S W S5 II
Cette circonstance doit nous faire mieux comprendre la nature des difficultés à vaincre.
Étude des points siii<;ulieis. - Dans le voisinage d'un point singulier, il existe deux séries que nous avons appelées X, et Xj et qui sont ordonnées suivant les puissances de - — — , -^ — — (loc. cit., u. 3g). Réciproquement, on peut égaler les différences
Z Zti Z Zq
à des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de X, et de Xj. Soil alors
— =consl.
l'intégrale générale du notre équation différentielle. Si nous divisons le numé-
f o rateur et le dénominateur par zP, le> quotients — et ^ seront des polynômes
entiers par rapport aux différences "^ -— —> — ; ce seront donc des séries
z Zo z Zo
ordonnées suivant les puissances croissantes de X, et de Xo. Soient S| et S, ces séries, nous aurons
zP zi-
et notre intégrale générale s'écrira
— = con^l.
On
Supposons d'abord que notre point singulier soit un nœud dicritique, l'intégrale générale de l'équation pourra s'écrire
=^ = cousl.
Donc F^ est une fonction de '—■; elle ne changera pas quand on multiplie X, et X, par une môme constante A-. Si donc je désigne par Sf et S^ les groupes de termes homogènes de degré/) dans S, et dans Sj, nous aurons
^S'H-A^Sf-t-A^S?-!-... S|^S-f-+-S?-...
*s.j-f-/t2S;j-i-/t3S.»H-... ~ Si-HS^+si-H... ■
Le premier membre doit être indépendant de /r.
8o SUR l'intiîgbation algébrique des équations différentielles du premier ordre.
D'autre part, S|, S;, . . . , S^~' doivent s'anauler ain^i que S',, S^, . . . , S'^~\ tandis que S^' et S^ sont différents de zéro ; et en effet les courbes /+ Co = o doivent avoir au point considéré un point multiple d'ordre À à tangentes distinctes.
On aura donc, quel que soit A,
/ k'''S)-hk'>-->-^S]+'-h...
ou, en faisant tendre k vers zéro,
Ainsi la fr'oclion rationnelle - est le quotient de deux polynômes entiers
homogènes d'ordre 1 en X, et Xo.
Considérons maintenant un nœud monocritique. L'intégrale générale est
alors de la forme
— i- = consi.
Le rapport^ ne doit donc pas changer quand on change X, et X., en X,/»'
et XjAl*. Soit alors
un terme quelconque de l'une des séries S, ou S..; ce terme se changera en
je dirai qu'il est de la classe m'j-\-na. Soient alors Sf et S^ l'ensemble des termes de classe p de S, et de Sj; nous aurons encore
/ AS| -t- A-Sj-h. . .
ç ~ kS'i-hk'-S-i-^... ■
Comme la courbe /■+C-j = û doit présenter l branches de courbe de la forme
passant au point considéré (cf. loc. cit., p. 4-^), les premiers termes, qui ne
s'annuleront pas au numérateur et au dénominateur de la fraction précédente,
seront les termes k'V--'SY'' et /:''^''S''f\ de sorte que nous aurons, quel que
soit /. ,
/ A:>.tivs;'"'^-H...
SUR l'intégration AI.GÉBRlyliE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 8 1
et en faisant A = o
Ainsi la fraction rationnelle - est le quotient de deux polynômes entiers
homogènes d'ordre À en X^J' et X'.
Il reste à exiiiniuer le cas d'un col (jui est un peu plus compliqué.
Si l'intégration algébrique est possible, les séi ies \ , et X., existent certainement encore; l'intégrale générale devient
\'i \., = consl.
Donc ^ ne change pas (piand on change X, en A'X, et Xj en /.^'^Xj. Un
terme en X'" X" est alors multiplié par !:"'-''-'"-'■ et peut êlre appelé de classe mv — «|U, seulement il peut y avoir des termes de classe négative. Soit encore
V kl' sr;
F.e numérateur, comme le dénominateur, sont développables (pourles valeurs de A- voisines de i) suivant ies puissances positives ou négatives de /. ; il eu est de même de
/2/,/'S{,'-9VavS/,'=o.
