REMARQUES DIVERSES SUR L ÉQUATION DE FREDHOLM

ont fait l'objet des éludes de M. ^onKocll. L'analogie des deux théories est d'ailleurs évidente.

Pour que la mélhode soit applicable, il faut et il suffit que le déterminant infini converge: il suffit donc qu'il soit normal au sens de ÎM. vonKocli, c'està-dire (jue la série double en m et p

converge absolument. Si/(m,v) e^l une fonction périodique de y avec une dérivée seconde, nos intégrales peuvent se transformer par une intégration par parties et la série (7) devient

Vr'~ p-'/'x

Les teruies en sont plus petits que ceux de la série

Il suffit donc que la série

converge absolument et uniformément, ou encore que l'intégrale

J f{.r,z),lz

converge absolument et uniformément.

On voit par cet exemple quelles différences il y a, en ce qui concerne les équations intégrales de première espèce, entre le cas où les limites sont finies et celui dû elles sont infinies, cas auquel se rattacherait d'ailleurs celui où le noyau présenterait des singularités entre les limites d'intégration. Je me réserve de revenir sur cette question par des méthodes fondées sur l'itération des noyaux et qui mettront en évidence d'une autre manière les mêmes particularités.

1. Pages 6 et if\. Sur les rr/uations a points critiques Ji-res :

I. L'extension des recherches de Fuchs el de Poincaré a donné lieu à des travaux imporlanls. maintenant classiques, dus essentiellement à MM. Emile Picard et Paul Painlevé (') et à leurs élèves. Nous en donnons ici une bibliographie sommaire, les questions soulevées étant loin d'être épuisées. M. P. Painlevé a d'abord observé que les raisonnements de Fuchs et de Poincaré doivent être complétés : ils sous-entendent des propriétés des solutions de l'équation du premier ordre, non encore établies, qui ne sont plus vraies pour les ordres supérieurs.

Fuchs exprime que toute solution de léquation F(j'', y, x) =: o qui prend, pour un point arbitraire jr=^u:„, une valeur délerininée y„, est uniforme dans le domaine de j:„. Painlevé démontre (Thèse; Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, Paris, 1887, p. 38, et Annales de la Faculté de Toulouse, 1888, p. 38-07) que toute solution y(-r) d'une équation V(y', y, a;)z=o, où F est un polynôme en y' , y à coefficients analytiques en x, ne peut admettre comme points singuliers non algébriques que certains points y?j;e,ç, x^Ç, mis en évidence sur l'équation. Si les coefficients sont algébriques en x. ces points sont en nombre limité. Il n'y a donc pas pour une solution y{x) de point variable x„ pour lequel j'(x) ne tendrait vers aucune valeur déterminée quand x tend vers x^.

Au contraire, dès le second ordre, les solutions y{x) peuvent présenter des points transcendants ou essentiels mobiles, o'est-à-dire variant avec les constantes d'intégration. Il suffit, par exemple, de remplacer dans l'équation précédente x par X -t- c et d'éliminer c entre l'équation et sa dérivée pour obtenir une équation du second ordre en )', indépendante de x. dont les solutions possèdent les points transcendants x = ^ — c, variables avec c.

La méthode de Poincaré s'appuie sur l'existence d'une correspondance birationnellc entre les valeurs y{x), y' {x) et les valeurs initiales y„, >''„, mais il démontre seulement que cette correspondance est biuni forme. S'il était prouvé que la correspondance n'admet que des points singuliers isolés, on en conclurait aisément qu'elle est birationnelle, mais a. priori elle peut admettre des singularités plus compliquées; cela arrive pour les ordres supérieurs. Si dans la rela-

(') Les pa{;es qui suivent étaient écrites au moment île la moi-t de l'illustre yéomètrc: elles peuvent tout juste faire pressentir l'importanee île son œuvre dans la théorie des équations diflérenlielles.

tion 1 =cp(j:, )„. j?„) on regarde jc et jc„ comme fixe?. Painlevé montre que si leurs valeurs diflfèrent des valeurs ;. pour une équation à points critiques fixes la fonction ^ de la seule variable )„ ne présente dans le plan complexe, même à rinfioi, que des singularités algébriques. Il suit fie là, sans restriction, que la correspondance entre v, i ' et i,,, ^'i, est biralionnelle.

