A INTÉGRALES ALGÉBRIQUES

Comptes rendus de rAccidémie des Sciences, l. 92, p. 698-701 (ai mars 1S81).

Pour rechercher quelles sont les équations différenlielles linéaires dont toutes les intégrales sont algébriques, il l'aul d'abord déterminer les groupes de substitutions linéaires qui ne se composent que d'un nombre fini de substitutions. Dans un travail inséré dans les Mémoires Je V Académie de Naples, M. Joi'dan donne une méthode générale pour résoudre ce problème, et il applique sa méthode aux équations des quatre premiers ordres. Connaissant ces groupes de substitutions linéaires en nombre fini, il faut ensuite former les équations différenlielles correspondantes. M. Jordan insiste peu sur ce point. Je désirerais attirer l'attention sur quelques propriétés de ces équations.

Bornons-nous au troisième ordre, pour fixer les idées. Envisageons l'un des groupes découverts par M. Jordan; su[)posons que ce groupe G soit composé de li opérations, qui consistent à changer respectivement x, >', z en

ai J- + bif H- Ci s, a'i X -i- h'iy -+- c'i z, d'iX -r- b",y -+- c"i z ((■ = I, •.>,.. ., n).

Posons

l'(?.^)=-.^"&tl-' ".(^V) =

Soient A„ B„ C„ A], B; , C) , A;', BJ, C;' des quantités proportionnelles à

( ' I Vuir aux Notes.

96 SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRKS A INTKGRALES ALGÉBRIQUES.

a,, bj, Ci, a'-, b\ , cj , a], b], c] et telles que leur délerminant soil égal à 1 ;

Soient

''^ .Ld \ Ai'f + B/ T, + c- ' A';ç + Bjï) + c;- '=1

, A;'? + BrT|-(-0? A:?^-B;ri^C;'

11 est clair que x et y sont des fondions rationnelles de > et de 0 qui ne changent pas quand on change E et rj en

A,g-t-B,-7i + C.,- A"? + B/-fi + C.;'

Aig + Bl-rj-Kj;

A;'Ç-t-B"ï) + ci'

et que toute fonclion rationnelle de £ el de /; (|ui ne change pas quand on change t el r) en ï, el vi, sera une fonclion rationnelle de x el de r.

Si D est le délerniinant fonclionnel de ./• et de 1' par rapport à ; et à rj, les trois fonctions

rv'L»,

se changeront respeclivemenl en

A,- j, -H B,S5+ Gtz-i, A/3| -f- BjS,-;- C,-3:i, A, S] -^ ï^i z^-\- C/ S3

quand ï el r; se changeront en ç, et rj, ( ' ). Posons, pour abréger,

le déterminant

/Hj/J,-*! '-^ '"]/';

ne changera pas quand on cliangera c, et r; en t, et rj,, et sera par conséquent une fonction rationnelle de x el de j'.

(') Cela résulte île l'invariance de x el y par le cliangement de \, f, en ;,. T;, et de l'expres-

sion du déterminant fonclionnel

StR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINKAIRES A INTEGRALES ALGÉBRIQUES. 97

Il en résulte que

sont trois intégrales particulières d'une infinité d'équations aux différences partielles à coefficienls rationnels. Ces équations s'écrivent

/?ji, />|, m.!, yOa, tïii, />3, «il, /^ sont des entiers positifs quelconques; il est clair que les coefficients des dillerentes dérivées partielles de j sont rationnels en X et en )•. Si l'on fait, en particulier, dans l'équation (i)

elle prendra la forme

//il = II.

Pi = 0.

dx-'

dz d.t

BoZ = o.

Les B seront des polynômes entiers en x et y. Si l'on dmine à )• une valeur constante quelconque, on obtiendra une équation linéaire du troisième ordre, dont tous les coefficients seront rationnels et dont les intégrales seront les fonctions algébriques ;,. z-,. :^.

Conséquence. — A chacun des groupes définis par M. Jordan, correspondent une infinité d'é(|ualions linéaires du troisième ordre. Dans chacune de ces équations, les coefficienls sont rationnels par rapport à la variable indépendante X et à un paramétre arbitraire y. Si l'on considère les trois intégrales Ci, ^2 et z-3 de cette équation comme fonctions de x et de y, ce seront des fonctions algébriques de ces variables, et elles satisferont non seulement à l'équation proposée, mais à une infinité d'équations aux dérivées partielles à coefficients rationnels, à savoir les équations (i).

Je ne me suis restreint au troisième ordre que pour fixer les idées; les résultats sont vrais pour tous les ordres.

SUR