"i\tÉ(;ration algébrique dks équations différentielles du premier ordre. 67 Si enfin A|,+ A, < ^ — 2, les deux nombres ô, el oo seront tous deux limités. Ainsi donc, dans le cas où l'on aura

el où l'inégalité (8) ne sera pas satisfaite, même dans l'hypothèse ô,=ô.. = o, on ne pourra faire au sujet des nombres ô, et ôo qu'un nombre fini d'hypothèses et les équations (4) n'auront qu'un nombre fini de solutions.

Le degré p est donc limité.

Il existe donc des cas très étendus où, comme dans celui que j'ai examiné dans la première partie de ce travail, le degré p est limité et où, par conséquent, le problème de l'intégration algébrique peut être regardé comme résolu.

Valeurs des À,. — Les nombres >,, doivent satisfaire à certaines équations tout à fait analogues aux équations {\).

Considérons d'abord un nœud dicritique, nous devrons avoir

(9) /, = Sa,X,, .. = 9./,— V

Les équations (9) tout à fait aualogues aux équations (4) se discuteraient de la même manière, et cette discussion conduirait au même résultat.

Si les inégalités (5) et (8) ont lieu à la fois, les équations (9) admettent une infinité do solutions.

Si l'inégalité (5) a lieu seule, elles peuvent en comporter un nombre fini ou n'en comporter aucune.

Si l'inégalité (5) n'a pas lieu, elles n'en admettent aucune.

Envisageons maintenant un nœud monocritique.

Dans ce cas la première équation (6) doit être remplacée par la suivante

(^bis) >. = S3(,/.,-i-3,2| f -i — I j — ;,ï, ^- — ij:

y.i est l'exposant du facteur critique, aj celui du facteur hypercritique; e.^ est égal à o ou à i, suivant que le facteur critique correspond ou non à la valeur remarquable envisagée, el £.> est défini de la même manière en ce qui concerne le facteur hypercritique.

De même, la seconde équation (9) doit être remplacée par

(.9 'e') (iÀ — ^î i — a, / I— - j H- aJ I— - j =2(a( — j)À,-.

68 SUR l'iNTÉCRATION algébrique des équations différentielles du premier ORIIRE.

Nous avoQS q équations (gbisj correspondanl aux ^ valeurs remarquables; en les addilionnanl cm trouve

et en combinant avec (9 ter)

(10) "S^Xi^iq — ■!)'/. -^-2.

Soient encore t/,, a>, ... ., a^, q nombres positifs tels que

Désignons par Â]^ les nombres >., lelatifs à la valeur remarquable Ct, de même que nous avons désigné par n^ les nombres ni relatifs à celle valeur remarquable C/;.

Nous pourrons écrire

a\ est celui des nombres a^ qui se rapporte à la valeur remarquable correspondant au facteur critique, et a!, est défini de même par rapport au fadeur hypercritique.

Pour que les équations [gbis) et (g 1er) admellenl uue infinité de solutions, il faut et il suffit que les équations (homogènes)

À=Sï,/.|, -2 X = ^ {3., II/.,

admettent des solutions positives, c'est-à-dire que les inégalilés (5 j et (8) aient lieu .

Si l'on observe maintenant que les nombres X,- el «,• ne sont pas indépendants, mais qu'ils sont liés par les relations (3) el (3 bis), on pourra espérer que nos équations (4), {(^bis) et (g ter) n'admettront qu'un nombre fini de solutions compatibles avec les relations (3) alors même que les inégalités (5) et (8) auraient lieu.

Mais cet espoir serait trompé en général; on serait conduit à une discussion qu'il est inutile de développer ici et qui conduirait à la résolution d'une équation de Pell ou d'une équation analogue. L'équation de Pell, on le sait, admet une infinité de solutions.

SUR l'intégration algébrique des équations uifférentielles du premier ordre. 69

Cas fies neuf nœuds dicritiques. — On se trouve doac en présence de difficultés que je n'ai pu encore surmonter. Je me bornerai ici à traiter un cas particulier simple, où la nature de ces difficultés apparaît clairement, bien qu'on puisse en triompher.