Cette fonction de A devant être iiicntiqiiement nulle, ne peut l'être (|ue si tous les coefficients du développement sont nids; on a donc
/ = El ? S{J '
en choisissant /) de telle f.içon que S(' ne soit pas identiqucmi'nt nul. Seulement ici S(' et S;' peuvent contenir une iulinité de termes. Ce ne sont plus des polynômes, ce sont des séries.
Soient à nouveau M, un n(cud quelconque, /j-i et v, ses entiers caractéristiques, X|, X,' les deux séries X, et Xo correspondantes. Nous pourrons toujours former ces deux séries à partir de l'équation différentielle. Ces deux séries convergeront dans un certain domaine D, ; soit ensuite A, un domaine plus étendu que D,; nous pourrons encore définir dans ce domaine ies deux fonctions X| et X ' par le procc'dé de la continuation analytique.
H P. — 111. ■ Il
8-2 SUR l'intégkation algébrique des équations différentielles du premier ohdbe.
Soient Mo un second nœud, jjlo et v.j ses entiers caractéristiques, Xj et Xi; les deux séries X, et X2 correspondantes; elles convergeront dans un certain domaine D., et l'on pourra, par continuation analytique, définir les fonctions X'^ et X- dans un domaine plus étendu Aj.
Supposons que A, et A., aient une partie commune; dans cette partie commune les quatre /onctions X|, X', X',, X-, seront dcliaies et nous devrons avoir une relation entre
^' = (-xrr. '' ^'=(xf7^-
Dans le cas où l'intégration algéljiique est possible, on vnil quelle est la forme de celte relation ; la fonction - doit être une fonction rationnelle de Z,
d'une part, de Zj d'autre part.
Il faut donc qu'une fonction ratiimmlle de Z, soit égale à une fonction rationnelle de Zj.
Soit Xo, )■(], ^u 11» ]>oint de la partie commune à A, et à Aj ; connaissant nos quatre fonctions X dans cette partie commune, par c(mtiiiuation analytique, nous saurons développer Z, et 2,., suivant les puissances de x — Xg, y — j'o, z — :.„. Soient Z" et Z" les valeurs de Z, et Z.j au point x„, j'o, ^oi nous saurons développer Z.j — '/-," suivant les puissances de Z, — Z".
Nous aurons donc la relation cherchée entre Z, et Zo sous une forme où entre une série infinie, mais cela ne nous permet pas encore de reconnaître si l'on peut la mettre sous la forme d'une égalité entre deux fonctions rationnelles.
Introduction i/rs fonctions ftichsicnncs. Considérons d'abord un nœud dicritiquc et supposons que nous.nous donnions : 1" les valeurs remarquables C,, Cj, . . ., Cy; a" le nomlire À; 3" les nombres >., et les exposants y., relatifs aux différents facteurs correspondant aux q valeurs remarquables.
Soit Ma l'un des communs multiples des exposants a,- correspondant à la valeur remarquable Gyt.
Construisons un polygone fuchsien R,, de la première famille et du premier genre, supposons que nous ayons 29 — 2 sommets répartis en (j cycles. Le premier cycle comprendra un seul sommet A, ; le second, le troisième, etc., et l'avant-dernier cycles comprendront chacun deux souimets que j'appellerai A3 et A!,, A;, et A',, ..., A,^ , et A„|, le dernier cycle comprendra un seul
sommet A^. La somme des angles du /.'*"'° cycle sera ~ et il y aura une fonc-
SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premirii ordre. 83
tion fuchsienne qui sera égale à Ca au point A/t. Soit F(Ç) cette fonction fuch-
sienne, égalons-la à — - et écrivons
Nous avons vu plus li;iut (jue - devait être une lonclioii rationnelle du rup-
port -^ que j'appellerai Z; nous aurons donc .
R désignant une fonction rationnelle. Je dis que Z sera une fonction uniforme de Ç.
Si, en effet, F(Ç) décrit un contour fermé, plusieurs valeurs de Z ne pourront s'échanger que si ce contour contienl l'un des points C/i, et si l'on tourne auloui- d'un point Ca et que a^, y.'l, . . ., y.*^ soient les exposants correspondants, nous verrons s'échanger, par permutation circulaire, d'une part, ).^ groupes de ct-l valeurs; d'autre part, ')'l groupes de a'I valeurs, etc.
