V. — Théorèmes de Cartan et Frobenius

Nous aurons besoin dans la suite de divers résultats obtenus par M. Cartan dans un Mémoire intitulé : Les groupes bilinèaires et les systèmes de nombres complexes {Annales de la Faculté de Toulouse, t. XII) et par M. Frobenius dans une série de Mémoires publiés dans les S itzungsberichte de l'Académie de Berlin de 1896 a 1901.

Rappelons ces résultats succinctement en insistant un peu sur certains points pour faire voir comment s'éclairent mutuellement les théorèmes de M. Cartan, d'une part, ceux de MM. Dedekind et l-'robenius, d'autre part.

Considérons un système d'unités complexes

dont la nuiliiplication soit associative et non commulative; ces unités donneront naissance à un système S de nombres complexes. Je supposerai qu'il y a dans ce système un module, c'est-à-dire un nombre complexe

a =^ ai et tel que l'on ait

quel que soit le nombre complexe .r.

Soient maintenant

deux nombres complexes quelconques, et soit

Il est clair que les ;, seront des fonctions linéaires des j'i, de sorte qu'à chaque nombre complexe x correspondra une transformation linéaire T(r) qui transformera les >', en z-i et dont les coefficieuts seront des fonctions linéaires et homogènes des j",.

Soit maintenant l'équation

où w est un nombre ordiniiire; je puis l'écrire

(j- — oa )/ = Cl,

si'B l"intégr\tion algébrique des équations linéaires, etc. i4i

ce qui exige que le déterminant de la transformation T{x— w«) soit nul. Ce déterminant, je l'appellerai \{x — coa). ^

L'équation

est une équation de degré r en w que M. Cartan appelle Véqiialion caractéristique.

Si l'une des racines de celte équation est nulle, il existera un nombre^ qui, multiplié (à gauche) par x, donne un produit nul, de telle sorte que

uy = o

et que x peut s'appeler un diviseur de zéro (à gauche): mais M. Cartan ajant démontré qu'un diviseur de zéro (à gauche) est en même temps un diviseur de zéro (à droite), nous pourrons dire simplement un diviseur de zéro.

Si toutes les racines sont nulles, M. Cartan dit que x est pseiido/nil. La condition nécessaire et suffisante pour quun nombre soit pseudonul, c'est qu'une de ses puissances entières soit nulle.

Cela posé, supposons qu'on prenne pour unités complexes /• nombres complexes quelconques du système S au lieu de e,, e-^.. . ., e,. Soient

CCS nouvelles unités complexes qui seront des combinaisons linéaires des anciennes.

Soit

X =2 XiBi =2 x\e]. y =^ j,f, = y^ j-;,?;,

.ly

^^ie>=^z,e;.

Que deviendra la .suljs.titulit)n '^ {x ) qui changeait les yi en ;,? elle devra être remplacée par une substitution T'(j) qui changera les y\ en :■]. Soit U la substitution linéaire qui change les Vi en y] ; elle changera également les c, en

z'i ; de sorte qu'on aura

c'est-à-dire que T' est la transformée de T par L.

On peut choisir les nouvelles unités complexes de façon à réduire le système S à sa forme la plus simple. C'est ce que M. Cartan a réussi à faire.

l'our cela, il introduit la notion de sous-sj stèmc ; l'ensemble des combinaisons linéaires de q nombres com|)lexes appartenant à .S formera un sous-

i42 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

système a de S si (/<C /■; ce sous-sy>tème sera semi-invai-iant à droite si le produit (à droite) d'un nombre quelconque de a par un nombre quelconque de S appartient à cr; on définit de même la semi-invariance à gauche; enfin on dit qu'un système est invariant s'il est semi-invariant à la fois à droite et à gauche.

Cela posé, M. Cartan a montré qu'un système simple, c'est-à-dire un système qui ne contient aucun sous-système invariant, ne peut être que ce qu'il appelle un p- ion, c'est-à-dire un système à /)- unités e,j(i^j =i, 2,. . ., j>) avec la loi de multiplication

eijeji=eii, e,-,e;/, = 0 ( ./'? l'^-

Parmi les systèmes qui ne sont pas siiBj)les, il distingue d'abord les systèmes senii-siinpics qui admettent toutes les unités de plusieurs p'' ions, et cela de telle façon que le produit de deux nombres complexes appartenant à deux p- ions différents soit toujours nul. ^

Enfin les systèmes qui ne sont ni simples, ni semi-simples, admettront toutes les unités d'un système semi-simple et, en outro, un certain nombre d'unités pseudonulles, dont les combinaisons linéaires forment un sous-système invariant dont tous les nombres sont pseudonuls.

