IV. — Étude d'un exemple particulier
Avant d'aller plus loin, je veux appliquer co qui précède à un exemple simple, et je choisirai uu groupe qui a été étudié en détail par M. Klein. Je veux parler du groupe de la résolvante de Galois de l'équation modulaire du septième ordre. Le groupe de (ialois de cette résolvante est isomorphe au grou|>e qui permute les lettres
de la manière suivante. Une substitution quelconque de ce groupe changera la lettre z (où c = i , 2, 3, 4) 5, 6, 7 ou 00) en z', où
(niod 7 ).
a, (3, y, 0 étant des entiers tels que
a3 — 3y ^E I ( iiiod 7 ).
Ce groupe (qui est alors isomorphe à notre groupe H) est d'ordre 168 et peut être considéré comme dérivé de deux sulistitulions fondamentales
Entre ces deux suhstilulions, nous a\ons les relations fondamentales
(I) 2;; = Si = ( S, 23)^=1.
et nous en avons encore d'autres, parmi lesquelles je citerai seulement la
suivante :
l, -ï^sr — '•
Construisons maintenant le groupe fuchsien G, auquel II est mériédriqucment isomorphe. Pour cela, nous n'aurons qu'à le faire déri\er de deux substitutions fondamentales Cj et (7.>, entre lesquelles auront lieu les relations fondamentales suivantes, identiques aux relations ( 1 ) :
(\ ÙIS ) (j3 = 3 J = ( (J, ^3 )' = I .
Le polygone fuchsien correspondant R(, est un quadrilatère formé de deux triangles svmélriques l'un de l'autre (je \eux dire symétriques au sens de la
SUR L'iNTKGlUrlON AIGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l3l
Géométrie non euclidienne). Pour chacun de ces triangles, les trois angles sont :
Formons maintenant le sous-groupe G', ce sera encore un groupe fuchsien dont le polygone générateur R'^, sera décomposable en 168 quadrilatères égaux à Ro (toujours au point de vue non euclidien) ou en 336 triangles
d'angles -. ^ j - •
M. Klein a construit ce polygone qui a i4 côtés el est décomposable en i4 triangles équilatéraux égaux dont les angles sont égaux à -• Chacun de ces i4 triangles se décompose lui-même en a4 triangles dont le-< angles sont
7t Tt TT
Il suffira de représenter ici l'un de ces triangles. J'ai fait celte représentation scliématiquement en remplaçant les triangles curvilignes par des triangles rectilignes; j'ai marqué chaque point par les chiffres 2, 3 ou 7, selon que les
, , • , ... t: Il r.
angles des triangles qui y aboutissent sont - . - ou ;;•
La décomposition de chaque triangle se déduit d'ailleurs aisément de celle du triangle contigu, si l'on observe que les deux figures représentant la décomposition de ces deux triangles sont symétriques par rapport au côté commun.
Il reste à définir la façon d(inl les (piatorze côtés du p(dygone R„ sont conjugués.
l32 SUR l'intégration algébrique des EQUATIONS LINÉAIRES, ETC.
Pour cela, numérolons ces côtés en faisant le tour du polygone dans le sens direct.
M. Ivlein a démontré que les cùlés
i,io, 3.12, 5.14. 7.2. 9.4, II. 6, i3.8 sont conjugués.
On voit que les sommets forment deux cycles, l'un comprenant tous les sommets de rang pair, l'autre tous les sommets de rang impair. La somme des angles pour chacun de ces cycles est arr. D'après la formule bien connue, le genre y est égal à .H.
Soit maintenant Iv(;) une intégrale abélienne quelconque de première
espèce engendrée par le groupe G' et étudions ses périodes.
Soient :
:, l'intégrale prise le lonç: des entés i et 2,
£5 » 3 et 4)
£3 » 0 et G.
£1 » 7 et 8,
£, » 9 fît io>
E„ » 1 1 et 12,
£, » 1 3 et ij.