Supposons m = 4 et que tous les nœuds soient dicritiques. D'après c(^ que nous avons vu dan^ la première partie de ce travail, le genre des courbes

/— C? = n sera égal à i .

D'autre part, le nombre des points singuliers sera

Je supposerai que ces 21 points singuliers sont p nœuds dicritiques et 12 cols.

Par les 9 nœud> je puis faire passor une cubique. Soit p le degré de la courbe f-\-Co = o; elle aura avec la cubique 3/? points d'intersection dont un certain nombre seront confondus avec les nœuds. Si l'on envisage les g nombres 1 relatifs aux g nœuds et la somme SX de ces 9 nombres, on aura

ip = S À — h,

h étant le nombre des points d'intersection mobiles situés en dehors des

nœuds.

On aura d'autre part

/)== SX-.

d'où

( .'•=/)= -f- 6j:p — 9) = Six-X'-^ïA-X-hl)-*- ixfi,

c'est-à-dire

D'autre part, on a, en appelant q le genre de la courbey + C9 = o,

ou •

ou enfin

ce qui conduit à deux solutions

<7 = ij h = o ou y = o. h = 1.

C'est la première qui convient, puisque, y := i d'après ce que nous avons vu

70 SUR l'intégration algébrique des EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

dans la première partie; on a donc h =^ o et la cubique n'a pas de point d'intersection mobile avec les courbes y+Ccp^o. L'équation (i) se réduit

donc à

et en faisant x =^ et multipliant par p-

ce qui montre que tous les ), sont égaux entre eux et égaux à ^■

Soient «I, Ho, ..., u,j les arguments elliptiques des neuf nœuds sur la

cubique, on devra avoir

c'est-à-dire égale à une période (des fonctions elliptiques envisagées"). Donc S« est égal à une période divisée par À, c'est-à-dire par ^•

Si nous connaissons l'équation différentielle, nous connaîtrons les neuf nœuds, nous connaîtrons donc la cubique et les neuf arguments elliptiques u. Nous verrons donc si S m est commensurable avec une période. C'est là une condition nécessaire pour que l'intégration algébrique soit possible.

Supposons-la remplie, le nombre /. est par là même connu.

Considérons 8 de nos nœuds, peut-on conslruire une courbe de degré 3X admettant ces 8 nœuds comme points d'ordre ).?

Une courbe de degré 3>. est déterminée par

points. D'autre part, un point multiple d'ordre 7. compte pour

conditions. Il nous restera donc

points disponibles.

Imposons-nous encore que le neuvième nœud soit un point multiple d'ordre ). — i , ce qui fait

conditions; il reste conditions.

>■(>■ -Hl) >-(>■ — 1) ^ ^

Sun l'intégration algébrique des équations DIFFÉRENTIKLLES DU PREMIER ORDRE. "I

Menons par le neuvième nœud ), — i droites quelconques non tangenles à la cubique, et imposons-nous que ces > — i droites rencontrent la courbe d'ordre 3X en >, points confondus. De sorte que, ou bien le neuvième nœud sera encore un point multiple d'ordre >., ou bien ces 1 — i droites seront les 1 — i tangentes à la courbe au neuvième nœud. Cela fait encore 1 — i conditions, il nous restera donc encore un paramètre.

Gela posé, les gX points d'intersection de la cubique avec la courbe d'ordre SA seront 1 points confondus avec les huit premiers nœuds, X — i points confondus avec le neuvième nœud, et un point inconnu.

Soit «lo l'argument elliptique de ce point inconnu, on aura

X ( («1 -h «2 T . . . — (/g ) -4- ( À 1 ) «5 -+- M| Il = O.

Or, par hypothèse,

Donc

th= "lo-

Donc le point inconnu se confond avec le neuvième nœud; nous avons donc À droites, à savoir la tangente à la cubique et les )i — i droites construites plus haut, qui rencontrent la courbe d'ordre 3>, en X points confondus. Le neuvième nœud est donc un point multiple d'ordre X de la courbe d'ordre 3Â.

Nous avons donc délini un faisceau de courbes d'ordre 3X admettant nos neuf nœuds comme points multiples d'ordre X.

Soit \\i ^ o l'une de ces courbes.

