II., Il
Alors les relations fondamentales correspondant à ces différents cycles seront
(4) S2«=(S,Sô')".= (S.,S7i)"= = ...= (S,,S;:l,, )'V=s;'"'=i.
Cela posé, quels rapports y a-t-il entre les relations de structure de deux gLoupes isomorphes? Il est clair que si l'isomorphisme est holoédrique les relations seront les mêmes; mais si l'isomorphisme est mériédrique l'un des deux groupes aura toutes les relations de structure de l'autre et en admettra, en outre, encore d'autres. Réciproquement, cette ccmdition est suffisante pour que les deux groupes soient mériédriquement isomorphes.
Cela posé, soit H un groupe d'ordre fini contenu dans le groupe linéaire;
ir2 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.
supposons que ce groupe soit dérivé de /> + i subslitulions
So, S] . 05, .... o^,.
Ce groupe étant d'ordre fini, une quelconque de ses subslitulions sera d'ordre liai.
Ce sera le cas, en particulier, pour les substitutions
^0- '^ 1 *^o ' '-•e '-' 1 ^ jf '-' fi- i • ^/j •
Il existera donc des entiers Ho, «i. . . -, "/j+i. tels que {:,bis> Sï" = ^ s , s „ I )". = ( S, Sy I )"' = ...= ( S/, S;;! , )";- = ( S- 1 )'>- . = i .
Ces relations ne seront d'ailleurs pas les seules relations de structure du groupe H.
Cela posé, nous pouvons construire un polygone l'uchsien R,, de genre o, de telle façon que les sommes des angles des sommets des différents cycles soient respectivement
Soit G le groupe fuchsien correspondant. Ses substitutions fondamentales
S,i. S|, S/, satisferont aux relations (4) qui seront ses seules relations
fondamentales.
Donc le groupe H admettra les mêmes relations de structure (jue G et encore d'autres; donc H est mériédriquement isomorphe à G. 11 existera donc dans G un sous-groupe fuchsien G' formé des substllutions de G auxquelles correspond dans H la substitution identique.
D'un autre côté, reportons-nous au ])aragrapiii' ;> du Mémoire : Su/ ies funclions zétafuchsienni's [Acln tiinihciiKilicn , l. \ ) (' ), nous verrons que. le groupe G étant de l,i première famille et le f;ioupe II contenu dans le groupe linéaire à n variables étant isomorphe à G, nous |)ouvt)ns construire /; fonctions zétafuchsiennes
qui subissent une substitution linéaire du groupe II (piund la variable ; subit la substitution correspondante du groupe fuchsien G. Ces fonctions Ç sont en même temps des fonctions fuchsiennes admellant le groupe fuchsien G'. Si donc on pose
(') UEin'ies de 11. I^uincabi:, t. II, p 4".
SUR l'iNTRCHATION ALGÉBRIQIE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. Il3
y va satisfaire à une relation algébrique
et à une équation différentielle d'ordre /; à coelTicients rationnels.
Ainsi, à la question posée plus haut, on doit faire une réponse affirmative; on peut même remarquer qu'elle comporte une infinité de solutions dépendant d'un grand iioniLre d'arbitraires :
1° On peul choisir de plusieurs manières dans le groupe H les substitutions auxquelles on fera jouer le rôle de
^Oi ^1: ^2, • • • 1 '^Z' '
2" Il Y a une infinité de polygones R» de genre o et de ayj + a sommels tels queles sommes des angles des différents cycles admettent les valeurs(5). 11 reste encore/; — i arbilraires, et c'est ce que je puis traduire en disant que je peux choisir arbitrairement les /? + 2 points singuliers de la fonction algébrique définie par l'équation {2) ou, ce qui revient au même, ceux de l'équation linéaire ( i ).
Soit m le nombre des déterminations de >', ce sera en même temps le degré en y de l'équation 9 =: o et l'ordre du groupe H. Je désigne par rj le genre de la relation (2).
Proposons-nous de calculer q. La surface du polygone Ro sera
Soit R|, le polygone générateur du groupe (î'; sa surface sera évidemment 7.r,/ii I p ... ) = ■'-m i /> — 7 — ) •
On aura, d'autre part,
2v étant le nombre des côtés de RJ, el [x le nombre de ses cycles. D'un autre C(')té, la surface de Rj, sera
en supposant que la somme des angles des p. cycles soit
[I4 SUR l'intégration algébrique DBS ÉQUATIONS LIiNÉAlKES, ETC.
