II. — Intégrabilité algébrique des équations linéaires

Soit

une équation lincaire d'ordre n dont les coefficients P,, sont des polynômes entiers. Supposons que l'intégrale générale de cette équation soit algébrique et soit

l'équalion algébrique qui définit cette intégrale générale. Bien entendu, ce polynôme 9, outre les variables x et >', contiendra n constantes arbitraires d'intégration si l'équation (i) est d'ordre /(.

L'éi|ualion (i) pourrait être intégrée parle procédé général. Posons

où cp [z) est une fonction fuchsionne correspondant au groupe fuchsien G.

Si cette fonction fuchsienne est convenablement choisie (et cela peut se faire d'une infinité de manières), y sera une fonction zétafuchsienne de z.

Soient y,, js, . . -, J'h des intégrales de (i) au nombre de /; et linéairement indépendantes. Ou aura

les Ç étant des fonctions zélafuchsiennes. Quand s subira une substitution du groupe G, les J, subiront une substitution linéaire appartenant au groupe H de l'équation linéaire (i). Le groupe H sera donc isomorphe à G.

Mais ici l'intégrale générale étant supposée algébrique, le groupe H sera (Vordve fini, de sorte (jue l'isomorphisme sera inérièdrique. Parmi toutes les substitutions de G, il y en aura donc qui correspondront dans H à la substitution identique. L'ensemble de ces substitutions formera un groupe G' qui sera un groupe fuchsien et qui si'ra un sous-groupe invariant du groupe G. Le groupe G n'est donc pas simple.

Ce groupe fuchsien G' engendrera un système S' de fonctions fuchsiennes; il e>t aisé de voir que le système S' contiendra le système S des fonctions fuchsiennes engendrées par le groupe G; que x et y ou toute fonction rationnelle de .r et de j' est une fonction fuchsienne du système S'. Il en est de même de toute fonction rationnelle de r, y^ , y-,, . . . , y^.

io8 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

J'ai dit que le polynôme 5 contenait, outre les variables .r et ;', des constantes arbitraires d'intégration. Selon les valeurs que l'on attribuera à ces n constantes, trois cas pourront se présenter :

1° Ou l)ien les diverses déterminations de la fonction algébrique y pourront s'exprimer linéairement à l'aide de m d"entre elles, le nombie m étant <«; par conséquent, l'intégrale générale de l'équation (i) n'est pas une combinaison linéaire des diverses déterminations de la fonction algébrique y ;

2" Ou bien l'intégrale générale de (i) est une combinaison linéaire des diverses déterminations de y. mais le groupe de l'équation algébrique 5(.r, y) := o est plusieurs fois transitif;

3" Ou bien enfin l'intégrale générale de (i) e--! une combinaison linéaire des diverses déterminations de )■ et le groupe de l'équation algébrique 9 ^ o est simplement transitif.

Soient )-,, j-j, . . ..yn un système de /i intégrales de [i) linéairement indépendantes.

Posons

Il = a, Kl -H 7. j'. — . . .-T- x„y„.

Faisons décrire à x un contour ferme quelconque; yi,y-2i ■ ■ ■ ■> J'n sul)lronl une transformation linéaire T, à savoir celle des transfnrniations du groupe H qui correspond à ce contour; les y se changeront donc en )■, , y'.,, . . . , j'j,, et ii se changera en

"'= ^if'i — î'îj^'j— ■•■-^ï/i.>';,-

Peut-il arriver que u soit identique à u? Les v' sont des fonctions linéaires

des)-; on aura donc

"•'= >i.Ki — ,'iîj-î — . . .- ['j„y„.

les {3 étant des fonctions linéaires des <z. Pour que u = m', il faudrait que l'on

Cel I peul arriver pour certaines valeurs des a, mais ces relations ne peuvent être satisfaites identiquement, quels que soient les a, à moins que l'on ait

c'est-à-dire que la transformation linéaire T ne se réduise à la substitution identique.

SLR l'intégration ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 1 09

Ainsi u' sera différent de ii , à moins que les y. ne salisfasseiU à un système X de relations algébriques.

Soient T,, T^, . . . , T^ les translVtrmations non identiques du groupe H; elles sont en nombre fini; à chacune d'elles correspond un système de relations algébriques entre les a. Si les a ne satisfont à aucun de ces systèmes, la fonction (/ n'est transformée en elle-même par aucune des transformations T, c'està-dire que si x décrit un contour fermé et que u revienne à sa valeur initiale, la transformation T sera identique et toutes les intégrales y,, Vj, ..., y,i reviendront à leurs valeurs initiales.

Or u est une fonction algébrique de x, susceptible de plusieurs déterminations.

Si, X décrivant un contour fermé, l'une de ces déterminations rc\ient à sa valeur initiale, il en sera de même de y,, y^, . '. . , y„ et, par conséiiuent, de toutes les autres déterminations de u . Donc le groupe de la fonction algébrique u est simplement transllit.