Ces propositions ont permis à Painlevé d'étudiei' les équations du premier ordre F(v, y', j:^) = o, où F est un polvnonu> en i ', r à coefficients analytiques en .r, dont ta solution i^vnérale y(x) n\icquierl fjuc n déterminations quand .r tourne autour des points critiques mobiles (nécessairement algébriques). [La variable jt ne tourne donc pas autour des points transcendants ;. c'esl-à-dire que la variation de l'argument de .r — 1. pour tous les points ;. est nulle pour tous les contours fermés envisagés. ] >-

'Le résultat est simple : ces équations se ramènent algébriquement à des équations à points critiques fixes. (Cf. Leçons sur la Théorie analytique des équations différentielles, professées à Stockholm en iSgS, Paris. t897. p. 28-60 et \!\i-!\&2, eV Comptes rendus Acad. Sciences, Paris. 28 et .3o juillet, .5 novembre 1888.)

La recherche des équations Vtj'.y, .i) = o, algébriques en i. >' à coefficients uniformes en .r dont la solution générale 1 (.r) est uniforme, ou à un nombre fini de branches, est un problème beaucoup plus difficile lorsque ./ ligure dans Péqualion. Le cas simple de Téqualion de Hii-rali n'est pas encore traité. (Cf. 1^. Painlevé. Leçons de Stoc/diolm. p. 3i<)-238 et une Aote étendue dans l'ouvrage de Pierre Boutroux : Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles du premier ordre. Paris.)

La question a été reprise, avec les méthodes de I'. Houlroux. par J. .Malmquist (Acta mathematica. 36. 1910, p. 297-343) pour les équations où y' est rationnel en X et r. Cf. aussi les résultats curieux obtenus ]iar M. IVtrovitch (Comptes rendus Acad. .Sciences. 118. iSg^, p. 1190. et Thèse. Paris. iS9.5: aussi E. PicABD, Traité d' .inalyse. 111. 3' édition, p. 37S).

II. Les mêmes questions se posent pour les é(|uations du second oidre. algébriques en )•". )•'. )•, analytiques en x. Quelles sont les équations à points critiques fi. ces? Parmi celles-là. quelles sont celles dont la solution i;énérale v(.r) est une fonction uniforme ou à un nombre fini de branches? Peut-on les intégrera l'aide de fonctions unifoimes déjà définies ou déterminent-elles des transcendantes nou- \ elles'.'

M. E. Picard a consacré à ces questions entre 1880 et iSgà plusieurs Mémoires et de nombreuses Notes (cf. Comptes rendus Acad. Sciences, Paris, 91, 1880, p. 724; 103. 1886. p. 549; lO'f. 1887, p. 41; 11'*, 189-'- P- '3io; 116, 1898, p. .365; 117. 1898. p. 472 et6o3; 1-20. 1895, p. 402). Citons en particulier: Sur une propriété des fondions uniformes d'une variable liées par une équation algé' rique et sur une classe d'équations différentielles (Bulletin Se. math., k, 1880. p. 4i6-432); Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables {Journal de Liou ville. 5. 1889, p. 228-249 et 268-819); Remarques sur les équations différentielles (Acta mathematica, 17, 1898, p. 296-800); Sur une classe de transcendantes nouvelles. 18, 1894, p. i88-i54; 23. 1900, p. 838-887; Sur l'inversion des inté-

NOTES ET ERBATA.

grales à multiplicateurs {American Journal. 16. iSg'i. p. 111-123), el Traité (T Analyse, t. III, 3'' pdition. 1937, p. 67-81.

M. Picard s'occupe d'abord des équations algébriques de la forme F(j", ))=:o. puis de >■"= 1 '- A( )■) et détermine tous les cas où la solution générale y est uniforme en x: on n'a pas ainsi de fonctions nouvelles.