Cherchons en quels points cette courbe louche l'une des courbes définies par nos équations différentielles, équations que j'écrirai comme dans la première partie

Le lieu des points où une des courbes définies par les équations (2) peut toucher la courbe 4* = o est défini par

, T s f d'il ,, d'il ,, d'h

(3) L-T^ -H Mji + N -^ = o.

rf.i- d y dz

Comme par hypothèse L, M et N sont d'ordre 4, et '^ d'ordre 3X, le premier membre de (3) est un polynôme homogène d'ordre

dy

-•l SUR L INTEGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Le nombre total des points d'intersection de (3) et de 'J; = o est donc

Considérons maintenant l'un de nos neuf nœuds dicritiques. soient Xn, j'o, 5o ses coordonnées; nous pourrons toujours supposer que ce poin' n'est pas sur la droite de l'inlini j =: o, ce qui nous permettra de faire ^o = i .

Développons ij/ suivant les puissances de x — Xg ;, y — Vos; il viendra

•h = '\i,-^'hl+t-T-...^'\,,l,

en appelant i^^ un ensemble de termes homogènes de degré k en x — XoZ et y — J>'o2, multipliés par ^''-*.

Le nœud considéré est un point mutiple d'ordre >. de '^ = o et les directions des ), tangentes sont données par l'équation homogène

Développons de même

zL — x^a, 3.M— kN

suivant les puissances croissantes de x — XoZ, y — ^^uZ^, il viendra

iL JfN = A 3*(j" .r„ Z) -H T), -1- T,3 -i- 71,.

;M— j-N = A.zUy —y„z)-h-r\'^-h t,, -t- t]'.,.

les ru et les t)Jj étant des polynômes homogènes d'ordre k en x — Xo:-. y — VoS multipliés par z^~''.

11 est à remarquer que le coefficient A est le même dans les deux formules; c'est précisément ce qui caractérise les nœuds dicritiques.

Comment trouver les termes du degré le moins élevé en (x — Xoz), (y — y'oz) dans le premier membre de (3)? Appelons 0 le premier membre de (3), il viendra

ou

(4) 5e-3ÀN'> = (3L — xN)^ -^(3M-vN)^.

dX ■/ ' ^y

Les termes de degré le moins élevé du second membre sont évidemment

Les termes de degré le moins élevé de N sont N,,;', N(,-' étant ce que devient N quand on y change x el y en XgZ el y^z.

SUR l'intégration algébrique des EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. ^3

L'ensemble des termes du degré le moins élevé de 0 sera donc

Xz3 4-x(3N„-f- A ).

Les 1 tangentes à la courbe 0 ^ o sont donc les mêmes que les >, tangentes à la courbe <]i =z o.

Le nœud considéré compte donc pour '/.{l + i) intersections elles neuf nœuds pour 9>,(>, + i) intersections.

Donc, ou bien les deux courbes se confondent, ou bien elles n'ont pas d'autre point d'intersection que les nœuds.

Mais il j n plus, je dis que je puis loujours^ supposer que la courbe 0 = 0 admet nos neuf nœuds comme points multiples d'ordre ) -|- i .

En effet, nous ne changeons pas nos équations différentielles en changeant L, M, N en L-\-xE., M + rH, N + .îH (H étant un polynôme homogène quelconque du troisième ordre).

On change ainsi 0 en

Soit Ui l'un de nos neuf nœuds. Soit H,; la valeur que prend H en ce point et soit SXAjiJ;). l'ensemble des termes de 0 qui sont d'ordre X en x — XqZ,

Pour que la courbe

admette nos neuf nœuds comme points d'ordre À -+- i , il faut et il suffit que l'on ait les neuf équations

Peut-on choisir les dix coefficients de H de façon à satisfaire à ces neuf équations? Il ne pourrait y avoir doute que si tous les déterminants formés à l'aide des coefficients de ces neuf équations à dix inconnues s'annulent tous à la fois. Mais s'il était ainsi, les équations (5 bis) H/ = G

admettraient une double infinité de solutions. C'est-à-dire qu'on pourrait faire passer par nos neuf nœuds un faisceau de cubiques et que S« serait une période.