Or V = ,u — I -t- 2(jr, nous pouvons donc écrire pour cette surface L'autre expression peut de même s'écrire
De
■2Tt
Considéions un des cycles de Ru dont la somme des angles sera
Soit A l'un de ses sommets; envisageons les différents transformés de A par les substitutions de G.
Considérons ceux de ces transformés qui sont intérieurs à R'j, ou qui sont des sommets de R„ ; ces derniers se répartissent en cycles. Soit B un de ceux qui sont intérieurs à R„. Observons que RJ, peut être décomposé en m poly-
gones congruents à Ro et que j'appellerai
(7) Ro, H,. .
chacun d'eux étant transformé de Ro par une des substitutions de G.
Si nous envisageons ceux de ces polygones qui ont un sommet en B, nous voyons que ce sommet est homologue à A ou à un des sonimels du cycle auquel appartient A et que, parmi ces polygones, il y en aura n, pour lesquels ce sommet seia homologue à A. 11 y aura donc d, subsiitulious de G qiii changeront A en B.
Soit maintenant C un transformé de A qtii soit un sommet de lî' et soit — la
somme des angles du cycle auquel appartient C. Parmi les ni substitutions qui
changent R„ en l'un des polygones (- ), il \ en aura alors — ' = |2n qui changent
A en C, ou en un des sommets du même evtle. D'où il suit d'abord que «, est divisible par a/,. Convenons alors de prendre pour le point B
'ik='>r,
nous aurons
la sommation él.int «'tendue à tous les points tels qiu' B et C. Et, en efl'et,
SUR l'intégration algébrique des équations LINÉAIBHS, ETC. Il5
chacune des m substitutions qui changent R„ en l'un des polygones (7) change A en l'un des points B ou C.
Remarquons que chaque cycle de R„ ne devra être représenté qu'une fois
dans la somme ^ 3/,, même si plusieurs points C appartiennent à ce cycle.
Toutes les considérations (jul précèdent et, en particulier, les relations (d) et (8) s'appliqueraient à un sous-groupe (juclcoïKiiie de G. Mais il y a ici quelque chose de plus, car G' est un sous-groune invariant.
Il en résulte qu'une substitution quelconque de G change R|, en un polygone équivalent. Reprenons alors notre point A et ses transformés B et G. Soient C et G' deux de ces transformés appartenant à deux cycles différenls de R'„.
Il y aura une substitution de G qui changera G en C. Soit -^ et -^ la somme
des angles des deux cycles correspondants. Qu'est-ce que cela veut dire? Gela veut dire que, parmi les substitutions de G', il y en aura une qui, au point de
vue non euclidien, pourra être regardée comme une rotation d un angle — autour de G; donc, le sous-groupe étant invariant, la rotation d'angle — autour de G' devra appartenir à G' ; de même, la rotation d'angle ^ autour de C devra appartenir à G'. Gela n'est pussible qur si y. ^= y.' .
Supposons niaiiileuanl cpie l'un des transformés de A soit un point B. Alors,
la rotation d'angle -^ autour de B appartiendra à G'; mais comme B est intérieur
au polygone générateur de G', cela n'est possible que si celte rotation se réduit à la substitution identique, c'est-à-dire si a = i . Deux cas seulement sont donc possibles :
i" Ou bien aucun des Iransforniés de A n'est intérieur à R'„ ; dans ce cas, tous les y.ii sont égaux enli'e eux, de même que tous les 3a'. s' /•'( est le nombre des cycles correspondants, ou auia
m riiki
et, pour les cycles correspondants,
1" Ou bien quelques-uns des tr.insformés de A sont intérieurs à Ru, tous les
ii6 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.
a sont égaux à i , de sorte qu'on a, pour les cycles correspondants,
Nous distinguerons donc parmi les cycles de Pio, c'est-à-dire parmi les termes du premier membre de (6), deux cas :
ans le premier cas, ou ù/,^=-r-, x/, ^ , on aura, en étendant la
' ' A", ni
sommation aux cycles correspondants de Rj,,
2('-ij-"'('-'i) = S-'"'
2° Dans le second cas, où 2^=1. [5a = /?,, on aura
Or, la relation (6) peut s'écrire
nous aurons donc
les p étant des entiers.
Discutons celle relation à laquelle nous aurions peut-être pu parvenir plus rapidement par des considérations sur la division régulière des surfaces de Riemann.
