TT

Au groupe H vont se trouver liés deux groupes linéaires remarquables, qui lui sont isomorphes.

Le premier est celui qui lie les périodes de lv(;5') à celles de K(;); par sa nature même, il ne peut contenir que des substitutions à coefficients entiers. Comme le nombre des périodes est de sept, mais qu'il n'y en a que six distinctes, c'est un groupe linéaire à six variables.

Nous prendrons les périodes s,, c.-,, £j, £4, en, £0) et nous trouverons, pour la substitution correspondant à o-^,

et, pour la substitution correspondant à 0-3,

Il est aisé de vérifier que le groupe dérivé de ces deux substitutions linéaires a'^ et a'.^ est d'ordre 168 et isomorphe à H.

Le second groupe est celui des transformations qur subissent les dérivées des intégrales abéliennes de première espèce; c'est un groupe linéaire à trois

(') Quelle esl celle de ces deux racines qui convienl .' Il sufiit de se rappeler que si K, el K3

sont les parties réelle et imaginaire de K, l'intégrale / kjrfK, prise le long du périmètre du

polygone est positive. Or cette intégrale, si .r = i, z = — 1. sera trois fois la partie imaginaire de y, nous devons donc prendre j^' = T.

i38 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

variables; c'est celui que M. Jordan avait d'abord oublié dans son énuniération, que M. Klein avait deviné et que M. Jordan avait enfin retrouvé dans une analyse plus complète.

Nous avons \ u quelles sont les périodes de nos diverses intégrales :

Nous tirons de là

Kr 3 5-5) = K( 5)-i-i:Th-i) K(=(J:,)^T K(2!ji)-^con5t.,

car il est aisé de \ érifier que les périodes de

Kisîji)— k(3) — (T ^i)K(z33) — TK(372) sont nulles.

Il résulte de là que quand :■ se change en ;o-3 les dérivées des trois intégrales K(s), K(;(7.i), ^(jo-':;) subissent la substitution linéaire

dont la période est 7 (les racines de l'équation en S sont 7, z'^, 7' ). Voici maintenant les périodes des intégrales suivantes :

d'où les relations

K(3a,) =(T^-i)K(3) -,- (T — 2) K(3a.i)-H (— T — 2) K( 35^ ) + coiist.. K(za,cj3 ) = (T — i)K(z)4-(— 2T — 3) K( sa;,) ^- Ci — T) K(5a^) -i- const., K(3cr,!T;:|) = (-T - 2) K(3)-H (2 — T)K(3(i3) + (T + i) k(3a§)-+-const.,

ce qui veut dire que quand ; se change en z-c^-,, les dérivées de nos trois intégrales subissent la substitution linéaire

dont la période est 2.

SUR l'intégration algébrique des ÉQIATIONS LINÉAIRES, ETC. I ÏIJ

Considérons maintenant l'intégrale suivante :

OÙ m prend l'une des valeurs o, 1,2, 3. 4i 5, 6.

Il est clair que si la première période de cette intégrale est 00, les autres seront

loT '". (OT— ='". w-:— "'■'. tOT

^ — hm ttï- 6'"

Mais il peut se faire que cette intégrale se réduise à une constante ; c'est ce qui arrive si oj = o.

Or, il est aisé de vérifier que ro = o pour

m = o. III = 1, m = ). m = 4,

mais que w ' o pour

Il V a donc des intégrales dont les sept périodes sont