Si Ç décrit un contour fermé, il faut d'abord que ce contour enveloppe un des sommets de Ro, pour que F(Ç) tourne aLilour d'un des points Ca- Si Ç tourne autour d'un sommet, F(Ç) tourne Ma fois autour de Ca, et comme Ma est multiple de tous les exposants y.[. Z revient à la même valeur.
Donc Z est fonction uniforme de ï^. c. q. f. n.
Or Z, pour une même valeur de F(Ç), peut prendre >. valeurs. Considérons donc A polygones fuchsiens congruents à R„, que j'appellerai
L'ensemble de ces polygones constituera un polygone fuchsien So- Ce polygone So, en associant convenablement ses côtés en paires de côtés conjugués, L'ngendrera un groupe fuchsien dont les substitutions n'altéreront pas Z.
Donc Z est fonciion fuchsienne de t.
La surface du polygone Ro (au point de vue de la géométrie non euclidienne) sera
en prenant pour unité celle du (piadrilatère dont les quatre angles sont nuls. Celle de S,, devra donc être
84 SUR l'intégration algébrique des ÉOUATIONS DIFFÉREfiTIEFXES DU PREMIER ORDRE.
D'autre pari, le nombre des cycles de ^onimets de Sq sera en général
Ce nombre pourrait se réduire si la somme des angles relatifs à un de ces cycles était égale à 27:; on pourrait alors assembler les polygones Ra de façon à faire disparaître ce cycle. Mais cette somme d'angles est égale à
Ml:
oci et Ma étant les nombres a, et Ma lorrespomlanl au cycle envisagé. Mais comme Ma est un commun multiple (/itc/conijiie des jî,-, je jiourrai toujours supposer Ma > y.,.
Nous pouvons donc toujours supposer que le nombre des cycles de Sq est précisément i"/.,.
Quel est le nombre des côtés? Le polygone R^ ,1 2 (y — 2 côtés; quand on y annexe R,, on a en tout 2( zq — 2) côtés. Mais comme R,, a un côté commun avec R| et que celte paire de côtés disparaît, il reste pour Ir polygone Ro+ R|
un nombie de C(Més égal à
li 2<y — > ) — -À .
Annexons encore Rj, nous ajoutons y.q — 2 côtés; mais Rj a au moins un côté commun a\ec Ro+ R|, cela lait une paire de côtés à supprimer et il reste
côtés pour le polygone R,, + R, -|- \\.j. Ce nomlirc doit èlrc diminué si R., a plus d'un côté commun avec R,, -)- R| .
En général S,, aura
côtés, si R, n'a rpi'nn côté commun avec R,, + R, + . . . + R,(. Dans le cas contraire ce nombre déviait être diminué. En général le nombre des côtés sera
À {/q — i } — -AA-i- ■> — 1/1,
h étant un entier positif on nul.
D'après une formule que j'ai ilonnée dans les Acla macfiematica, tome 1 ('),
on a, si 2/! est le nombre des côtés, (/ le nombre des cycles, p le genre du
polygone fuchsien
(') Œuvres, t. II, p. l'iy.
SUR l'iNIÉGRATION ALGÉRRIQUE des KQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 85
Nous aurons donc ici
OU
Oi' nous avons trouvé plus haut
On a donc
ip T- /i = o.
Or It'S nombres p et /( sont positifs ou nuls; on a dune
/l = 11, Il = o.
Ainsi le senre du polygone fucltsicn S,, est nul et le nombre de ses côtés
est 2). ((7 — 2)+2.
Il faudrait rechercher maintenant comment sont assemblés les divers polygones partiels R^ dont l'ensemble compose So, et comment les côtés de So sont conjugués deux à deux.
Je désignerai par A,,/, et A) ^ les sommets du polygone Ra qui sont homologues aux sommets A, = A/„ et A|= A, „ du polygone Ro-
Considérons alors le côté A, ^/, A!, ^, ou i)ien il coïncidera avec un côté Ai^/jAj^^ du polygone R^, les deux polygones R^ et R/i ayant un côté commun, ou bien ce sera un côté de So, mais alors il sera conjugué d'un autre côté A,,,^A3 a de S„.
