VI. — Équations intégrales de première espèce

Il y a des cas où la méthode de Fredholm permet presque immédiatement l'intégration des équations intégrales de première espèce, c'est-à-dire de la forme

où 'ji(x) est donnée et 'f(jK) inconnue, les limites de l'intégrale étant des constantes.

Soit par exemple

Dans le cas de \ = o, elle se réduit tout simplement à l'équation de Fourier

d'où l'on tirerait

Posons alors

?(/)= / <^{z)e-i'-y dz, H. P. — III. 7*

578 BEMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.

l'équalion (i) deviendra

(2) iK^(x)^A ^{z)f{x,j)e-i~ydz.dy = 'i^{x)

J — se

et prend ainsi la forme d'une équation de Fredholm, où $(;r) est la fonction inconnue et où le noyau est

K{x,z)=J f{x,y)e-i-ydy.

Quelle est la condition pour que la niélhode de Fredholm soit applicable à Téquation (2) qui peut s'écrire

•27c*(.r)H-X Ç <i{:.)K(x,z)dz = 'l(x).

L'intégrale étant prise entre des limites infinies, il faut chercher d'abord à la

ramener à des limites finies; c'est ce qui est possible si K.(a?, z) s'annule pour

; ^ rh 00, et pour j :; | très grand est de l'ordre de j 5 |~'^, où /i > 1 . Si nous

posons en effet

.r = tangf, ; = tangÇ,

l'écjuation prend la forme

•l>(lanf,'î) k(lang|, langÇ)-^7 = l-Cang? 71 cos-i:

ou mieux encore si nous posons

X = tanj^'Ç, 3 = tang*Ç,

A' étant un nombre suffisamment grand pour que

ce qui est toujours possible si /i > i , notre équation deviendra

/ dt

k'\>{ tang-î- ■Ç)K( lang* |, tang^' t ) tang*- 1 Ç - — ■— = J> ( tang* f ) — ' OS" ».

Nous voyons que le nouveau noyau

/.■K(tang'(?, tang*r) lang*-'î

cos-Ç

REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLH.

se comporte pour Ç = zh-^ comme

tanj;-<''Ç taii^''-'?

c'est-à-dire comme

cos-Ç

(cdsÇ)*''"''-' et par conséquent reste fini puisque

Pour préciser davantage nous supposerons que

A étant une constante indépendante de x et de z, et Tinégalilé subsistant pour toutes les valeurs de a? et de ; depuis — 00 jusqu'à -\- ce.

A quelles conditions cela correspond-il pour /'(a?, y). 11 faut d'abord que l;i méthode de Fouriur puisse être appliquée à/(j7,j'), c'est-à-dire :

1" Que/(j:, )■) considérée comme fonction de )■ n'admette ([u'un nombre fini de maxima et de miuima (quelle que soit la valeur constante attribuée à x);

2" Quey"(a;,j^) tende uniformément vers zéro, qu;ind j' tend vers l'inlini, et cela quel que soit a;.

Si nous supposons de plus ([nef(x, y ) admet des dérivées des deux pn-miers ordres; que -j- tend uniformément vers zéro, quand )■ tend vers l'infini et que

et qu'enfin -~ n'ait comme /'qu'un nimibre Uni de maxima et de minima, on aura en intégrant par parties :

I fe-'->dy— - ft—'-) -r- ~T- ~ e-'~y / -r^ e-'-i dy

ou en prenant pour limites j' = ± qo

|K(.-,.):<|-L|m r"'^^ = iLl.

d'où

Et comme d'ailleurs j K(x, s) | reste fini même pour c = o, on voit que les conditions sont remplies pour que la méthode de Fredholm soit applicable.

58o • REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.

11 est à peine nécessaire d'ajouter qu'elle le serait dans des cas beaucoup plus généraux et qu'il serait aisé de déterminer.

Cherchons à appliquer le même principe à des séries analogues à celles de P^ourier et écrivons

O) •H-r) = i:A„,fe''"^-(-/,e,„(a-)].

Partons de la formule de Fourier, en posant

■ir.A„,= l ziz) €-••>'■- dz\ ç(3) = i:A,„e''"'--.

notre équation de\ iendra

(4) i,{x)= a(x)— — f z(ztl.e-"":Q,„{.v):/:.

Dans l'équation (3), il s'agissait de déterminer les coefficients A,,,, connaissant les fonctions '4'(.'f) et ô,„{x), c'est-à-dire de développer la fonction donnée '\'(x) en série procédant suivant les fonctions e""' + â9„, (a") . Dans l'équation transformée (4), il s'agit de déterminer la fonction inconnue 's{x) connaissant la fonction 4'(^)- Les deux problèmes sont manifestement équivalents, mais le second se ramène à une équation intégrale, et la méthode de Fredholm y sera applicable pourvu que le noyau

soit toujours liai.

C'est ce qui arrivera évidemment si la série

est absolument et unlformémeut convergente.

Soit par exemple à développer 4'(.3;) pour les valeurs de x comprises entre

o et 2 7r, suivant les exponentielles

Nous pourrons ramener ces exponentielles à la forme

,■''"■ >,«,„ en posant

Or on a

I 6m I < I }J-,„— 'Il \x

puisque

REMARQUES DIVERSES SUR LÉQUATION DE FREDHOLM. 58l

et que | e" j = i . Comme j: varie de o à 2 r, on aura

I flm l< 2 7: I ,U,„— /Il \.

Il suffit donc que la série

- I Km— '" 1

soit absolument et uniformément convergente. C'est ce qui arrivera, par

exemple, si l'on a

fi,„ = m ^ -•

Ici encore, il serait aisé d'étendre le résultat à des cas beaucoup plus étendus. Soit maintenant l'équation

qui diflere de (i) parce que les limites ne sont plus infinies. Nous ne pouvons pas nous proposer de déterminer la fonction inconnue cp, connaissant la fonction ■]/; el cette fonction étant quelconque; le problème serait en général impossible. 11 suffit pour s'en convaincre tle faire )i = o; on voit alors que, quelle que soit la fonction 9()), la fonction '^ sera une fonction entière qui tend vers zéro quand x tend vers l'infini, avec un argument compris entre oetTï; et telle que '^e~-''^-'' tende vers zéro quand jc tend vers l'infini avec un argument compris entre r. et 271. La fonction i^ ne peut donc pas être choisie arbitrairement.

Ce que nous nous donnerons, ce sont les saleiirs '!/(/») (|ue prend la fonction ij/ quand x prend une valeur entière positive ou négative. Il est aisé d'ailleurs de se rendre compte que ces vnleurs 4'('") suffisent pour déterminer une fonction entière satisfaisant aux conditions que nous venons d'énoncer.

Posons encore

o(s)= 2 A, „<■-'■'"=, i.T.K,„= f <f{z)ei"'-dz.

L'équation (5) devient alors (6) 2;tA,„+X f Z\,,e'''/'yfim,j)dy = '\,{iii).

Celte équation doit permettre de déterminer les coefficients A et par conséquent la fonction inconnue 9, quand on connaît les quantités ^{in).

Cette équation n'a plus la forme d'une équation intégrale, mais celle d'un système d'une infinité d'équations à une infinité d'inconnues, tel que ceux qui