Reprenons le déterminant A(,r) que nous avons défini plus haut, et décomposons-le en facteurs irréductibles. A chacun des p- ions correspondra un de ces facteurs, qui sera de degré y> et qui sera élevé à une puissance égale Àp si le système est semi-simple el supérieure à /' dans le cas contraire.

Tels sont les résultats de M. Cartan. Voyons comment ils peuvent être appliqués à la théorie des groupes.

Considérons un groupe d'ordre fuiiCj; aux différentes substitutions faisons correspondre des unités complexes, dont la loi de multiplication soit la même que celle des substitutions. Je veux dire que, si les unités e,, Cj, e^ correspondent respectivement aux substitution> (t,, o-y, cr/o-y, on ait

'■;''/ = ''<• Cette loi est évidemment associative. Envisageons le système de nombres complexes S engendré par ces unités et, d'abord, formons l'équation caractéristique et le déterminant A(.ï) correspondant, ainsi que la subslilulion linéaire T{x).

Soit

.r=^. /■,£/, y='^yk'-i. z = j-y='^z/ej,

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. I/|3

il vient

Convenons d'adopler la notation si commode de M. Frobenius et de poser

Xi =; X

la transformation T(.r) s'écrira

de telle sorte que l'élément de la /.''""' colonne et de la y'"'" ligne dans A(;) sera jry,^.

Ce déterminant A(.r) sera donc un de ceux que M. Frobenius appelle déterminants de groupe: nous en avons vu plus liaut un exemple au paragraphe 3.

Ainsi l'on voit déjà apparaître un lien entre les travaux de M. Cartan, ceux de M Frobenius et la question qui nous occupe ici.

Observons qu'il y a dans le système S certains nombres t, qui jouissent de la propriété d'être connu ittables à tous les nombres du système; je veux dire que l'on aura

X étant un nombre quelconque du système 8.

Nous savons, en efl'et, que les substitutions du jj;roupe G se répartissent en un certain nombre de classes, de telle façon que toutes les transformées d'une même substitution par toutes les substitutions de C appartiennent à une même classe.

La somme de toutes les unités complexes correspondant aux diverses substitutions d'une même classe sera un nombre commutable; et tous les nombres commutables seront des combinaisons linéaires des nombres ainsi obtenus.

Ces nombres commutables formeront évidemment un sous-système de nombres complexes à multiplication commutallve. C'est ce sous-système que M. F'robenius a étudié dans son premier Mémoire [Ueicr Grujipencharaktere [Sitzungsberichte de Berlin, t. Il, 1896)].

Cela posé, on peut se demander si le système S est semi-simple au sens de M. Cartan. La réponse doit être affirmative; en efl'et, s'il n'était pas semisimple, il contiendrait un sous-système invariant pseudonul. Or, si un pareil sous-système existait, il contiendrait au moins un nombre commutable. .Soit,

l44 SUR l'intégration algébrique des équations LINÉAIHliS, ETC.

en effet, z = ^a:,e, un nombre quelconque de ce sous-sjslème. Tous les

coefficients x, ne peuvent pas être nuls.

Supposons donc Xk^o.

Soit !7a la substitution de G qui correspond à l'unité t'A, et désignons par ej^ l'unité qui correspond à la substitution inverse c^'. Nous aurons

e^eÂ' = e,, Ci étant l'unité qui correspond à la substitution identique. Le nombre

fait paitie du sous-sj'Stème, puisque ce sous-sjstème est invariant. Dans ce nomin-e complexe, le coefficient de e, est égal à x/,. De même les nombres

(où (ij est une quelconque de nos unités) feront partie du sous sjstème et le coefficient de t'i sera égal à x^. Enfin le nombre

fait partie du sous-système; il devrait donc être pseudonul; d'ailleurs le coefficient de e, est égal à rXk {>' étant l'ordre du groupe G) et, par conséquent, difi'érent de zéro. Donc le nombre )• n'est pas nul. De plus, il est aisé de voir que ce nombre r est commulable.

•Si donc il v avait un sous-sjsléme invariant pseudonul, il y aurait un nombre commutable pseudonul.