Dans l'un et l'autre cas, je dirai que l'indice h eslle conséquent de l'indice ^, et l'indice A Vuntècèdcnt de l'indice //. Chacun de nos ). indices aura ainsi un conséquent et un antéci'ilent.
Consiriérons alors la substitution T, qui change chacun de ces indices en son conséquent. C'est une substitution de À lettres, et si
sont les nonibix's y^, et À/ relatifs à la valeur remarquable C). les À lettres se répartiront en ?i[ groupes de y.\ lellres, . . ., en /.', groupes de y.\ lettres, . . ., et la substitution T| permutera circulairement les lettres de chaque groupe.
Considérous niainlenant le côté A!,^A,,^, il coïncidera avec un côlé Ao^Aj/, de Ra, ou bien il sera un côté de So et sera conjugué du côté A.j/jA,/,.
86 SUR l'intégration ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.
Dans les deux cas, défiiiissanl les conséquents à un nouveau point de vue, je dirai que h est le conséquent de k.
J'appellerai T, la substitution de ). lettres qui change chaque indice en son conséqucnl.
On définirait de même les substitutions T3. T,, . . . , T,, , qui correspondent aux côtés A|,A'|, A',A^, . . ., A|^, Aj^ de la même façon que T, et To correspondent aux cotés A| A'3 et Aj, A!,.
Les q — I substitutions T^ devront satisfaire à certaines conditions. Nous avons déjà vu quelles sont celles que doit remplir T, et comment les lettres doivent se répartir en groupes tels que T, permute circulairement les lettres d'un même groupe.
Soient mainienant
U, x|, .... xi;,
les nombres a,: et }., relatifs à la valeur C*.
On pourra répartir les X indices en groupes tels que la substitution Ta , T^' permute circulairement les lettres d un même groupe.
Nous devrons avoir >.^ groupes de y.], lettres, ).| groupes de c-l lettres, . . . , ).f groupes de zj lettres (X' = 2, 3, . . . , q — i).
Soient endn
^^qy '•(/> .... /.^
les nombres a, et ), relatifs à la \aleur C,.
Les }. indices pourront se répartir en groupes tels que T^ 1 permute circulairement les lettres d'un même groupe.
Nous devons avoir >,' groupes de a' lettres, . . . , /.^ grouj)es de c.^ lettres.
Une question se pose alors. Existe-t-il des substitutions T satisfaisant à toutes ces conditions? et par conséquent existe-t-il un polygone So?
Nous avons vu i)lus haut que - devait être une fonction rationnelle de Z = ^
P et Q étant deux polynômes homogènes d'ordre )..
Soient C/r une valeur remarquable quelconque, Aa et Ba deux constantes telles que Ba^ AaGa. Alors le polynôme
SUR l'intégration ALGÉRRIQl'E DES KQIIATIONS DIFFKBENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 87
devra se décomposer en fadeurs, et l'on aura
(I) A,P-hBxQ = U^ki5...U^Î,
{]/, étant un polynôme d'onli-e X^'.
La question proposée revient alors à la suivante. Peut-on toujours trouver des polynômes P et () saliNfiiisant aux conditions (i)?
Nous disposons des indéterminées suivantes :
1° Les 2>, 4- -î coefficients des polynômes P et Q.
2° Les q constantes A*, d'où l'on déduit les q constantes B/, par les équations Ba= AaCa, li's C/t sont supposés donnés. 3° Les i(>,iH- i) coefficients des facteurs U.
D'autre part, noiis avons à satisfaire aux conditions {\) qui sont des identités entre deux polynômes d'ordre ) .
Chacune d'elles correspond donc à >. + i conditions, cela fait donc en tout q('k-\- i) conditions.
Si donc nous appelons N le nombre total des facteurs U;, de telle sorte que
"V (/.,-<- I) =V à,-hN,
nous avons
paramètres qui doivent satisfaiie à q(l + i) conditions ; il nous reste donc
paramètres arbitraires. Or, en vertu des équations
ql =2^ a,X,, 2/. — N^ (^i— i)Xi= 2,
ce nombre se réduit à 4 + N.
