LE MOYEN DES FONCTIONS ABELIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 92, p. 913-913 (11 avril 1S81).

Soient F{1, r,), F, (ç, /, ) deux fonctions abéliennes quelconques. Posons .r = F, 7= F,.

3/JF dF, dF, clF ' = Y de -d7;~ df'^,' -^-5-" ^3-13,;

l'équation linéaire

dz dzt dzi dzi

dx dx dx dx

d'-z d'-z, d'-Zj d'- z '

dx'- dx'- dx'- dx'-

d^z d^ z, d'Z, d'Zi

dx' dx'' dx- dx-

qui a pour intégrales

a pour coetTicients des fonctions abéliennes de ; et de rj, et par conséquent des fonctions algébriques de x et de y.

Posons maintenant

^ = X/|. t3 = \li, Ç = «log\. r, = tloj,'Y.

rfF

d'où

tt=ZtlaOe ■■"' •!'. t,= Zilabe-" ^», /3=3, J«ie ■"" ■"';

SUR l'intégration des équations liné\ihes par le moyen des fonctions ABÉLIENNES. 99 l'équation linéaire

clz

df,

dl.

dû-

ci'- z

dx'-

dj--

dx'-

dx-

dH,.

dH-i

dx- dx' dx- dx-

cjui a pour intégrales

a ses coefficients algébriques en x et en }'.

Les fonctions abéliennes F et F, permettent donc d'intégrer une infinité d'équations différentielles linéaires du troisième ordre à coefficients algébriques, car l'équation (i) contient un paramètre arbitraire y et l'équatinn (2) eu contient trois, a, b t\ y.

On pourrait se proposer de former toutes les équations à coefficients rationnels qui peuvent s'intégrer par ce procédé, mais ce problème nous entraînerait bien loin: je nie bornerai donc à former les groupes de ces équations. Voici ce que j'entends par là.

Le groupe de l'équation proposée sera le groupe des substitutions linéaires que subissent les intégrales quand x décrit un contour quelconque, et celles de ces transformations qui correspondent à un contour infiniment petit décrit autour d'un point singulier formeront la base du groupe. On arrive ainsi aux résultats suivants :

Premier cas, équation (1). — Soient «,, u <. «3 les trois intégrales, et, supposons qu'on ait convenablement choisi u.^: les opérations qui formeront la base du groupe G cherché seront de la forme

(î/j, u-,, iij. yLiiii -^ [ifUn^- •;iUz. a- m,

S'il

V a /i points singuliers, on donnera à / successivement les valeurs 1 . 2, . . ., n.

Le groupe g^ dérivé des opérations

sera d'ordre fini. Si, en combinant d'une certaine manière les opérations du groupe g, on obtient l'opération dite unité,

100 SUR L INTEGRATION DES EQUATIONS LINEAIRES PAR LE MOYEN DES FONCTIONS ABELIENNES.

en combinant de la même manière les opérations de G on obtiendra la

substitution

(«,, II,, iij. ii, — ri,u3. ((,+ ri(/;i. T'iUj).

Le système des quantités

devra satisfaire à des conditions telles qu'elles représentent un système de périodes d'une certaine fonction abélienne. Telles sont les conditions auxquelles sont assujettis les groupes des équations (i), quand les coefficients de ces équations sont rationnels.

Second cas, équation (2). — Les opérations qui servent de base au groupe G cherché sont de la forme

( H|. Il-,, llj. -J-îtl,. 'j/ï^i. -j', II, ).

et les a,, ,5, et ■/, sont des quantités telles, que l'on puisse trouver deux nombres a et b de telle sorte que le système des nombres

a los

puisse représenter un système de périodes d'une certaine fonction abélienne. Il va sans dire que, si, au lieu d'envisager des fonctions abéliennes de deux variables, on avait considéré des fonctions de p variables, on aurait intégré une infinité d'équations du {p -\~ i )''°'' ordre à coeflicients algébriques.