Or M. Frobenius a montré qu'il n'y avait pas de nombre commutable pseudonul, ou plutôt il a montré, ce qui revient au même, que le déterminant de certaines quantités qu'il appelle les p^i^ n'est pas nul (loc. cil., p. 990 et 991)-

Donc le 5)-.s7é/«e S est scini-simple et réductible à un certain nombre de p- ions. Or on conclura immédiulement (pie (-haque facteur irréductible du déterminant à(x) est affecté d'un exposant égal à son degré. G'est le théorème fondamental établi d'une manière un peu différente par M. Frobenius dans son second Mémoire [Ueber die PrimJ'actoren der Grup/iendeteriiiinante (Sitz. de Berlin, t. II, 1896)].

Chaque p- ion contient un nonibie commutable et un seul; si, en effet, les unités e'^(i de ce//- ion sont choisies de telle sorte que

SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 143

le nombre

e'ti -t-eô-j-H.. .-i- e'pp

sera comimUable à toutes les unités du y/- ion, et il n'y en aura [)as d'autres.

Il sera d'ailleurs commutable également aux unités des autres y/-' ions; car nous savons que le produit de deux nombres appartenant à deux p- ions différents est toujours nul.

On peut conclure de là qu'il y a précisément autant dey/- ions (ou autant de facteurs irréductibles de A) qu'il y a de nombres commutables distincts, c'està-dire qu'il y a de classes de substitutions dans le groupe G.

Cela posé, on peut appliquer au système S les procédés de M. Carlan et choisir de nouvelles unités

de façon à réduire le système autant que possible. On aura

la sommation sétendant aux différentes valeurs dey^ correspondant aux différents yO^ ions; elles unités de chaque y^)'^ ion seront choisies de telle sorte que

et que le produit de deux unités appartenant à deuxy»- ions différents soit nul. Que devient alors la substitution linéaire T(x); elle se transforme, comme

on l'a vu, en

U étant la substitution linéaire qui, dans un même nombre complexe, lie les coefficients des nouvelles unités e' à ceux des anciennes unités e; et alors on voit que la substitution T'(.r) se décompose en plusieurs substitutions linéaires simultanées.

Désignons les unités nouvelles e' par une notation à trois indices e'^a.,; le premier indice représente le numéro duyv- ion auquel appartient l'unité, les deux autres indices distinguent les unes des autres les diverses unités d'un même p- ion. La loi de multiplication est alors

tous les autres produits étant nuls. Dans certains cas, le premier indice deviendra inutile et nous le supprimerons; quand il n'y aura que deux indices ce sera donc le premier indice qui aura été supprimé.

H. P. — III. ig

i46 SLR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

Cela posé, soit

z = ry =2j^'oi?-r'''a';iy II s'agit d'étudier la transformation T' (x) qui change les )' en ;'. On trouve

la sommation s'étendant aux différentes valeurs de ô.

Ainsi les variables ;' dépendront uniquement des variables )' qui ont même premier indice et même dernier indice que z, ce qui montre cpie la transformation T'(./') se décompose en ^ /' transformations linéaires partielles à

f> variables.

J'observe que si je conserve l'indice x et que je change l'indice ■/, les coefficients x^gç ne changent pas. Les variables v«Se subissent donc /a inrine transformation linéaire que les variables )a6y Nos 2uP substitutions linéaires

partielles sont donc identiques p à. p.

Nous devons nous poser maintenant une question. Quand arrUe-t-il que le déterminanl à(x) est nul ainsi que tous ses mineurs des (/>■ — i) premiers ordres? En effet, nous avons vu au paragraphe 3 que le déterminant de groupe formé par les quantités que nous avons appelées bi{(j) devait satisfaire à cette condition.

Si le déterminant A(a?) 3' satisfait, il en sera de même du déterminant de la substitution T'(.r) qui n'en est ([u'un transformé.

Considérons notre (x''''"° p- ion et siipjiosons que ce soit un y4 ion. Supposons (lue le déterminant des ji^ quantités x^h-, soit nul ainsi ([ue ses mineurs des (A'^ — i) premiers ordres, mais que les mineurs d'ordre supérieur ne soient pas tous nuls.