Dans le cas de 1/ = o, le second membre sera négatif et nous devrons avoir
Dans le cas de y = i , le second membre sera nul et nous devrons avoir
Dans le cas de 1/ l> i , le second membre sera positif, mais comme m est un entier plus grand (jue i . nous devrons avoir
En tout cas ^(1 — — ) est limité; les ^k sont des entiers; nous pouvons
SUR I.'lNTÉGRATlON ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. I IJ
laisser de côlé les termes pour lesquels Pa = i et ci'ii sont nuls. Donc p^ est au moins égal à i , de sorte que i — ,,- est compris entre - et i .
Soit p le nombre des termes do la somme ^ ( i — ^ ) i on aura
Dans le cas de q = o, on aura donc
c'est-à-dire p i^ i , 2 ou 3.
D'autre |i.irt,
Donc 0 =: 2 ou 3. Si p ^ 2, on a
équation qui n'admet d'autre solution que si l'on observe que l'équation (8) exige
Si 0 = 3, on a
qui admet comme solutions
On retrouve ainsi les groupes connus de Klein et on n'en trouve pas d'autres. Dans le cas de ^ = i , on a
d'où p = 3 ou 4. ce qui donne les solutions connues
pi = 2, p,= 3, [i3=fi; Pi = 'i, l^î=P3=4,
Dans le cas de cy > i, on aura
11» SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQDATIONS LINEAIRES, ETC.
et p > 2 ; avec
■iq
d'où
(d'où d'abord p > 2).
Or
d'où
iq — 2 ■^ I
[i* <«(. d ou Z.Tr > —^
ce qui donne une limite inférieure de m.
Or, nous avons vu plus haut que (3/, est un diviseur de m et égal à ^7 > notre
équation peut alors sérrire
7 ki-~ iq — 2 = »i ( ? — 2 ).
Soient (î, le plus grand des ^a et S la somme de tous les autres^) on pourra
écrire
et, comme Î5 est au plus égal a ^— — )
et, a fortiori, puisque (3, <; w,
Si p > 3, celle relation limitera [3, et, par conséquent, lous les autres [Sj ; j'ajoute qu'elle limite p, car elle donne
puisque |3|5 2.
Si p = 3, on ne pourra avoir (3;,=:|33=: 2, auquel cas on aurait S = 1 et,
par conséqucnl,
Le cas le plus défavorable est donc
SUR 1,'lNTÉGR ATION AI.GEBKIOltE DES EQl ATIONS LINEAIRES, ETC.
d'où
On a donc el, par conséquent,
pi m 6
ce qui limite encore j3| et, par conséquent, tous les autres (3.
En résumé, pour un genre q péterminé, nos groupes H se ramèneront à un nombre fini de types.
III. — Propi'iétés des intégrales abéliennes. Reprenons la relation algébrique
dont le degré est m rt le genre q .
Toute fonction rationnelle de x et de y sera une fonction fuihsienne de z admettant le groupe G'; soit maintenant
J= fï{{.r,y}fh:
une des q intégrales abéliennes de première espèce de la courbe algébrique (2); ce sera une fonction uniforme de :■; celle fonction sera toujours finie et elle se reproduira à une constante près quand -: subira une des substitutions du groupe G'.
Si donc nous appelons cette foncliim K (;), nous aurons
K(sS) = K( = )-+-io,
.•I.- 1. O !• 1*- + Pl 1-
OU 1 écris, pour abréger, ;b au lieu de k-i la sunstitution
étant une des substitutions du groupe fuchsien ( î'. Quant à w, c'est une constante qui n'est autre ciiose ([u'une période de l'intégrale abélienne (J).
A chaque substitution de (i' correspondra ainsi une péricide de (J); mais, bien entendu, pour certaines de ces substitutions, cette période sera nulle.
I20 SIR l'intégration ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC.
Si w correspond à S et &>' à S', oa voit que w + '••>' correspondra à SS', de même qu'à S' S. et w« + «w' à S"''S'"'S"'=S'"= ..., pourvu que
Soit maintenant a une substitution de G n'appartenant pas à G'. Que sera-ce que K (-î^)? Ce sera évidemment encore une intégrale abélienne de première espèce.
Si nous changeons ; en ôS. zu se changera en ;Sc-, et il viendra
K(sSa) = K(=3) — (.)■,
0/ étant la période de K(:;cr) correspondant à S.
