SIR IN TIIBORÉME DIC M. FI CHS
En d'autres termes, Féqualion (A) devra satisfaire aux conditions suivantes :
1° La fonction )•' définie par cellu équation ne pourra devenir infinie que lorsque )■ sera lui-mènie infini, (lU pour certaines valeurs particulières de ;. 2° Si l'on Tiose )i = -> y', r= -—-, reiiuation (A) deviendra
) 'i ne devra pouvoir devenir infinie, si )■, e?t nul. que pour certaines valeurs particulières de :.
3° Les équations
devront définir des intégrales singulrères de réqu:ition (A). /i" Eu différentiant l'équition (A), on trouve
,(>' t'/z '" ily ■*' dz " "■
On devra avoir identiquenieiil
,IV . </l" .... dV
il y dz dy
P et Q étant des polynômes entiers en )• et en )', avant pour coefficients des fonctions de :.
Il est aisé de com|)rendre l'importance de ces rt'-sidlats. Supposons en efFet que F soil un polynôme entier, non seulement par l'apport à )' et à )', mais encore [idr rap[)orl à ;. Alors, si les conditions précétlemment énoncées sont remplies, lu nombre des |)oints singuliers est fini et ces points peuvent même être regardés comme donnés, de sorte que la méthode d'intégration des équations linéaires par les fonctions fuchsiennes est applicable, au moins dans ses traits essentiels. On pourràt donc ainsi concevoir l'espoir de découvrir une classe nou\elle <réquations dillérenlielles intégrables par ces tianscendanics. Dans le cas même où F n'est jjas un j)olynome entier p.ir rapport à c, le résidlal reste fort important.
Mais pour en tirer tous les huils, d est indis])en>al)le de taire des conditions précédemment énoncées une étude plus approfondie. Celte étude a été commencée et poussée assez loin par AL Fuclis et je désii'erais ici la pousser plus loin encore, afin d'arriver à des conclusions dè(inili\es (').
( ' ] Voii' au\ ^t^i^:.s.
Sin IN TlIKOnKMIC DK SI. IIf.llS. 7
I^e nombre que nous avons appelé |)las hiiut // jnue dans celle élude un rôle capital.
1" Sup[)05anl d'abord p ^ o. M. Fuclis pose
<!►„, <I>| i-'t *I»j désignant des poljnouies entiers en /, dont les cocflicienls dépendent de r. Il arrive ainsi à l'équation
où A,j, A|, Al sonl des tondions de ;. C'esl l'équalion de Uiccali tiu'il est aisé de ramener, comme on sait, aux équations linéaires du second ordre. Ainsi dans le cas de /> =^ o, on n'obtient pas déclasse réellement nouvelle d'équations dili'érentielles satisfaisant aux. conditions énoncées.
Dans ce premier cas, je n'ai rien à ajouter aux résultats obtenus par M. Fiichs.
2" Ce savant géomètre, examinant ensuite le cas de p = i , [lose
'l), -H »I'| V RT/^ *3-*- 'l'î \ R( /)
les <I», les 1-' et 11 étant des polynômes entiers en t avec des coeflîcieuls dépendant de ;, et R en particulier étant du quatrième degré en /. L'é(]uatiùn (A) est alors ramenée à la forme
(il 'j^ = .\o— \,i + \,r--^ '/■ v'RiT).
où les A et ). suai des fonctions de .:.
On déduit alors de l'énoncé de M. Fuchs, cité plus haut, la condition suivante :
(•2) -p- -(- -7t{\,,^ V,/-f-.\W=i = (Bo-HB,/)H( l).
ilz tll
Bu et B( étant des fonctions de ;.
On peut pousser plus loin encoie l'élude de celte condition, à laquelle s'arrête le célèbre analyste que nous citons.
Sit
('il R ( 0 =( / — ï 'i( ' — ? 1 1 ' — ï H ' — S I,
» Slli rX TIIKOHEME HK M. I TnHS.
a, p, y et o (Hant des fonctions fie ;. Posons
, , , au -\- h
eu + c/
a, b, c, d étant des fonctions de ; que nous déterminerons plus complètement dans la suite et auxquelles nous imposerons d'abord la condition
ad — fer = I .