Passant au\ équations )•"= R()', )•), oii H est rationnel en v' et )•, M. Picard a donné des conditions i«//«a/i<e5 pour que j(x) n'ait ni points critiques algébriques, ni points transcendants d'une certaine espèce; la solution y{x) est à apparence uniforme, elle n'est pas toujours uniforme. (Cf. les applications particulières de Forsyth. Theorr of diJJ'erential équations, III, p. 276-806; Wallenbebg, Journal de Crelle, 119. 1898, p. 87-118; 120. 1899, p. ii3-i3i.)

Lorsque x figure dans l'équalion et qu'elle a la forme

y" = y'[aix)y -^- h(x)]-¥- A(,r )y^-i- B( x)y--^- Cl x)y -^ D(j-).

M, E. Picard a donné deux conditions pour que ) (x) présente des pôles mobiles; Painlevé (Acta mathematica, 25, 1902, § 30) a montré que ces conditions, non nécessaires, sont suffisantes et qu'on peut former toutes les équations qui y satisfont. Dans le cas oii les coefficients «. .... \. ... sont constants, Mittag-Lœftler {Acta mathematica. 18, 1894, p- 233-245) etPi-ansén ont prouvé que les conditions de M. Picard entraînent lintégrabilité de l'équation par les fonctions uniformes élémentaires.

La grande difficulté de l'étude des équations du second ordre à points critiques fixes, reconnue par M. E. Picard, est dans l'existence de points transcendants ou essentiels mobiles. La solution de l'équalion

définie par les valeurs initiales ; )„, l'o pour j =j"„ présente en général un point transcendant quand ces valeurs initiales annulent à la fois P et Q. Pour l'équation

dont la solution générale est

y = tang[ log A( .r — ai,

lorsque X tend vers a dans une direction quelconque, v est indéterminé : ce point est essentiel et critique.

L'équation, rencontrée par M, E. Picard, retrouvée et étudiée plus tard par Painlevé,

\f = yi 1 y [ -2 l<\y^- ( i -+-/,= ,] -h ^ ^ Â | ,

oii A:=(i— y-)(i — A",}') et }. est une constante, est telle que 1 (.;) n'a comme

point singulier algébrique que des pôles; toute solution j- qui tend vers une valeur

déterminée, finie ou non, quand x tend vers x„ est holomorphe on méromorphe

H. r. - ni. 74

pourx = oro. Cependant, comme

y — î/i<-,[ X logA(,/- — a )J,

le point ^ = (7 661 un point d'indétermination complète pour >; sur un chemin donné tendant vers (7, quel qu'il soit, r ne tend vers aucune limite et une infinité de déterminations de r se permutent autour de ce point, à moins que nitû. ne soit une période ou fraction de période de sn^-. l'ourque »■ soit à points critiques fixes (ici uniforme), il faut et suffit que celle condition soit remplie : 2«7iÀ est période de snk-.; on ne sait pas le reconnaître, >, el A étant donnés, par un nombre limité de calculs.

M. E, Picard a obtenu enfin {Acta niathematica, 18, iSg'i. p- i33). en partant de fonctions uniformes définies directement, des é(iuations difi'érentielles à solution générale unifoinie, mais il a reconnu que celte solution dépend algébriquement des constantes. Ces équations sont alors réductibles aux quadratures ou aux équations linéaires (cf. Fainlevé, Leçons de Stockholm, p. 35i-394).

La méthode par laquelle P. Fainlevé a obtenu de nouvelles conditions nécessaires à la fixité des points critiques est très simple en principe : elle consiste à introduire dans les coefficients, supposés holomorphes, du système dillerentiel étudié, par une transformation des éléments (variable el fonctions) qui conserve cette holomorphie, un paramètre variable c, tel (pie les coefficients soienl aussi holomorphes en c/.. Si le système a ses points critiques fixes pour a ([uelconque, non nul. il en sera de même pour at = o el le développement des solutions suivant les puissances de a aura pour coefficients des fonctions de la variable à points critiques fixes.

Un choix convenable de la transformation amène pour<z=oà des équations simplifiées pour lesquelles on sait exprimer la fixité des points crilii[ues ou l'uniformilé de la solution.