Soient alors S,, S2, . . . , S/, les substitutions fondament des de G'; soient oj,, t02, ..., '.)/, les périodes correspondantes de K(;), '.)',, 00!,, ..., oj),, celles
de K(^ff) ; nous aurons
K(^Sê) =K(s) ^w,-,
K(3S;C7) = K(3a)^co;.
Si, dans cette dernière équation, je change ; en zrj-\ il vient
K(ôcr-iS,a) = K(g) — lo'.
Or, G' étant un sous-groupe invariant de G, la substitution 3— 'S,(7 appartiendra aussi à G'; d'où il suit que w^ est une cnuiblnaison linéaire à coefficients entiers des o),.
Ainsi les périodes de V intégrale abélienne de iin'inière espèce K(;ct) seront des combinaisons linéaires à coefficients entiers des périodes de l'intégrale abélienne de jiremière espèce K{z) et récipror/itenienf.
Introduisons maintenant les intégrales abéliennes de seconde espèce; ces intégrales seront encore des fonctions uniformes de ;, mais elles admettront des pôles. Soit P{z,a) une de ces intégrales, exprimée en fonction de z; elle sera définie par les conditions suivantes :
i" Elle sera fonction méromorphe de ; dans tout le cercle fondamental; 2° Elle admettra comme pôles simples les points
z = a et z = «S (S étant une des suhsliUilinns de G'),
et elle n'en admettra pas d'autres;
3° Le résidu de la fonction
sera égal à i pour le pôle ; = a;
SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. 121
4° On aura, pour une substitution S quelconque de G,
(3) F(;S, rt) = P(;, n)-h?(rt).
£p(a) étant une constante ne dépendant que de «; de telle sorte qu'à chaque substitution de G' corresponde une période de l'intégrale P.
Ces conditions ne suffiraient pas [-our déterminer P, puisque, si elles sont remplies par P, elles le seront par P + K., K étant une intégrale de première espèce.
On peut achever de définir P (à une constante près) en s'imposant encore une condition :
5" p des périodes de P choisies une fois pour toutes, et que j'appellerai les périodes de première sorte, devront être nulles.
Etudions les propriétés de ces fonctions P.
Quels sont les résidus de P pour ses difi'érents pôles? Soit
et soit A le résidii de P pour le pôle ; = oS. Nous aurons
P(;S-i, «) = P(z, «) + 9,(a), (ifi{a) étant la .période qui correspond à la substitution S~' ; et pour s très voisin de aS, le premier membre sera très voisin de — ^-; et le second
de — - — ?7> on aura donc sensiblement z — ai)
zS-^ — a :d'où
Les conditions énoncées plus haut suffisent pour déterminer P à une constante près, car, si deux fonctions y satisfaisaient, elles auraient mêmes pôles et mêmes résidus; leur différence D(g) serait partout finie. On aurait d'ailleurs
D(cS) — D(;) = const. ^
Donc D(z) serait une intéf;rale de première espèce et comme/? des périodes devraient être nulles, cette intégrale se réduirait à une constante.
Cela posé, j'observe que, dans la relation (3), <p(a) doit être une fonction uniforme de a, puisque, quand on se donne a, la fonction P(-, a) est entiè- H. P. — III. i6
122 SUR l'iNTÉGHATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC.
rement déterminée à uno constante près, et, par conséquent, la différence P(sS, rt) — P(-', a) entièrement déterminée. Do plus, celte fonclion est toujours finie, puisque, quel que soit n, il suffit de donner à .: une valeur différente des divers points «S pour que P(;S, a) et P(.s, a) soient finis. Soit maintenant T une substitution quelconque de G' et considérons
Cette fonction admet comme pôle le point a S avec le résidu
On aura donc
P(=, aT)= y^J^Pr;, a) + const., et, par conséquent,
P(2S, «,T)-P(3, „T) = i[^"*[P(=S. «) — P(3, a)] ou
Considérons maintenant la fonction
j\(z),lz = ^^{z).
Remarquons que x prend la même valeur pour :; = a et pour ;^«T, de
sorte que
d'où
ç ( « T ) f/( « T ) = ^[ a) da
ou, en intégrant,
<^(nT) = <I>(.7) — const.
Donc <!>(;) est une intégrale ahclienne de première espèce.
Soil maintenant a une substitution de G n'appartenant pas à G', et changeons a en Z'j dans la relation (3),
il viendra
(3a) . P(;aS, a)= P^;7, n)^9(a).