Remarquons que les équations (i) sont homogènes si l'on y regarde :
i" Les coefficients de P et Q comme étant d'ordre ). ;
2" Les constantes A/, comme étant d'ordre 7;
3° Les coefficients d'un fncteui- D, de degié}., comme étant d'ordre 2>,,.
En effet, il est aisé de vérifier qu'en adoptant cette convention les deux membres de (i) sont homogènes d'ordre 2)..
Mais il y a plus, ces équations (i) sont doublement homogènes, je veux dire
8S SUR l'intégration ALGÉBRlQliE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.
que, si 1 et r) désignent deux indéterminées, elles ne changent pas quand on change
en
(3) \ki'. F'ï;'. Or/-. U,Ç'.V--
Adjoignons aux équations (i) d'autres relations en nombre N + 2 entre nos inconnues; je suppose que ces nouvelles relations présentent la même homogénéité double que les équations (1). c'est-à-dire ne changent pas quand les quantités (2) se changent dans les quantités (3).
Nous avons alors N + 2 -j- q{l, -\- 1) équations homogènes; le nombre total des inconnues est N + 4 + 7(^ ■+ 1) > mais ces équations étant doublement homogènes sont en réalité des équations entre les rapports des coefficients
des A;[P et des A/rQ élevés à la puissance y et des coefficients des U, élevés à la
puissance r-- Le nombre de ces rappoils réellement distincts est seulement
■ iS -!-■.>. -h 7(5. + I).
Nous avons donc autant d'équations (jiie d'inconnues et, comme des équations homogènes ne sont jamais impossibli's, nous pourrons tiiiiJDurs en tirer nos inconnues.
Ainsi si les é(jualions (1) sou! distinctes, les rapports de nos inconnues dépendront de N -|- 2 paramètres arljitraires et nos inconnues elles-mêmes de N + 4 paramètres.
Si les équations (1) n'étaient pas distinctes, les inconnues dépendraient de plus de N -4- 4 paramètres.
Il semble donc que notre prolilème comporte toujours une infinité de solutions. Mais il importe d'observer que ces solutions ne sont [las réellement distinctes.
En effet, si dans les polynômes P, (^ et U, on remplace \ , et X., par
aXi^fiX, et Y\,-(-i5X,,
les équations (1) ne cesseront pas d'être satisfaites. Or cette transformation dépend de (|iialix' paramètres x. (3, y, ô. Donc voilà une quadruple infinité de solutions cjui ne diffèrent pas essentiellement les unes des autres. D'autre part, l'équation (i) ne change pas si l'on j change
L'i, U,, Uk, -V*
SIR L INTEGRATION ALGEBRK)l E DES EQLATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 89
en
,a,U|, IJ.-.U,, l^ikLiK, A/-a*'|x*'- . . . ix^"--.
Voilà une transformation qui dépend des K paramètres jx. Comme nous pouvons opérer de même sur nos q équations (i), cela nous fait autant de paramètres pi que de facteurs U, c'est-à-dire N. En tenant compte de a, [3, y, i5, cela fait une transformation dépendant de N -+- 4 paramétres.
Nous aurons donc une (N -i- 4)"''''' infinité de solutions qui ne différeront pas essentiellement les unes des autres.
Si donc les équations (i) sont distinctes, le problème ne comportera qu'un nombre fini de solutions essentiellement différentes.
Maintenant, les équations (i) sont-elles distinctes? La considération des fonctiiins fuchsiennrs permet de l'affirmer.
Si. en effi-t. les valeurs n-marquables C* sont données, on pourra construire d'une seule manière le polygone fuchsien Ro ; on pourra ensuite assembler d'un nombre fini de manières / polygones
Ro, H, R),,
pour former le polygone S„.
C'est parmi les polygones S,, ainsi formés, en nombre fini, qu'il faut choisir ceux qui conviennent à la question. Les considérations qui précèdent montrent qu'il y en aura toujours, mais il ne peut y en avoir qu'un nombre fini.
En résumé, si l'on se donne les valeurs remarquables Ca, si l'on se donne les entiers À et }., assujettis seulemeni aux conditions
À = SaiX„ u/.—^(aj — !)>.,= 2,
lin |iiMiria toujours formi-i- 1p> pulynones P et Q et le polygone Sq et l'on ne pourra le taire que d'un immbre fini de manières.