Cette méthode est susceptible d'applications variées (cf. I'ainlbvé, Acla matheniatica, 23, igoîî, p. 82-85). Les équations difierenlielles qui peuvent être à points critiques fixes, ou à solution i^énérale uniforuie, étant, par la méthode précédente, réduites à un petit nombre de types, il s'agit, pour celles que Voanepeul intégrer à Caide de fonctions uniformes définies par des équations du premier ordre ou lies équations linéaires, de décider si les points critiques sont réellement fixes, ou si la solution est uniforme. La méthode, imaginée par M. Painlevé pour le second ordre, s'étend au troisième el aux ordres supérieurs, mais la difficulté de son application croît avec Tordre de l'équation.

Les résultats essentiels de Painlevé sont résumés dans un Mémoire étendu : Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme (Acta mathematica, 25, igoa, p. i-86); la détermination explicite de toutes les équations à points critiques fixes, du type

y" = a(.r)y-(- b{x)y--\- c(.r )y -h rH x),

et la démonstration des propriétés fondamentales de l'éipiation

(I) y=fi/=-H.r,

NOTES ET EllRATA. 5Bj

qui est la plus simple de celles qui délinissenl des fondions uniformes (méromorphes) nouvelles, sont données en détail au Mémoire sur les équations di/férentiflles dont l'intégrale générale est uniforme {Bulletin de la Soc. math, de France, 28, 1900, p. iot-sôi).

Une omission dans les tableaux publiés aux Acta matliematica a conduit M. Gambier à reprendre l'application de la méthode de l'ainlevé (Comiiles rendus Acad. Sciences, Paris, 143, 1906, p. -,'| 1 , et Acta matliematica. 33, 1910, p. 1-55); c'est ainsi qu'a été trouvée léquation

'i \y y — i r — .rl" \ j- ./■ — 1 r~ xj-

if 'yr -ix — w ,j(.r — 1)1 \ J.-^ — -t- h o

yi y — \M y — ./• 1

(y., (3, y, (î constantes). Painlevé montre alors (Comptes rendus Arad. Sciences, Paris, 143, 1906, p. iiii) que cette équation (\lj donne par dégénérescence les cinq équations :

i, •. V' i .. , . '!' ( I \ I >' = ^ 1 — y-^ I xy- -\- ■ii.x- — '^ij'H )

(III) y = ^ ^ -h -^ -+- VJ'-f- - ,

(1) y == ti K--l- -r.

Ces six équations sont les tyi'es auxquels se ramènent, algébriquement, toutes les équations

où R est rationnel en y', algébrique en i , analytique en jc dont les points critiques sont fixes et qui ne s'intègrent pas à l'aide de fonctions uniformes classiques (données par des équations du premier ordre ou par des équations linéaires).

La solution générale de (NI) est méromorphe, ifi»// a«j; trois points homologues (x:^o, I, 30) qui sont des singularités transcendantes. M. R. Garnier a étudié )(x) au voisinage de ces singularités par l'emploi des approximations successives de M. E. Picard (Ann. Éc. A'orm., 34. 1917, p. 239-253).

La solution générale de (1) esl partout méromorphe; les égalités

y=,ol,x,x^,,y^,,y„), y = J^'

qui la déterminent, expriment entre )•, r' et leurs valeurs initiales une correspondance biuniforme. On peut écrire

OÙ Ç(j) est une fonction entière définie par le système

F. Boiilroux a étudié en détail l'allure des solutions )(j") quand j: croit indéfiniment; une transformation simple le conduit à les regarder comme asymptotes aux fonctions doublement périodiques (.J««. Èc. /Vor/»!., 30. igiS, p. gôô-SyS, et 31.

La solution générale de (II) est encore méromorphe et s'exprime comme quotient de deux fonctions entières qui satisfont à une équation du troisième ordre.

Quand on passe à (IIIj, )' a un point transcendant pour x = o, mais si l'on pose j = e", Y est méromorphe en u et F. Fainlevé a montré qu'on pouvait aussi l'obtenir comme quotient de deux fonctions entières qui satisfont à un système du troisième ordre.