Mais nous avons supposé que Su était commensurable avec une période et de telle façon que A soit le plus petit nombre tel que ISu soit une période. Donc, si X > i , Su n'est pas une période. Donc on peut satisfaire aux équa-

74 siiR l'intégration algébrique des équations uifférentielles du premier ordre. lions (5). Donc, on peut toujours supposer que 0 = o admet neuf points multiples d'ordre >. + i.

Nous admettrons déso^mai^ qu'il en est ainsi.

La courbe 0 = o est d'ordre 3(). + 0 et elle a, en nos neuf nœuds, 9(>. + i) points d'intersection avec notre cubique.

Nous sommes donc en présence de deux hypothèses :

i" Ou bien la courbe 0 = o se décompose en la cubique et une courbe d'ordre il;

2° Ou bien elle n'a pas d'autre point d'intersection avec la cubique que les nœuds. Mais alors on aurait

et comme on a déjà

il viendrait

S II ^s n,

ce qui est contraire à ce que nous avons supposé, puisque S (/ n'est pas une période.

La seconde hypothèse doit donc être rejetée.

Donc la courbe 0^o se décompose; et les deux composantes sont, d'une part la cubique, d'autre part une courl)e d'ordre 3À admettant les neuf nœuds comme points multiples d'ordre À et appartenant par conséquent à notre faisceau.

Soit F = o l'éqLuUion de notre cubique, celle d'une courbe quelconque du faisceau sera

a et 6 étant des coefficients arbitraires et, en oiri't. In cubique prise l fois, fait évidemment partie du faisceau.

On aura donc

e = Kl n'\i -t- ùF''').

Soit maintenant

„ , dF „ dF , dF

dx dy dz '

9 sera un polynôme du sixième degré.

La courbe 9 = o passe évidemment par chacun des nœuds et sa tangente au nœud est celle de la cubique; on le démontrerait comme plus haut.

Les deux courbes 9 = o et F=: o ont donc dix-huit points d'intersection aux nœuds; donc :

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du prehier ordre. 75

Ou bien 9 se décompose en deux facteurs dont F est l'un;

Ou bien les deux courbes n'ont pas d'autre point commun qu(3 les nœuds, ce

qui entraînerait la congruence

Cette congruence n'a pas lieu (si >. > 2).

Donc d est divisible par F.

Soit donc

e = PF,

P étant un polynôme du troisième degré.

Mais nous avons vu plus haut que les termes de degré 1 en x — x^z et

en y — YoZ dans 0 sont

>■ 3-' 'h (3 No -H A).

On verrait de même que les termes du premier degré en a; — XqS et y — }'„ :■

dans 0 sont

>.3-'Fi(3N„^A),

en représentant par F, l'ensemble des termes du premier degré de F.

Mais, d'après l'hypothèse faite plus haut, chaque nœud sera un point d'ordre 1 + i pour 0 = o, et l'on a par conséquent

3No+ A = n.

Donc les ternies du premier degré de 9 disparaissent. Chaque nœud est donc un point double pour 9 = o.

La courbe P = o passe donc par les neuf nœuds.

Si les cubiques P = o, F ^ o étaient distinctes, on aurait donc

5 K ^^ n, ce qui n'a pas lieu. Donc

6 = cF:,

c étant un coeflicient constant.

Nous pouvons alors nous demander s'il est possible, étant donné un polynôme F du troisième degré, de trouver trois polynômes L, M, N du quatrième

degré, tels que

Il est clair que ce problème comporte une infinité de solutions.

Soient P, Q, R trois polynômes quelconques du second degré, si nous

76 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. posons

il viendra évidemmenl

ax dy dz

C'est d'ailleurs la solution la plus générale, comme on s'en assurerait en remarquant que si L', M', N' sont trois polynômes du quatrième degré satisfaisant à l'identité

,,r/F ..,dY ...r/F dx dy dz

dV dV

le polynôme L' devra .être égal à la somme de -7- et de -7^ multipliés respectivement par deux polynômes du second degré.

