IV. — La question du genre

Fredholm a démontré que les coefficients de la fonction entière^ D().) décroissent comme (n") - ; et que la décroissance est plus rapide encore quand

le noyau f{x, y) satisfait à certaines conditions de continuité. Si par exemple

RR.MVRQIKS DIVERSES SUR L EQUATION DE FREDHOLM. 571

on a

A el y. ('iHiil des constantes, les coeflîcienls a,, flécroilroni comme («") '.

D'un .iiilrc côlé Hadamard a démontré que si le /(''""' coefficient d'une fonction entière est do l'ordre de (n") ', le genre de cette fonction entière sera E, en désignant par E -|- i l'entier inimédiatemeut supérieur à À. Si /T est entier, il peut y avoir doute et le genre peut être égal à /. ou à À — i .

Donc le genre de la fonction D(/, ) dépendra de l'exposant y. qui figure dans

les inégalités (i); il sera zéro pour a > -, il sera au [dus égal à i pour x > o, «<-; et enfin au plus égal à 2 pour st ^ o. Si donc le noyau a des dérivées

premières finies de sorte (]ue a =: 1 , le genre de D().) sera certainement nul. Nous pouvons nous demander ce que devient l'exposant y. quand on passe du noyau y'(a:, }') aux noyaux itérés successifs. Supposons quL' f(x. j)) soit de la forme

4'(x. )•) étant holomorphe. On peut alors étaljlir l'inégalité

iM-e', y) -Ua; y) i< A 1 x -,i-' ['--^ A. étant une constante. La fonction

sera donc nue fonction entière de genre zéro par rapport à /.- pourvu que l'exposant (1 — 'iy.) soit plus grand que -> cest-à-dire pourvu que

Si alors le noyau f{j'. y) n'est pas partout fini, la fonction D(À,y') n'existe |ias en général, mais nous pouvons, comme dans le paragraphe II, former les deux fonctions entières

on a d'aiileur!.

D(X-2, /.) = e^i'ig'»'-''.

La fonction e^ ' sera en général dans ce cas de genre i, de sorte que e'* '

5^2 REMABQIES DIVERSES SUR L EQUATION DE KREDIIOLM.

sera le produit d'un certain nombre de facteurs primaires de la forme

e?'.(i-TÀ)-

Le facteur primaire corresjiondanl de e*^"~" sera alors

e-P>'(i + YX) et celui de D (>.'-', /"..) sera

ce qui explique que la fonction D().^. /■,) soit de genre zéro.

Les résultats des trois premiers paragraphes s'appliquent sans changement lorsque les intégrales et les fonctions connues ou inconnues qui figurent dans IVquation do Fredholm sont des intégrales doul)Ies ou triples, et des fonctions de deux et de trois variables, au lieu dêtre des intégrales simples, et des fonctions d'une seule variable. Mais il n'en est pas de mèmi' des résultats relatifs au genre, que nous venons d'exposer. Le genre ne s'abaisse plus quand les inégalités (i) sont satisfaites, ou plutôt il s'abaisse moins i-apidcinent. Un résultat subsiste toutefois, et c'est le seul qui nous iniporte, le genre de D(/) reste toujours au plus égal à 2.

Comme d'ailleurs nous avons

D(X) - -'■ "" et que l'on peut écrire en décomposant D(>.) en facteurs primaires

D(/.) = ll(i-£)eï-.,

À, étant les valeurs propres de l'équation de Fredholm, c'est-à-dire les racines de D(>.) = o et P, étant un polynôme du second degré au plus; on en déduit

D(/.) -Zj /.-).('" ZdZài'r' ■ "'"

il'oii en identifiant les deux développements de -^ ^^ remarquant que IP, ne peut rionner que des termes de degré o et 1 :

égalité qui est exacte pour n > 2.

REMARQUES DIVERSES SUR l'kQI'ATION DE FREDHOI.M. 5yi