Les fonctions méromorphes (ou entières) définies ainsi ont été nommées fonctions de Pninleré. La raison profonde de leur nom-eaiité doit être cherchée dans la théorie du groupe de rationalité (au sens de M. Drach) de l'équation aux dérivées partielles correspondante :

^•' r)x ày^ i)y •'

Four toutes les équations de Fainlevé, ce groupe est le groupe infini, primitif, simple, de transformations, défini par l'équation

9, '^i sont deux intégrales de \(/) = o, formant un système fondamental et satisfaisant à une relation

•Hr,y'^

où M est un dernier multiplicateur de Jacobi, rationnel en .r, v, v'. On parvient facilement à l'expression de M, pour f VI). en remarquant que cette équation peut être obtenue en annulant la variation de l'intégrale simple

oii l'on a posé

y<y — i){y — x) on peut prendre alors

jV{x,y,y')(lx,

> I 'yr ( ./■ — i) . .'1 .(• — ni

' -i- — 1 • L y LK — I ) (y — -i)i

r7-F ïjf.l— I)

Four ( I ) et ( Il ). on a simplement

Toutes les fonctions uniformes définies antérieurement à l'aide d'équations difléentielles correspondaient à des groupes de rationalité finis ( projectifs ou

linéaires); il y a donc lieu de regarder les transcendantes uniformes de Painlevé comme de nature essentiellement nouvelle (cf. P. I'aislevé, Comptes rendus Acad. Sciences. Paris, 135, 27 octobre 1902 et 1902-t!)()3. possini; .1. Drach, Bulletin Se. math., 39, igiS, p. i^g)-

Une autre « correspondance » allait accroître leur intérêt. Alors que M. Gambier trouvait l'équation (VI), M. Richard Fuchs poursuivant les recherches de son père ]j. Fuchs et de M. Schlesinger sur les groupes des équations linéaires, la rencontrait aussi (cf. Comptes rendus Acad. Sciences, Paris, 141, igoS, p. 555, el Math. Ann., 63, 1906, p. 3oi). Si l'on considère l'équation difFérentielle linéaire (E,) à coefficients rationnels, réguliers, possédant les quatre points singuliers o, i, x, oo et un point ^'iw^aW^v apparent y,

I d-^z a = dt^ =-- l^-^

- ' ^1/ — Il ' i b

et si l'on cherche à déterminer )• el les coefficients en fonction de .r. de manière que le groupe de monodromie de(E,) soit indépendant du païamètre x, on trouve que )■ doit vérifier l'équation (VI), a. (3, y, i5 ayant les mêmes valeurs, constantes, et que a el h s'expriment rationnellement à l'aide de v', y, x.

L'équation ( VI ) est ainsi mise en relation avec le problème de Riemann qui consiste à déterminer les arbitraires d'une équation didërentielle linéaire, où les points singuliers sont fixés, de manière qu'elle admette un groupe donné.

On déduit de là une interprétation des intégrales premières de (VI) au moyen des transformations linéaires que subissent les solutions fondamentales de (F,) quand t tourne autour des points singuliers (cf. R. Garnier, Comptes rendus Acad. Sciences, Paris. 159, 1914, P- 396)-

Tout ceci s'étend à un ordre quelconque, c'est-à-dire qu'en partant d'une équation ditTérentielle linéaire, ou mieux d'un système linéaire el homogène à n inconnues dont les coefficients n'ont que des pôles simples, comme le fait F. Schlesinger, l'étude du problème de Riemann conduit à des systèmes difierentiels qui définissent des transcendantes dont les points critiques sont fixes, les pôles seuls étant mobiles (cf. L. Schlesinger. Journal fiir die reine Math., 123, 1901, p. i38, el Vorlesungen liber lineare Differenlialgleicliungen, Leipzig iind Berlin, 1908, p. 7).

Pour le développement des recherches de Painlevé sur les équations du second ordre, on doit citer encore J. Malmqiiist {Archiv for Math.. 17, 22, et Comptes rendus du. h" Congrès des Math. Scandinaves, 1922, p. 233-253) et F. Tricomi {Atti délia r. Ace. dei Lincei, \ . 32, 1923) qui étudie les équations du second degré en y" .