Cela posé, donnons à nos polynômes L, M, N la forme (a) el cherchons quels seront les points singuliers de nos équations différentielles. Ces points singuliers sont donnés par

et l'on voit tout de suite qu'ils se divisent en deux catégories. Nous avons d'abord neuf points satisfaisant aux équations

1 <-/F d¥ dV

( S ) ; dx ■^ dy dz

Nous avons ensuite douze points satisfaisant aux équations

dF~

dF '

~ dF

dx

dy

dz

Les neuf premiers points sont sur la cubique F; ce sont eux qui devraient être nos neuf nœuds dicritiques.

Ils sont à rinlcrsectiou de F = o avec une autre cubique. On aura donc

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 77 Le faisceau /+ Cy = o devra alors se réduire à ua faisceau de cubiques

\' ■+- CF, = o.

de telle façon f|ue 1 = i .

On pourrait, il est vrai, se demander si l'on ne peut pas faire passer par ces neuf nœuds trois courbes de degré 3^, linéairement indépendantes et admettant les neuf nœuds comme points multiples d'ordre /..

On aurait alors non plus un faisceau mais un réseau de courbes d'ordre 3>,, et l'équation de ce réseau pourrait se mettre sous la forme

F'.-HC'F;-t- C"* = o.

où C et C" seraient des constantes arbitraires et «I» un polynôme d'ordre 3 A indécomposable.

Mais cela est impossible ; soit en effet M un point quelconque du plan; par ce point passeraient une infinité de courbes du réseau, formant un faisceau. Deux quelconques de ces courbes se couperaient en gl'^ points aux nœuds et en un [)oint au point M. En tout 9)1'- + ! points d'intersection. Cela est absurde, puisque les deux courbes sont d'ordre 3 À.

Ainsi nous devons conclure que 1 ^ ] .

Nous avons, il est vrai, laissé de côte un cas; celui où /. serait égal à 2, où l'on aurait par conséquent

et où la courbe 9 = o, au lieu de se décomposer en deux cubiques dont l'une serait F =: o, serait tangente aux neuf nœuds à la cubique F = o.

Dans ce cas on peut construire un faisceau de courbes du sixième degré admettant les neuf nœuds comme points doubles. Soit /( + C /■• = o l'équation de ce faisceau. On peut, (|uel que soitp, construire un faisceau de courbes de degré 6p admettant les neuf nœuds comme points multiples d'ordre 2p.

L'équation de ce faisceau est

Mais on ne peut pas, pour la même raison que tout à l'heure, construire un réseau de pareilles courbes.

On doit donc supposer /? =: i et par conséquent le faisceau f + Go = o ne pourrait être autre chose que le faisceau du sixième degré que nous venons de construire.

Supposons donc >, = 2.

78 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre.

L'équation du faisceau peut se mettre sous la forme

F- + Co = o, 9 étant du sixième degré.

La valeur G =: o est alors une valeur remarquable de C. Les équations connues

/,i + ■> = ■)/)— ^(a,— l)n,-, ■> = il — ^(a,— DÀf

deviennent alors

6 = 6À — (À — i)3 — N^(a,— i)rt,,

le signe 2' représentant une sommation s'étendant à tous les facteurs «, correspondant à toutes les valeurs critiques de C autres que C = o. Mais si 1 ;= 2, la dernière de ces équations se réduit à

> ( 2; I lÀ, = 1.

Cette équation ne peut être satisfaite que d'une seule manière. 11 ne doit j avoir, en dehors de C = o, qu'une seule valeur critique pour laquelle on aura

D'autre pari, la première équation donne

ou, puisqu'il n'y a qu'une seule valeur critique et que a;,'^ 2,

Ainsi, pour cette valeur critique, F^+Cw doit se réduire au carré d'un

poljnome du troisième degré F,, de sorte que la cubique F, ;= o passe par nos

neuf nœuds. On aura donc

Su^.o.

ce qui nous ramène au cas précédent.

Ainsi dans ce cas très particulier, que j'ai étudié peut-être un peu longuement, nous sommes parvenus à limiter le degré des courbes algébriques

/ -(- C ç = o ; mais pour cela les considérations purement arithmétiques ne nous ont pas suffi;

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 79 nous avons dû recourir au théorème d'Abel, qui nous a appris que