Ce seront des périodes: car, quand on a parcouru deux côtés consécutifs du polygone, on est passé d'un sommet de rang pair à un sommet de rang impair, c'est-à-dire n/i/iar(eiianl au même cycle. De plus, un a
£, -i- Ej -1- E3 -i- El + E5 -t- -r. -+- E, = (I,
car l'intégrale prise le long du polygone entier doit être nulle. .Soient maintenant
,1. Çî, -;i, i,l. ^.'ï. sr,. 1,7
les périodes qui correspondent aux substitutions qui changent respectivement les côtés
I en 10, 2 en 12, 5 en i4, 7 en 2, 9 en 4, " ?" t>, i3 en 8,
nous aurons
',= — :,;— £7- !^; = — Et— El, ^3 = — m— e?, ?t = — Eî— E3,
Soit maintenant une seconde intégrale K'(;) ayant pour périodes t' et Ç', de sorte que l'on ait
SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. i33
L'intégrale
prise le long du polygone entier devra êlre nulle, de sorte qu'on aura
ï'i ai -f- Ço a., 4- ^3 a,-, ■+- 'Ç,\ a, -h l'-, a, ^ r;., a, , ^ ^'^ a,n = o,
en désignant par a, l'intégrale K. prise le long du côté i, de telle sorte que
C( I ^"1 — j( j II — — 3C;j ~r~ jï I 1 — ^ • • ■ " .
En remplaçant les t et les ot en fonctions des e' et des £, on trouve (a) 'i'2 — 'î'i -^ -1 -:i — î:i-i + =1 -s -•■-1 ^ '1 '0 ^ '6'i ^ ';-3
que je pourrai écrire sous la forme symbolique
{■ibis) (i2) — (i3)-^ (13)^ (i6) — (-2-3j-^ (-26 )^(. IV) ^ (,)«) — ( 3t>; = o.
Je remarque que, si nous posons
-1 =3 =C=",'l, '!-+- '3 -- 'ô-^ '!•> = Yîi S.1=Y3-
£5-i-Sf.= Tl, '3=Ï5, 'Ô=V6.
la relation (2 ) devient
ïiTs — TîT'i + ï:i T'. — ï» Ts ^ ïsïé — ïc Ï5 = o>
c'est-à-dire que les périodes y sont Xes périodes normales.
Examinons maintenant l'effet des diverses substitutions du groupe G. Parmi les points de notre polygone, nous distinguons, en particulier, les points (-), c'est-à-dire les points qui sont sommets de quatorze triangles avec un angle f ; nous avons d'abord le centre de notre polygone, puis ses quatorze sommets; nous en avons, en outre, un sur chaque côté et un sur chacun des quatorze ravons allant du centre aux sommets. Mais les différents sommets de rang impair ne sont pas réellement distincts, puisqu'ils font partie d'un même cycle et qu'ils sont, par conséquent, congruents, c'est-à-dire transformables les uns dans les autres par une substitution du sous-groupe G'. De morne pour les sommets de rang pair; de même enfin pour les deux points (r) situés sur deux côtés conjugués.
i34 SUR l'intégration algébrique des équations linéairks, etc.
Nous aurons donc en toul vingt-quatre points (-j) réellement distincts.
Considérons la substitution CT3 ; c'est une rotation (au sens non euclidien) d'un angle — -autour du centre du polygone. Cette rotation transforme les uns dans les autres les sommets de rang pair, de même que ceux de rang impair, de sorte qu'elle transforme chacun de ces sommets en un point congruenl. Cela nous amène à distinguer parmi nos vingt-quatre points ('^) ceux qui correspondent au centre et aux sonmiets du polygone; je les appellerai les points A.
Nous sommes donc conduits à répartir nos vingt-cjualre points (7) en huit groupes comprenant chacun trois points (7) distincts; nous les appellerons les points A, les points B, . . . , les points H.
Numérotons les sommets, les rayons du polygone dans le sens direct, comme nous avons fait pour les côtés; faisons de même pour les quatorze secteurs ou triangles dans lesquels on peut décomposer ce polygone, et cela de telle sorte que les sommets du côté i soient les sommets 1 et 2 et que le secteur i soit compris entre le côté 1 et les rayons 1 et 2.
Cela posé, les trois points B seront les points (7) qui se trouvent sur le côté i et sur les rayons opposés 6 et i3 : les trois points C se trouveront sur le côté 3 et sur les rayons opposés 8 et i : les trois points D se trouveront sur le côté 5 et sur les rayons opposés 10 et 3; et ainsi de suite.