Or, le sous-groupe G étant invariant, on aura
jS = S's,
SUR l'intégration ALGÉnniOHE niîS ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 123
S' appartenant aussi à (/, d'où
( 3 bis) P(sS'(r, a) = P(^(r, «) -+- !p(a j,
ce qui veut dire d'abord que la période dp l'intégrale ï'{zu,a) qui correspond à S' est égale à (p("); c'est-à-dire que les périodes de V{za^(i) sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers de celles de P(;, a). Nous aurons d'autre part
Citer) P(:S', «) = P(=, «) + ç'(«),
9'(a) étant la période correspondant à S', étant par conséquent une combinaison linéaire des périodes fondamentales de P.
Comparons maintenant les résidus des deux fonctions
pour le pôle z = au^ ] pour .; voisin de acr ', ces deux fonctions se réduiront sensiblement à
Or, on a sensiblement
3 3 — a z — aa— ' '];(ao""') On aura donc sensiblement
(4) P(3.,«;= ,JiJ^P( = ,aa-M.
Je veux dire que la dilTérence des deux membres reste finie; comme chacun des membres est une intégrale de seconde espèce, la différence devra donc être une intégrale de première espèce. Devons-nous dire que cette intégrale se réduit à une constante? Il faudrait pour cela que toutes les périodes que nous avons appelées de [ireiuière sorte fussent nulles. Supposons donc que S soit une substitution qui corresponde à une période de la première sorte; la fonction cp(«) qui figure dans (3rt) et {'ibis) sera nulle. Les périodes de la première sorte du second membre de (4) seront donc nulles. En sera-t-il de même pour le premier membre et, par conséquent, pour la différence des deux membres? Aura-t-on, en d'autres termes,
PizSa, «) = P(37, rt)?
Le premier membre |)eut s'écrire P(;(7S",«), où S" appartient à G'; la période cp"(«) correspondant à S" devrait être nulle; elle devrait être de la première sorte.
124 SUR l'ixtégration algébrique des équations linéaires, etc.
La condition pour que nous ajons le droit de dire que la différence des deux membres de (4) est une constante serait donc que u Iransformât toutes les périodes de la première sorte en périodes de la première sorte. Comme il n'en sera pas ainsi en général, tout ce que nous avons le droit de dire, c'est que cette différence est une intégrale de premicie espèce que j'appellerai K(2,a,o-).
L'équation (^his) devient alors
^^^^'' "^~')^|a^\)+K(aS', a, a)= P(z, a^-') ,^^^^ + K{=, a, a) + çfa,)
ou bien
^^'""'' ^'' .^Uo-M ' ^^^'' "' '^ = ^^"' ^^'
en désignant par !p(a,S) et $(«, S) les fonctions cp(«) et *^ (a) qui correspondent à la substitution S et par 6(S,o,a) la période de R(;,fl,o-) qui correspond à S.
Comme x est une fonction fuchsienne de c admettant le groupe G, elle reprend la même valeur pour ; = a et pour ; = au"' : on peut donc écrire
ç(aa-', S') r/rta-'-H l)(S', a, fj) da = 9(«, S; da, d'où
TofS', a, 'S)da = -Pin, S) — <t>( an-'. .S') + const.
Le résultat s'énonce donc sous une forme plus simple quand on compare les
intégrales de seconde espèce *
l'es. a). P(3cr, n).
Alors la période de la première de ces intégrales qui correspond à S serait égale à 9(ft), de même (pie la période de la seconde intégrale qui correspond à S'.
Donc les périodes /(iit'hniicntalcs de I'(;(t,^/) scraicnl des combinaisons linéaires à coefficients entiers des périodes fondamentales de V{z,a). Seulement, V^za. a) ne rentrerait pas dans le type des intégrales P(;,rt), parce que ses périodes de première espèce ne seraient pas nulles en généial.
Pour aller plus loin, cherchons la condition pour <ja il existe une fonction rationnelle F{x,y)-de x et de y qui satisfasse à une équation linéaire
d'ordre n. Cette fonction rationnelle sera évidemment égale à une fonction fuchsienne $,(;) admettant le groupe G'. Si alors a est une substitution
SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. 125
quelconque de G n'apparlen;int pas à G', <ï>(;ff) satisfera à la même équation, de sorte que les m fonclions fuchsieunes >l>{za) ne seront pas linéairement indépendantes et s'exprimeront linéairement à l'aide de n d'entre elles. Il y aura donc entre ces m fonctions {m — -/() relations linéaires. Cette condition est d'ailleurs suffisante.