Extension aux nœuds monorriliques. — Considérons un nœud monocritique; soient X, et X., les deux'séries correspondantes, et soit
Nous avons vu plus haut que — - est une fonction rationnelle de Z dont le numérateur et le dénominateur sont d'ordre ).
go SUR l'intégration algébrique des équations DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE.
Soit C/, une valeur remarquable ; lorsque tournera autour de C«, les
l valeurs de Z tirées de l'équation qui précède s'échangeront entre elles. Soit u, un facteur de /-(- C^o, soient )., et a, les deux nombres correspondants. Si ce facteur n'est pas singulier, nous aurons >., groupes de 'a, valeurs de Z, et les
valeurs de chacun de ces groupes s'échangeront circulairement quand — ^
tournera autour de Ca.
Si le fadeur est critique, a, est divisible par /jl, nous avons alors >., — i groupes
de Cf., valeurs de Z et un groupe de - valeurs qui s'échangent circulairement.
Si le facteur est hjpereritique, a, est divisible parv et nous avons >,, — i groupes de a, valeurs et un groupe de — valeurs qui s'échangent circulairement.
Si enfin le facteur est doublement singulier, o., est divisible par p.v et nous avons >., — 2 groupes de a, valeurs, un groupe de — valeurs et un groupe de — valeurs qui s'échangent circulairement.
Formons encore le polygone Ro et formons la fonction fuchsienne F(Ç).
Posons
z sera encore une fonction fuchsienne de J.
Le polygone S» correspondant sera formé de À polygones partiels
Le nombri' des cycles de sommets est encore 2),,. Celui des côtés sera
/. (j.q — -1) — 2 À -I- 2 — J. Il , h étant positif ou nul. On en déduit, /) étant le genre de S»,
Revenons aux formules qui, dans la première partie de ce travail, remplissent les lignes 6 à i a de la page 45. Pour chaque nœud monocritique, nous aurons q de ces formules, correspondant aux q valeurs remarquables; additionnons-les il viendra
SUR l'intégration algébrique des équations différkntielles du premier ordre. 91 Nous avons trouvé d'autre pari (p. 4'^)i formule (ô),
on tire de là
d'où
et comme /J et h ne peuvent être négatifs
On définirait comme piérédemmenl les substitutions
et pour chacune des substitutions
T,, T.Tt', T.T^i, .... T^T^l,, T,
nous savons comment les ). indices se répartissent en groupes de lettres se permutant circulairement. Chacun de ces groupes correspondra d'ailleurs à un cycle de sommets du polygone S,,.
Pourra-t-on toujours former un polygone So satisfaisant à toutes ces cainditions?
Nous aurons encore
P et Q étant deux polynômes homogènes d'ordre ),. Nous aurons encore
Cependant, si le facteur U, par exemple, était critique, il faudrait dans le second membre de (1) remplacer U*' par
U'i étant un polynôme homogène d'ordre 11 — i. S'il était hypercritique, il faudrait remplacer U*' par
92 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. et s'il élait doublement siiigulier, il faudrait remplacer U^J par
U'i étant un polynôme homogène d'ordre 11 — 2. De combien d'indéterminées disposons-nous?
1° Des 2/, -)- 2 coeflicients de P et de Q ;
2" Des çf constantes A;;;
3" Des coeflicients des polynômes U, et l]].
Ces coefficients sont au nombre de )i,+ 1 pour un polynôme U,, de Ij pour un polynôme U)- simplement singulier, de )i, — i pour un polynôme U; doublement singulier.
Le nombre total est doue
^ ( À, -I- 1 ) — -2 =^ Ai H- N — -2,
en appelaut N le nombre total des fartcurs. Nous avons donc en tout
indéterminées.
D'autre pari, nous avons (j équations (1) qui équivalent à ^(}. + 1) condiliou^, de sfute qu'il reste
N + 2). — 5FÀ -t-V Xi
paramètres arbitraires.
En vertu de l'équalioii
ce nombre se réduit à N -|- 2.
Si donc les équations [i ) sont distinctes, le problème comporte une (N 4- 2)"P'" iulinilé de solutions.