L'élude des équations du troisième ordre à points critiques fixes, commencée par M. Painlevé {Acta. mathematica, 25, 1902, p. 67), a été continuée par MM. J. Chazy el R. Garnier. M. ,1. Chazy {Comptes rendus Acad. Sciences, Paris, 14.5, 1907, p. 3o5, et Acta mathematica, 34, 1910, p. 3i6-386) a étudié en détail la simplifiée correspondante

y" = (1 ) '—r -t- 6( )•) r' v" ^ ci V) v"-\

DgO .NOTES ET ERRATA.

OÙ b(y) et f( )') sont rationnels et où n est un entier positif ou négatif, ou infini mais diflTérent de — i et de zéro, dont la solution générale est uniforme.

Pour n^ — 2. b( »)^o, on trouve les fonctions fuchsiennes ou kleinéennes de Poincaré. Lorsque n jzi — 2. M. Painlevé avait annoncé que b(y) et c{ ) ) étaient de genre zéro ou un, sauf si les points singuliers de j'(jr) forment un ensemble parfait, et <]ue j' s'obtenait avec les fonctions uniformes classiques.

M. R. Garnier reprenant le cas b{y). c{v) rationnels a traité en outre (Comptes rendus Acad. Sciences. Paris. Wà, 1907. p. 3o8, et 147, 1908, p. 9i5) le cas oii ces fonctions sont de genre un.

M. Chazy a formé une équation à points critiques fixes qui donne par dégénérescence les six équations du second ordre de M. Painle\é. mais son étude n'est pas terminée. Il a également étudié quelques équations du quatrième ordre.

M. E. Borel avait observé (Comptes rendus Acad. Sciences, Paris, 138, igoq, p. 3.57) que l'ensemble des termes de poids le plus élevé par rapport aux indices de dérivation, dans certaines équations dont la solution générale est entière, est identique à un imariant d'une forme binaire

Par exemple, les trois invariants

uu" — «'-, UH'^ — 4 " " -•- 3//'-, H«" — f)H'«'-t- ij»"f(" — io;("'-

donnent des éijuations dont les solutions respectives sont les fonctions entières :

e'iT^h^ gn.r^h 5( ^ ^ c^ o^ ({-^^ gn.,+l, a { X -^- C \ O, C ) H X -I- d ; o, — e),

on la dernière ne dépend que de cinq constantes. iM. Cliazy a développé ces remarques, sans aboutir à des conclusions définitives ; toutefois léquation obtenue en annulant l'invariant de la suite qui correspond à « > 6 a des points critiques transcendants.

Un autre travail de M. Chazy (Ado malliematiia, h\ , 192(1, p. 1-69) est essentiellement consacré à la limitation des degrés dans la fonction rationnelle R. pour que l'équation d^ordre n

ait ses points i'rilii)ues fixes.

M. R. Garnier. dan< sa Thèse (Ann. lie. Norm. sup.. 3'' série, 29, 1913, p. 3'|-i6o). a généralisé ré(]uation (F,) qui conduit à ( \ I ) en portant à (n -+- 3) le nombre des points essentiellement singuliers; dans l'équation, régulière au sens de Fuchs,

Y de- X- (x — I)- x{x — I)

-if-^— - — ^ — ^1'

NOTES ET ERRATA. Sgl

qui possède a\ec les points singuliers /,, les points apparents '/./, simples et en même nombre /(, il s'agit île déterminer les À/ et a, (et par suite les c,. ^/ qui en

résultent) en fonction des /i variables /, /„ de manièie que les coefficients des

transformations du groupe de monodromie G, soient indépendantes de /,. ..., /„.

M. R. tiaiiiier obtient pour' les)., urr système ( /'„. F„) comprenant é((uations

du preiirier or-dre (/„) et // é(piations dir second ordre (F;,), complètement intégrable, qui donne par dégénérescence un systènre liyperellipti([ue jacobien de genr-e n.