Soit alors (3 un des pôles de <]>(;); soient
m substitutions de G, distinctes par rapport à G', c'est-à-dire telles qu'aucune des combinaisons (j,<j'J' n'appartienne à G'. Considérons les pôles
[icT,, ri,, (3cr„„
el soient
«1, Un, .... tl,„
les résidus correspondants de <!>(;). Si l'un de ces points n'était pas un pôle de ^(.;), le résidu correspondant serait regardé comme nul. Posons
de façon que
soient les résidus correspondants de la fonction rationnelle V{x,y). Alors ces mêmes points seront encore des pôles pour tI>(j(T) avec les résidus
J/([i<T,)' <l'(fi<T,)' ■■■' ■i^ib'^m)'
les lettres b,{<j), ^^((t), ..., b,„{<j) n'étant autre chose que les lettres 6,, ^2) • . . ) i>„. placées dans un autre ordre. II est aisé de voir ce que c'est que cet
ordre. On aura
bi,(<j)=bi si l'on a
a,a-i = aiS,
S appartenant à G'.
En d'autres termes, les lettres Oi(<7) ne sont autre chose que ce que deviennent les lettres 6, quand on les permute en leur faisant subir une des substitutions du groupe siniiiiement transitif H de la relation algél>rique (2) ^(^) J') = o.
Nous avons dit qu'il j a (m — n) relations linéaires entre les fonctions <l>(cff); il y aura les mêmes relations linéaires entre les résidus d'un même pôle, par exemple entre les 6|(c7), les mêmes encore entre les bî{a), les mêmes enfin entre les b,„{rj).
ri6 SUH L'iNTÉGnAllON ALGÉBIUyilE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. ETC.
Formons alors un délerminanl ù m lignes el m colonnes, où la A'"""'' ligne sera formée par les b/,{a), dételle sorte que dans chaque ligne nous retrouvions les mêmes lettres bt, 60, . . ., b,„ dans un ordre dift'érenl. C'est ce que M. Frobenius appelle un détcrminani de groupe ( Gruppendeterminant).
Il y aura les mêmes (/» — n) relations linéaires entre les éléments des diverses lignes de ce déterminant, c'est-à-dire que le déterminant s'annu/era ainsi (jue ses mineurs des (m — « ^ i) premiers ordres.
Nous venons de voir que la condition nécessaire pour qu'il y ail une fonction rationnelle V(x,y) satisfaisant à une équation linéaire d'ordre n, c'est qu'il existe des nombres b,, b,, . . ., b,n dont le déterminant satisfasse à la condition que je viens d'énoncer. Je dis que cette condition est également suffisante.
Supposons en effet qu'elle soit remplie et soit '!'(;) une fonction fuchsienne quelconque; envisageons la combinaison
hi *!)( jayi ) -- /'•, *( 3!i^')-t-. . . J- (>„L '!>( ;^7„' ) = 61 cj.
Nous pouvons toujours choisir *I*(cj de telle façon que ©(;) ne soit pas identiquement nulle; il suffit par exemple de supposer que *i>{^) admet le pôle c = pj.sans admettre aucun des pôles
s = [iT;, z = |i3j, . . ., z = [i(j„,. Cela posé, nous aurons
si l'on su|)pose
S el S appartenant à (i'.
Ainsi0(:;(7j est f(irmé comme 0(;), saufqueles coefficients ///, sont remplacés par les coefficients /'/.(ct).
Or, par hypothèse, il ja, entre les quantités b/t(c-), [m — n) relations linéaires de la forme
On aura donc également les {m — n) relations
V Ae(;7) = o,
ce qui veiil diie que la fonction B(c) satisfera à une équation linéaire d'ordre //. c. q. f. n.
SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. 127
Soit alors K(;j une iiilégiale de première espèce quelconque; posons i{z) sera aussi une intégrale de première espèce et nous aurons •
car, S appartenant à G, on aura
k( sS) — K(3) = const.
On a donc, à cause des équations (6), (y) V A J ( 37) = consl.
Observons, avant d'aller plus loin, qu'il résulte de nos définitions que
et d'ailleurs le sous-groupe (î' étant invariant, on aura, pour une substitution S
quelconque de G',
bi((Ji) = 6<.(Sa,) = 6<.(a,S).