Dans ces conditions, une rotation d'un angle multiple de ^ autour de l'un
des points A change tout point A en un point A, et conserve, par conséquent, la lettre A, et permute circulairement les unes dans les autres les sept autres
lettres: de même une rotation d'un angle multiple de ^autour de l'un des
points B conserve la lettre B et permute circulaircmenl les unes dans les autres les sept autres lettres.
Plus généralement, une substitution quelconque de G permutera d'une certaine manière nos huit lettres; de telle sorte que si elle change, par exemple, un point A en un point B, elle changera tous les autres points A en des points B.
Ces permutations de 8 lettres formeront un groupe qui ne sera autre chose
que notre groupe (;, " ^ "^ ) de 168 substitutions.
Nous distinguerons en particulier la substitution a, qui coirespond à [z, z-\- 1), la substitution ctj qui correspond à (:■, )> et la substi-
Sl'll l'iMTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQI'ATIONS LINÉAIRES, ETC. l35
tulion 1,, ([ui est une combinaison des deux premières et (jue je définirai comme il suit :
C'est une rotation d'un angle -^ autour du centre de figure du secteur i, lequel secleur, représenté d'ailleurs sur la figure i, est, comme nous le savons, un triangle équilatéral. Cette substitution conserve les lettres A et D et permute les autres de la façon suivante :
(A)(Dj(GCI3)(EFII).
Chacune des substitutions a- de G change R',, en un polygone R^ égal à R,, (au point de vue non euclidien) et qui pourrait tout aussi bien que R^ engendrer le groupe fuchsien G'.
Soient toujours s, , £25 ■ . . , St les périodes de l'intégrale
et soit a une substitution quelconque de G ; quelles seront les périodes correspondantes de l'intégrale de première espèce K(s(7)? Si ; décrit une courbe quelconque, zrj décrira la transformée de cette courbe para; si donc z décrit deux côtés contigus de R|,, za décrira les deux côtés contigus correspondants de R", ; la première période de K(;o-) ^era donc l'intégrale K prise le long des deux côtés i et 2 du polygone R'^j.
En appliquant cette règle, on trouve que les 7 périodes de K(;c-;, ) sont
-2l £3, Ej, £5, £f,, £7, £,;
celles de K{z<7\) sont
£3, £4. e.i. Ef,, £7, £1. £-,
et ainsi de suite: celles de K(::(Ti)sont (lire le Tableau dans le sens horizontal)
£6-t- E7-^- Ej-I- £3! £1+ £?+ £l-+- £5,
celles de K( 5(72) sont
celles de K(;;73(T:,) seront
et ainsi de suite.
l36 SUR l'intégration ALGÉBRIQliE DBS ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC.
Cela posé, reprenons la relation (2) et remplaçons K'(;) successivement parK(3o-3), K(..a=), K(;a;;), K{za,), K{:-c;,<7,), K{za,).
Nous pouvons supposer que K ait été choisi de telle sorte que les trois premières périodes soient i, o, o; nous appellerons les trois suivantes x,y, z, de sorte que la septième sera — 1 — x — y — :.
Alors les six premières périodes seront :
pour K(;), I, o,
pour R(;(T3),
pour K(co-i!),
pourK(^cr;;),
pour K( cffj), x^y, — I— ./•— /,
pour K(;cr2T3), pour K.(z(7i).
y-hz, 3,
On obtient ainsi, par la relation (2), six relations quadratiques en .r, )■ qui sont (en changt>anl les signes au besoin) :
ly- + s' -f- -zyz -i- 2xy -h 9. y + .r + i = o
y- -I- z- -+- yz -+- ,r -t- 2/ -1- 3 -t- I = o
(7 + ./:)(3 — l)— 7(7-1- s)= O y- + xy ■+- yz -h x + y -h i = o.
Le point x, y, z doit donc se trouver sur cinq surfaces du second degré; or ces cinq surfaces n'ont que deux points communs qui nous sont donnés par
SI!R L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC.
L'équation en )■ admet deux racines
X = cos '- i sm — ,
d'où
