ÉQUATIONS LINÉAIRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 07, p. iiSp-nqi (-/fi novembre i883)

Lorsqu'il y a, entre la variable et l'intégrale générale d'une équation linéaire à coefficients rationnels, une relation algébrique, et que l'on forme à l'aide de celte relation des intégrales abéliennes de première espèce, les périodes de ces intégrales satisfont à certaines équations algébriques. On peut se demander si ces équations suffisent pour déterminer complètement ces périodes.

Sans aborder ce problème, très général et sans doute très compliqué, j'ai voulu étudier en particulier un exemple simple, et j'ai choisi la résolvante de Galois de l'équation modulaire que l'on rencontre dans la transformation du septième ordre des fonctions elliptiques (degré i68, genre 3). M. Klein a étudié à fond cette résolvante et il a fait voir que, si l'on forme les intégrales de première espèce correspondantes, leurs dérivées satisfont à une équation linéaire du troisième ordre.

J'ai choisi sept périodes, que j'appelle £i, £21 ï.ij ^u s^, ?6, £7 et entre lesquelles on a la relation suivante :

Si l'on considère deux intégrales de première espèce et qu'on accentue les périodes de la seconde intégrale, on aura

Nous pourrons choisir une intégrale de première espèce, de telle sorte que

lOJ SUR l'intégration ALGÉBRIOIE DES EQUATIONS LINEAIRES.

et alors nous poserons

On peut former par divers procédés un grand nombre de relations entre ces périodes; mais trois seulement sont distinctes, à savoir

j-ix-i-y— z)=y.

j-'-i-ijry -\- y- — ys = z.

y' -+- yz -T- == -*- .r -+- a^v — ; -I- I = o.

Ces trois équations admettent les huit solutions suivantes

où

- = cos 1- i sin -^ ) «( = I. '. ). 1. 1, n.

Les huit solutions conviennent et correspondent à huit systèmes de périodes différentes, satisfaisant aux condilinns (i) et ( <).

Il existe aussi une intégrale de pretnièro espèce dont les périodes- sont simplement

Considérons en particulier l'intégrale (/,, dont les sept périodes sont I, o, I). 1. T, — 1. — T — 1.

Elle n'a que deux périodes distinctes, i et T; les procédés de M. Picard permettent donc de la ramener aux intégrales elliptiques. Mais on démontre que l'on peut trouver six intégrales

dont les sept périodes sont les mêmes que relies de m,, sauf que ces dernières ont subi une permutation circulaire; ainsi les périodes de f/o. seront

o, n. I. T, — 1. — T — I, i; relies de ».i seront

Cela posé, l'intégrale

\ ^ tu -h- S.- It- -\- . . .^- \-, II-,.

si;r l'intêghation ai.gébriqiie iiks équations linéaires. io')

où les A sont des niniihies entiers (nielconf|iies, n aura que deux périodes distinctes et sera rédiiclihle aux intégrales elliptiques.

Nous avons donc un troisième exemple de celte ciiconstance di'jà signalée deux fois par M. l'icard, (|u'il existe des systèmes d'intégrales abélicnnes où Ton trouve une inlinité dinlégrales réductibles aux intégrales elliptiques {Comptes rendus, t. 93, p. i 12(1: 1X81 .

SUR L" I.NTÉGRATIO-N ALGÉBRIQUE

ÉOUATIONS LINÉAIRES

LES PÉRIODES DES ICTÉGKALES ABÉLIENNES.

Journal de Mathématiques, 5» série, t. 9, p. jSg-aia (igoS)