Il montre ([ue les fonctions symétriques des ),,, considéi-ées comme fonctions de Fun des ar-gumenls /,. ont leurs points critiques fixes (ti=ztj, o, i , oo) et sont méromorphes en dehors de ces points.

Dans la suite {Ann. Éc. Norm. sup., 3'' série. 4-3, 1926), M. R. Garnier a étendu ses recherches au pr'oblème de Riemaun généi'al, en étudiant autour de leurs singularités essentielles [comme il l'avait fait pour (VI)] les solutions du système (A) par lequel L. Schlesinger définit les i-ésidus des pôles simples des coefficients de son système linéaire (S) au moyen des affixes de ces pôles (piand on fixe le groupe G de monodr-omie de (S). Ce système {K) est d'ordre (/j « -1-8). il possède (■iirt-i-y) intégrales premières algébriques, dont («-1-3) quadi-atiques ; M. R. Garnier a réussi à le r-emplacer par un système plus simple d'ordr-e 2«, auquel il applique la méliiodc des approximations successives de M. E. Picard.

2. Pages 95 et 101. Sur rintégration algébrique des équations différentielles linéaires :

Cette question a été l'objet de nombreux travaux à la fin du siècle dernier. II. Valentiner (Mémoires de V Académie de Copen/iague, 6'" série. V, r889), recherchant à nouveau les gi-oupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire homogène à trois variables d'ordre 36o, a découvert un nouveau groupe, ijui avait échappé à C. Jordan.

E. Goursal ( /!««. de VÉcole Norm., 3° série. II, i885) relie l'étude des intégr-ales algébriques de l'équation du second ordre à la transformation de cette équation, par changement de variable et de fonction, en une équation hypergéométii([ue (de Gauss) dont l'intégrale est algébrique.

Le passage aux équations du troisième ordre, et aux systèmes vérifiés par derrx fonctions de deux variables dont toutes les déterminations se déduisent de l'une d'elles par un nombre fini de transformations projectives. a été fait par E. Goursat {Comptes rendus, lO'i., r6 mai 1887) et I'. Paiiilevé {Comptes rendus, 104, 3i mai 1887), qui ont formé des invariants différentiels I et J analogues à celui de Cayley- Schwarz pour le groupe projectif à une variable. Pour' l'application particulière au troisième el au quatrième ordre, on peut consulter P. Painlevé {Comptes rendus, 104-, 27 juin 1887; 10i>, '4 juillet 1887) dont les indications ont été développées par A. Boir langer {Thèse, Paris, juin 1897) avec une application au groupe de Hesse d'ordre 21 G.

La voie nouvelle ouverte par M. Emile Picard {Comptes rendus, 96, i883; Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1, 1887), qiri l'a condirit à la notion du groupe de rationalité pour une équation dillér-entielle linéaire dorrt les

Sg/ NOTES ET ERRATA.

coefficients appailiennenl à un ceriii'wi do/naiiie de rationalité [R], amène à rechercher, dans un domaine de rationalité donné [R], les équations dont le groupe de rationalité est formé d'un nombre limité de transformations linéaires. La définition précise de [R] pose alors chaque fois un problème spécial. (Cf. Emile Picard, Comptes rendus, 119, 1894: 121, 189.5. et Traité cf Analyse, III, Z^ édition, Chap. XVII, Paris. 1927. et aussi E. Vessiot, Ann. de VEcole Norm. sup., IX, 1892, et L. ScHLESixGER. Handhuch der Théorie der linearen Differenlialgleichungen, II. Leipzig, 1897.)

Il faut encore citer Wallenberg {Journal J'iir die reine Math., 113, 1898, p. i-4i) qui s'est occupé des équations d'ordre n dont les solutions satisfont à (;( — 2) relations homogènes de degré supérieur au premier, et l'exposé d'ensemble, avec historique, de G. Fano (Math. Annalen, .'iS, 1899, p. 493590). où l'on aborde, en particulier, l'étude des équations du 5'' et du 6'" ordre dont les solutions sont liées entre elles par des relations algébriques,

3. Page 98, Sous le radical, deuxième lij;ne, lire -^j barre omise.