Mais d'une solution on peut en déduire une (N -f- 2)"'"'" infinité d'autres. On peut, en elVet, sans cesser de satisfaire aux équations (i) :
1° Changer en
Xlf et X^
■.\^ et ?\l;
SUR l'intégration ALGÉBBIQIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DL' PR'eMIEK ORDRE. QJ
2° Changer
U,, U,, ..., Uk, ^l:
en
;ji,U,, |X,U, >kUk. A^fif'lJ.^' . . .a»j.
Nous n'avons donc qu'un nombre fini de solutions essentiellemenl distinctes. Nous en aurions un nombre infini si les équations (i) n'étaient pas distinctes, mais cela ne se peut pas, puisqu'on ne peut assembler les polygones
Ro- Ri R"a— 1
que d'un nombre fini de manières.
Nou'; arrivons donc à la même conclusion qui/ plus linut : // r a toujours des polygones S„ et il li v en <i jumais (ju'un iionihre Jiiti.
Le polygone Vq. — Nous venons de vnir comment on pourrait construire le polygone fuchsien Ro, ft comment il r\islail un |ioljgone So correspondant à chacun des nœuds t;uil die liliqucs que mmiôcriliques.
Soit G le groupe fuclisien engendré par R„ ; soit g le groupe fuchsien engendré par Su. Le groupe g sera un sous-groupe de (î. C'est un sous-groupe « d'indice /. », puisque la surface (mm euclidienne) de .Su est égale à À fois celle de Ro.
A chacun des nœuds correspondiM ;lin^i un sous-groupe g. Soit F le groupe formé des substitutions communes à tous les sous-groupes g.
Je dis que F sera un groupe fuchsien, c'est-à-dire que F sera un sous-groupe d'indice fini de G.
Nous avons posé plu^ fi^iul
et nous avons vu que F(Ç) devait être une fonction rationnelle de
Z dans le cas d'un nœud dicrllique et de
- rxry
dans le cas d'un nœud monocrilique.
Soit alors A" le nombre des nœuds et soient
Z,, Z., ..., Z/les diverses fonctions Z relatives à ces divers nœuds.
g\ SUR l'iNTKGRATION At.GÉBRIQUK DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.
Tous les Z, seront fonctions fuchsiennes de Ç; et F(Ç) sera fonction rationnelle de chacun des Z,-.
A chaque valeur de F(Ç) correspondra par conséquent un nombre fini de valeurs de Z,, un nombre fini de valeurs de Z.j, . . . , un nombre fini de valeurs de Z*.
A chaque valeur de F(Ç) (ou, ce qui revient au même, à chaque point du polygone Ru), correspondra donc un nombre fini de systèmes de valeurs des Z,. Soit A ce nombre fini. Soient alors R,, R-.,, . . . les différents polygones fuchsiens congruents à R». Soit Mo un point de R,, ; soient M,, Mo, ... les points correspondants de R| , Rj, ....
A chacun des points M, correspondra un système de valeurs des Z,. Soient alors (5) M... M, Ma-,
À points M, correspondant à A systèmes différents de valeurs de Z. Alors si l'on considère un autre point M,, ce point correspondra au même système de valeurs que l'un des points (5), puisque le nombre total des systèmes de valeurs est égal à A.
Nous dirons que deux points M, sont équivalents s'ils correspondent à un même système de valeurs des Z, et que deux polygones R, sont équivalents si les points M, correspondants sont équivalents.
Les substitutions du groupe T sont alors précisément celles qui changent les polygones R, en des polygones équivalents.
On voit que F est un sous-groupe de G d'indice A.
Le polygone Vu, qui engendrera F, se composera de l'agrégation de A polygones R, Pt sa surface (non euclidienne) mtb \ fois celle de Ro-
Deux hypothèses sont possibles :
Ou bien le polygone Vu est de genre zéro, alors il existe une fonction fuchsienne t, telle i|ue tous les Z, et - soient des fondions nilioiinelles de ;.
Ou bien le polygone Vu sera de genre plus graml (pic zéro, et il y iiura deux fonctions ç et n, liées par une relation algébrique et telles que les Z, et - soient fonctions rationnelles de ; et de rj.
Paris, le 7 mai 1897.
SUH