Nous pouvons donc supposer que les constantes d'intégration aient été choisies de telle sorte que le^ronpc de l'équation algébrique

0( J-. .ri = <) soit simjilenient transitif.

Mais pouvons-nous toujours choisir les x de telle façon que l'intégrale générale de(i) soit une combinaison linéaire des diverses déterminations de f<?

Supposons qu il n'en soit pas ainsi, le nombre des déterminations linéairement indépendantes de u = -a;,- )', sera m <i n.

Donc u satisfera à une équation linéaire d'ordre m à coefficients rationnels. D'ailleurs, comme y,, y.,, . . ., y,, reviennent à leur valeur initiale quand u revient à sa valeur initiale (pourvu que les x aient été choisis comme je viens de le dire), les fonctions j', , j'^i ••■i.)'// seront des fonctions rationnelles de a: et de u. Donc l'intégrale gimérale de (i) sera une fonction rationnelle de x et de lintégrale générale d'une équation d'ordre moindre.

Je dirai alors que l'équation (i) est iniprimitive.

Nous supposerons dans ce qui va suivre qur l'équation (i) est primitive et que les constantes aient été choisies de telle sorte que la fonction algébrique y admette n déterminations linéairement indépendantes et que son groupe soit simplement transitif.

La question de l'inlégrabililé algébrique îles équations linéaires est liée à

no SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC.

celle des groupes finis contenus dans le groupe linéaire. M. Klein a résolu complètement la question en ce qui concerne le deuxième ordre. M. Jordan, dans le Tome 84 du Journal de d'elle, puis dans les Mémoires de V Académie de dVaples, a donné une méthode générale pour la recherclie des groupes finis contenus dans le groupe linéaire et appliqué sa méthode au troisième ordre.

Une question se pose toutefois. Etant donné un groupe fini contenu dans le groupe linéaire à n variables, existe-t-il toujours une équation linéaire du ^jième Qj-Ji-e intégrahle algébriquement et correspondant à ce groupe? A cette question, comme on devait s'y attendre, l'on doit répondre affirmativement.

1. Disons quelques mots d'abord de la constitution des groupes discontinus. Je suppose un groupe discontinu dérivé d'un nombre iini ji de substitutions fondamentales

Ou obtiendra toutes les substitutions de ce groupe en combinant ces p substitutions.

A chacune de ces combinaisons •

Sj'b* b/, . . .,

où Xi, «A, a/,, ■ ■ ■ sont des entiers positifs ou négatifs, correspondra une substitution du groupe, mais toutes ces combinaisons ne sont pas toujours distinctes. Il peut y avoir deux de ces combinaisons ((ui seront identiques, auquel cas il y aura une de ces combinaisons qui se réduira à la substitution identique. On aura d<inc un certain nombre de relations de la forme

Ce sont les relations de structure du groupe.

Toutes ces relations ne sont pas distinctes; elles peuvent toutes se déduire d-'un certain nombre d'entre elles que l'on appelle relations fondamentales. Je renverrai pour plus de détails au paragraphe 3 de mon Mémoire Sur les groupes fuchsien s (Acla mathematica, t. I) (').

Quelles sont pour un groupe fuchsien les relations de structure et en particulier les relations fondamentales? Je me bornerai à rappeler le résultat que j'ai obtenu à la page i6 du Mémoire cité. Décomposons le demi-plan en polj-

(') Œuvres de H. PoiNCAnK, t. II, p. 109.

SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. I I 1

gones générateurs Rq, R,, . . ., H^, ... ; à chacun des côtés de Rq correspondra une substitution du groupe fuchsien, de telle sorte que les substitutions qui correspondent à doux côtés conjugués soient inverses l'une de l'autre. A chaque côté de Ry nous ferons correspondre la même substitution qu'au côté correspondant de F^o-

Décrivons un contour jermi' qui traverse nécessairement les régions Ri , Rj, . . . , R/, et en sort par les côtés C| , C.2, . . ., C/, auxquels correspondent les substitutions S, , So, . . ., S/,; nous aurons alors

S, Sî . . . S/, = I,

et nous oi)tiendrons ainsi toutes les relations de structure du groupe.

Pour obtenir toutes les relations fondamentales, il suffira de décrire des contours fermés infinitésimaux autour des divers sommets de R,,.

Les divers sommets d'un même cycle donneront d'ailleurs la même relation, de sorte qu'il y aura autant de relations fondamentales que de cycles.

Appliquons cette règle à un groupe fuchsien du genre o. Soient

Xq Xl «2 . . . 'J.p ^/,-t-i ^-i/i .5/7—1 • • ■ |-':i i-*! -*0

les 2/j -\- 2 sommets du polygone Ro- Le côté a/a,^., :;= C, sera conjugué du côté (3,p,^i=G', et la substitution S, transformera C, en G). Les sommets formeront /j -+- -i cycles, à savoir

et je supposerai que les sommes des angles des sommets de ces cycles soient respectivement