SUR L'IiN'TÉGRATIO.N ALGÉBRIQUE

ÉOUiTIONS LINÉAIRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 97, p. gS '1-985 (5 novembre i883).

M. .lordan, dans le Journal de Crelle {Bâ 8i) et dans les Mcmoires de r'Académie de A'aples, a montré comment on peut former les groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire. 11 resterait à faire voir qu'à l'aide de tout groupe liai on peut former une équation linéaire à coefficients rationnels et à intégrales algébriques. J'ai cherché à démontrer ce théorème dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie au mois d'avril 1881 ; mais cette Note contient une faute de calcul qui en rend les résultats erronés; je prie donc l'Académie de vouloir bien la tenir pour non avenue jusqu'à ce que j'aie rectifié l'erreur qui y est contenue ('). Depuis, j'ai réussi à prouver qu'à tout groupe fini Y on peut faire correspondre d"une infinité de manières un groupe fuchsien G auquel F est mériédriquement isomorphe, qu'à ces deux groupes correspond toujours untî équation linéaire à intégrales algébriques et que, si l'on pose x =/{z), f{z) étant une fonction fuchsienne engendrée par le groupe G, les intégrales de cette équation sont des fonctions fuchsiennes engendrées par un sous-groupe g de G. Ainsi à un groupe d'ordre fini correspond, non pas ane, mais une infinité d'équations à intégrales algébriques dont on peut même choisir arbitrairement les points singuliers.

Les fonctions fuchsiennes engendrées par g sont des fonctions rationnelles de X et de y, x el y étant liés par la relation algébrique (i) 0 ('./■. y) = o.

(') Voir aux .Votes.

102 SUR L INTÉGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES.

dont le degré en y est m et dont le genre est p. Si •/ est le groupe de cette équation algébrique, il est itnc seule fois transitif. Quant au genre /j, il satisfait à la relation

( 1 ) ip ■

n et les y. étant des entiers plus grands que i ; ce qui montre que tous les sousgroupes g de genre/? rentrent dans un nombre fini de types.

Il y a aussi un théorème concernant les intégrales abcliennes de première espèce, engendrées par l'équation (i), et qui tient à ce que le groupe de cette équation est une seule fois transitif.

On peut choisir un système fondanietUal de p intégrales de première espèce, de telle façon que leurs périodes normales soient des combinaisons linéaires à coefficients entiers des périodes normales de Vune d'entre elles.

Cela posé, voici la condilion nécessaire cl suffisante pour qu'il existe une fonction F {x, y), rationnelle en ,r et en )• et satisfaisant à une équation linéaire d ordre h . Il faul qu'on puisse lrou\er m quantités

«1, (Il "m

telles que. si l'on permule rcs m lettres d'après les m substitutions du groupe y et qii'on forme avec ces m permutations un déterminant A, tous les mineurs d'ordre {m — / — i) soient nuls à la fois.

J'ai fait voir (pie, si cela a lieu, ces quantités ai, «j, ..., eim sont certaines périodes do certaines intégrales de première espèce convenablement choisies. Ainsi la condition pour qu'il y ait une fonction F {x,r) qui satisfasse à une équation d'ordre / , c'est qu'il y ait certaines relations enlie les périodes de ces intégrales de première espèce. Cette condilion est toujours remplie pour A^p, car il suffit d'appliquer une remarque de M. Klein pour voir que la dérivée d'une intégrale de première espèce formée à l'aide de la rel;ition (i) satisfait toujours à une équation linéaire d'ordre p à coefficienls rationnels. Dans une prochaine Communication, j'indiquerai, si l'Académie veul bien le permettre, quels rapports ont ces relations entre les périodes avec la réduction des intégrales abéliennes qui a fait l'objet des rcmarcpialiles travaux de M. Picard.

SLR L'INTÉGRATION ALGÉBRIOL'E