Soit alors
Alors co(o-) sera une constante, puisque ce sera une période de l'intégrale de première espèce }{z) et l'on aura
\^ A Mil) = U,
en mettant en évidence les indices
(8) ^A,(o(cr,) = o.
Observons que oi{(J,) est la période de J {:■) qui correspond à S, tandis que aj(6;) est la période de 3{:) qui correspond à la substitution cr^'Sa,, laquelle appartient aussi au sous-groupe G'.
Donc co(a^'(T,) correspondra à la substi-tution 0-7 ' c'a S c^ ' a, . Or, je puis répéter le même raisonnement qui m'a conduit à l'équation (8) en remplaçant S par ctaSt^' ; j'obtiendrai
128 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.
Si alors je pose
j'aurai, en supprimant les indices i,
(9) "V A cui(g) = > A co;(a) =■ ■ ■=^ A u)„, (J) = o.
On voit qu'il y a entre les w les mêmes relations qu'entre les b\ les périodes de l'intégrale J(-) peuvent donc jouer le rôle des l>.
Tout ce qui précède deviendrait illusoire si J (^) se réduisait à une constante. Nous sommes donc conduit à nous poser la question suivante :
Peut-il arriver que, quelle que soit l'intégrale K(;) choisie, on ait (Kl) % 6,- kfsa^i) = const.
Soient alors a un nombre quelconque, ai) ' un de ses transformés, et soit
da
Soit K.'(c) ^—j- la dérivée de Iv ; nous aurons *
2^'Az^'^^^'")='^'
ou, en faisant c = a,
y ^ bjCj k'(c; J~') — o.
quelle que soit l'intégrale K(;) choisie; nous aurons en particulier
2^ hiCi ipl'ojri^ = o,
cp(a) étant la fonction qui figure dans la relation (3), puisque nous avons vu que cette fonction est la dérivée d'une intégrale de première espèce. Posons alors
V 6,c,P(2. «crri;=H(2);
nous aurons, en vertu de la relation (3),
c'est-à-dire que toutes les périodes de H(;) seront nulles, c'esl-à-dire que H(.3) sera une fonction fuchsienne de ; et une fonction rationnelle de x et de r-
SIR l'intégration algébrique DBS ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 1 29
Quant à ses pôles ; = aa- *, ils correspondront tous à une même valeur de J7, X = JCo, puisque x est une fonction fuchsienne de ; admettant le groupe G, ne changeant pas par conséquent quand on change z en z&j' . Nous pouvons d'ailleurs supposer que Xd est fini, puisque a est arbitraire. Tous les pôles sont d'ailleurs simples.
11 y a donc deux cas concevables :
1" Ou bien on peut choisir di's intégrales de première espèce telles que, en formant avec leurs périodes un déterminant de groupe de la façon que nous avons dite, ce déterminant s'annule ainsi que ses mineurs des (m — n — i) premiers ordres.
2° Ou bien les nombres b sont tels que, pour toutes les intégrales de première espèce K(3), on ait
\ bi K(' S5~') = const.
Nous verrons plus loin que les deux cas peuvent se réaliser. Quoi qu'il en soit, nous devons retenir les résultats suivants :
a. Quand on passe de l'intégrale K(;) à l'intégrale K(ro-), les périodes de cette intégrale subissent une substitution linéaire. L'ensemble de ces substitutions linéaires, dont les coefficients sont des entiers, forme un grouoe isomorphe à H.
b. Il j a entre les périodes des intégrales abéliennes un certain nombre de relations. On pourra obtenir de semblables relations de deux manières :
1° Si les nombres b ne sont pas tels que ^ 6,K(;(77' ) ^ const., on en
obtiendra en écrivant que le déterminant de groupe formé comme nous l'avons dit est nul ainsi que ses mineurs des {ta — n — i) premiers ordres.
2" On sait que, entre les périodes de deux intégrales quelconques de première espèce K.( j) et K'(r), il y a une relation bilinéaire due à Piiemann.
Si nous prenons R'(5) = K(;c7), les périodes de K'(;) seront des combinaisons linéaires à coefficients entiers de celles de K.(«). Si nous substituons ces combinaisons dans la relation de Riemann àla place des périodes de K\c), nous aurons entre les périodes de K(c) une relation quadratique à coefficients entiers.
H. P. — III. n
i3o SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.
