V. — Tentative de généralisation

Au paragrajilie TI. nous avons donné une règle pour former noire fonction méromorphe de À quand le novauy'(j;, y) peut devenir infini, tandis que lun des noyaux itérés successifs/",, (a?, y) reste partout fini.

On est naturellement amené à penser que la uiêini; rrgle restera applicable dans des las be;iucoup plu^ généraux, à savoir :

i" Si les intégrales

f''i->-,y)'Hr)<r

sont tinies. sauf pour des \ aleurs exceptionnelles de x.

■a" Si en même temps à partir d'un certain rarCg, les nombres que nous avons appelés b,, sont (inis.

Il est clair que cela peut arriver dans des cas où tous les noyaux /'„(. r, j) présentent encore des infinis, et l'on peut se demander si les régies des paragraphes II et III peuvent néanmoins être appliquées.

Je me bornerai au cas où toutes les valeurs propres'l.i sont réelles et positives. Les théorèmes de Hdbert nous permettent de reconnaître dans quel cas cela a certainement lieu. Ainsi, si le noyau e^\. symétrique^ les /.,■ sont certainement réels; ils seront positifs quand la forme quadratique qui correspond ;'i ce noyau sera définie; et par e-xemple, si f\x^ y) est un noyau symétrique, les valeurs propres relatives au noyau redoublé /..(j;, y) seront réelles et positives.

Cela posé, nous supposons que notre noyau f{.r.y) symétrique devient infini pour certaines valeurs de x et de )•; par exemple en certains points singuliers ou sur certaines lignes singulières du plan des jcy. Nous emploierons le même artifice que M. Hilbert à la lin de son premier Mémoire. Nous subdiviserons la pjirlie du plan des xy à laquelle s'étend l'intégration (c'est-à-dire par exemple le carré o < .r ■< ■ , o<]j'<i, si les limites d'intégration de l'intégrale de Fredholm sont o et i). Ce carré sera ainsi divisé en deux aires A et A' que nous assujettirons aux conditions suivantes : i" Tous les points et lignes singulières devront se trouver dans A'. 2" Chacune des deux aires A et A' devrait être symétrique par rapport à la droite x^y. Nous définirons ensuite un noyau symétrique /'(iC, y) de la façon suivante :

/■(■'■.,)■■)=./'(.'■. .)! (dans A 1. 7' . ./•, 1 ) ^ o ûlans A;.

574 REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.

Nous désignerons par li el b„ les valeiii-s de ces quantités qui correspondent à f{x, )■) et par A, et 6„ les valeurs des quantités correspondantes pour/''(.r, y). Nous ferons ensuite tendre l'aire A' vers zéro, de telle sorte que )., tende vers li et b) vers O,,. Le nojaa f (x, y) étant symétrique, les >,', seront tous réels, et nous pouvons nous arranger de façon qu'ils soient tous positifs. Comme le noyau /"(.r,)' ) est partout lini, les résultats du paragra[)lie IN seront applicables et nous aurons

Nous supposerons les À, rangés par ordre de grandeur croissante. Nous aurons

ensuite

/;„ = lim li'i,.

,1e dis d'abord que \ //„ tend vers une limite ]ir>ur /; = x. En effet, les A, étant réels positifs, les quantités yT*,, sont positives; de plus on a

d'où

et enlin

'• I ^ "il • "ii+ I -^ "n •

Les (juantités y///„ vont donc en décroissant quand n croît: il en résulte

qu'à la limite les quantités '\/bn iront en décroissant quand n croît (ou du moins

ne pourront croître) et comme ces (|uantil('S sont positives, elle> tendront vers

une limite pour « = oo; cette limite, je l'appelle Ay' .

Je dis maintenant que Ion a

À| = liiii À'i .

Observons d'abord que, an moins si u es/ /mil , //, va en décroissant quand n étant constant, l'aire A' diminue; ou a en effet

'''-•/,= /./;,(•'•■ ,r,i/;,i.i , .'■ )'/.'■ </r. Mais le noyau étant symétrique, cela peut s'écrire ,

el d'après sa définition f,;(x, y) ne peut (pie croître (piaud Taire A' diminue; on

aura donc si n est pair

REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQIATION DE FREDIIOI.M. 575

Dé plus pour ti >/>, (lapri's notre hypothèse, les quanlllés b„ sont (inies; nous aurons donc si p est un nombre pair suffisamment grand

Les quantités

vont en croissant quand n croîi : il en est donc de même des limites vers lesquelles tendent ces quantités cjuand l'aire A' tend vers zéro, c'est-à-dire de

Les quantités "r' et -^ tendent pour /( = oc, vers les mêmes limites que On (>„ ' •

les quantités v/i»,,, \/bn, c'est-à-dire vers ï.'~' et Xy' ; mais elles tendent vers ces limites en croissant, tandis que y//,,, \/6'„ tendent vers ces limites en décroissant. Un aura donc

d'où

On tire de là

Nous ne savons pas encore si X', tend vers une limite quand l'aiie A' tend vers zéro: mais nous pouvons parler de la limite supérieure et de la limite inférieure de 'A| ; je veux dire (pie À, oscillera entre deux limites, dont l'une tendra vers limsupX, et l'autre vers liminfX| quand A' tendra vers zéro; à la limite les inégalités (2) deviendront donc puisque (linii„= />„) :

(3) nmsupr. ^^^^.,7^.

liiii int A 1 , — ; , ~;,

Mais comme nous pouNons prendre /( assez grand pour (|ue les seconds membres de l'inégalité (3) soient aussi voisins de i que nous voudrons, nous

pouvons écrire

liin sup À'i , lim inf À', ^ ;— ' S 1 ; 1^ > I .

Al - A, -

c'est-à-dire

c. y. r. II.

',-6 REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.

On verrait comme plus haut que les quantités

vont en décroissant quand n croît indéfiniment, et que l'aire A' demeure constante. D'autre part on a

limC//,,— >,■,-") = />„— Xy"

quand n restant constant, A tend vers zéro. On voit qu'i'i la limite

décroît quand n croît. Cette expression pour « = oo tend donc vers une limite que j'appelle /.^' .

On verrait ensuite que les expressions

"il '• 1

et par ctmséquont

A,, — /.," \ont en croissant avec n et l'on en déduirait les inégalités

À2"< /'«— AT" < (/'/'- '■T'')>-r" < 'v'-r".

et en raisonnant ensuite sur b„ — A^", Z)„ — À'"", /., et Àj comme nous l'avons t'ait sur /(„, A^,, À, cl À,, ncius verrions que

lini '/.'., — À...

Et ainsi de suite.

Je dis maintenant que si nous considérons la fonction

c'est le logarithme d'une fonction entière de 7. .Soit en ell'et

'=* K,(;.;=K(>,)-Vlog(,-A) = -2T^'-

Nou^ aurons pour q ^ p

r,,= />„-Aj'/-\7,'/-...-lJ,'' •

et par conséquent

lim v^Cy= À/;?,.

La fonction K,(/.j est donc liolonior|)lie pour |À|<|).^|| ] et il en est de

REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM. iyj

même de e"*' ou de

Mais nous pouvons prendre h assez grand pour que }./,+\ soit aussi grand que l'on veut. On a en effet '

l>p > ).T'' ^Xt/' + ...+ l-^i' > h X-f,'i , , d'où

Donc e^ reste holomorphe pour un module de ). aussi grand que l'on veut. C'est donc une fonction entière. c. q. f. d.

Il faudrait, pour compléter le résultat, démontrer le même théorème en ce qui concerne le numérateur de la fonction méromorphe; je me propose de revenir ultérieurement sur cette question.