Les équations ( i ), ( -j.) et (3) vont se transformer. En posant
ax'^b a'î' -\- h ay' -h h , ao -- l>
on aura
(c«-+- f/)»(ea'-+-rt')(c[i'-t-f/i(f-'-r f/-)(cS'-f-c/) u-h, + ,/ i» \1 ' M étant une loiution de ;,
{c!i — d)- cu^il
les A' et les B' étant des fonctions de ;. Il vient ensuite
'// du Co -t- (\» — C; u-
ilz dz{cu-^-d}- (eu ^- d y- '
d où, en posant
\:,-c„=a;,. aï — (:,= \;. \: — (;,= a^,
ou tirera
du ., —
et l'on trouverait aisément
r/lt, d\\
Ainsi la forme des équations (1), (2) et (3) n'est pas changée par la transformation (4), ce qu'il était d'ailleurs facile de prévoir. Nous déterminerons a, b, c, d en fonction de c par les conditions
(/:i — b = (c-\-d)^ — (a^f>) = id—c)-; — (b — a) = o
qu'il est toujours possible de remplir et qui entraînent
a'=o, ii'=i. 7' = — I.
D'où la conclusion suivante :
Sin UN THKOHKMR DE M. l'I CMS. Ç)
Il est loujouis |ieriiiis de supposer
0 élanl une fonction de :: qui définit le module des [fondions elliptiques engendrées par ^/R. C'est l'hypothèse <]ue nous ferons désormais. L'équation (2) devient alors
Faisons successivement dans cette équation
elle deviendra
— ^( Ao-^ A,; -H A,/= I = o (l = — I. o i). (Il ^
Mais -7- ne saurait s'annuler pour une de ces trois valeurs de <, sans quoi
ut ^ '
0 serait égal à — i , à o ou à i , et le nombre p ne serait plus égal à 1 , mais à o.
On a donc
d'où
L'équation (2) se réduit alors à
/(i — /-)-p =i'i!u— li.nR.
Si dans celte équation on fait ? ^^ ô, il reste
do
Tz = "■
Ainsi ô est une constante.
Si l'on regarde un instant ; comme une constante, l'équation (A) devient
une relation algébrique de genre p. Cette relation définit une certaine surface
de Riemann S qui dépend de .;. Ici p = 1 ; donc à chacune de ces surfaces de
Riemann correspond un système de fonctions elliptiques et le module de ces
fonctions pourra s'appeler le module de la surface S.
// résulte de ce qui précède (jur le module de la surface S est invariable. Gela |)Osé, l'équation (i) devient
dt , ,rr dz = '■ ^'*
Sun UN THKOREME DR M. Ft CIIS.
R ne dé|jL'nd que de l et ), ne dépend que de ;; les variables sont dune sqjarées.
Posons "i.^ -j-^1 IX étiinl une fonction de c. L'inversion de la relation
donnera
■j étant l'algoritinne d'une lonclinn doublement périodique et c la constante d'intégration.
Les points singuliers de la lonclion t seront ceux de la fonction ;j. ; ils seront donc indépendants de la constante d'intégration et seront les mêmes pour toutes les intégrales.
Ainsi dans le cas de /> ^^ 1 , comme dans celui di' [i = o, nous ne sommes pas eoniluils à une classe réellement nouxelle d'équations dillerentielles.
3° Il reste à examiner le cas de p > 1 , laissé de côté par M. Fucbs. Une petite dii^res^ion sui- les surfaces de Piieniann est ici nécessaire. Soit
une relation alyéljrique de yenre y;, <lélinissaut une surlace de lilemann S^,
.Soit
une relation de nn'me genre délinissant une surface de Rienianu S,.
Les deux suifaces Su et S| seront dites l'cjuii a lentes si l'on peut passer de l'une à l'autre par une Iransfoiination birationnelle, c'est-à-dire en établissant entre les deux points analv tiques ( \\. )„), ( ii, y\ ) une relation lelle (|ue )i et y\ puissent s'exprimer rationnellement en fonction de )„ et j^,; et réciproquement.
On sait (pi'ij y a certains invariants (jiii ne sont p.is altérés piir hs transformations birationnelles; ce sont les modules. Il y a ip — 3 modules ])iinr une surface de Iliemann de genre yB>>i ei un module pour une surface de genre un. lieux surfaces de Riemann équivalentes ont donc mêmes modules.
Reprenons maintenant réqualion (A) et considérons-la comme représentant