Envisageons l'équation xy = o qui peut s'écrire

Considérons en particulier celles de ces équations qui se ra|)portent à une valeur donnée de x et à une valeur donnée de •/; elles sont au nombre de />^ correspondant aux différentes valeurs de l'indice (3. Comme les mineurs du

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. I i7

déterminant des x' sont nuls jusqu'à l'ordre {k^ — i); parmi ces équations, (^5; — /,-£<) seulement sont distinctes, de sorte que nos p^^ inconnues y'»;-^ dépendront encore de Aa arbitraires: il en sera de même dosy^^j inconnues rkss) de sorte que les joj inconnues )' relatives à notre a"°"'//- ion dépendent de Aj,/?» arbitraires et que les /• inconnues )' dépendent en tout de

arbitraires.

En d'autres termes, le déterminant de T'(a;j | et par conséquent aussi le déterminant A(a;)] sera nul, ainsi que ses mineurs des (A — i) premiers ordres.

En d'autres termes encore, l'équation X)= o admet A solutions distinctes,

de sorte qu'on a

xyW = j-yr-) = . . . = j-yl*) = o,

>'"'» y'^'i • • •) )'"' étant A nombres complexes linéairement indépendants, c'est-à-dire que x est A fois diviseur de zéro.

Si nous multiplions x par /• nombres complexes quelconques linéairement indépendants, les produits obtenus ne seront pas linéairement indépendants, puisque nous venons de voir que k de leurs combinaisons linéaires sont nulles; parmi ces produits, (/• — A) seulement seront distincts.

Donc X fait partie d'un sous-système semi-invariant à droite de (/• — A) nombres.

De même, x fera partie d'un sous-sjstéme semi-invariant à gauche de (r — A) nombres. Mais il ne faudrait pas en conclure que x fait partie d'un soussystème invariant de (/• — A) nombres, car ces deux sous-systèmes semiinvariants ne sont pas identiques. Du reste, nous n'envisagerons ici ([ue des sous-systèmes semi-invariants à droite.

Nous pourrons dire qu'un sous-système semi-invariant s de II nombres est /iremi'er quand il ne contiendra aucun sous-système semi-invariant de moins de A nombres, d'où il suit qu'on peut reproduire tous les noiidires du soussystème s en multipliant un nombre quelconque x de ce sous-système par les divers nombres complexes y du système S. Car s'il n'en était pas ainsi, ceux des nombres de s qu'on obtiendrait en multipliant x par les divers nombres de S, ne reproduisant pas le sous-système s tout entier, formeraient un soussystème semi-invariant de moins de h nombres contenu dans s.

Dans un sous-système semi-invariant premier .v, tous les coeflicients x^^i qui ne sont pas nuls ont même premier indice « (et correspondent par conséquent

i48 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

à un même p- ion). Et, en effet, supposons qu'il y ail dans s des nombres où deux coeflicieiils x' dont les premiers indices a et a soient différents, et qui ne soient pas nuls. Multiplions ces nombres par des nombres complexes

où tous les coefficients )■ soient nuls, sauf ceux dont le premier indice est «; dans les produits, les coefficients seront aussi tous nuls, sauf ceux dont le premier indice serait a, et ces produits formeront un sous-système semiinvariant contenu dans ,9; donc s ne serait pas premier.

Je dis maintenant que, dans le sous-système premier .y, il y a, entre les jOg coefficients x'^&i, des relations linéaires distinctes de la forme

OÙ les As sont des coefficients constants ne dépendant pas des x' ni du second indice ô, et que ces relations sont au nombre de (/>„ — i), de sorte que, finalement, le sous-système se compose àe p^ nombres distincts.

Et, en effet, soit X un nombre quelconque de notre sous-système premier s; tous les nombres du sous-système pourront être obtenus en multipliant l'un quelconque d'entre eux par d'autres nombres complexes, sans quoi ceux qu'on pourrait obtenir de cette façon formeraient un sous-système semi-invariant contenu dans s.

Considérons les nombres Xe'jjijy; ils font tous partie de y, ils ne peuvent pas être tous nuls, et, en effet, si l'on pose

il vient

X = Xe, =^ Ca3YXe^3.|..

Les termes où le premier indice n'est jias égal à oc. sont déjà tous nuls; si ceux où ce premier indice est a étaient également tous nuls, il faudrait que X fût nul.

Soit donc Xel^r^vJ^o; le sous-système s pourra être obtenu en multipliant Xe^s-, par un nombre complexe quelconque. On obtient ainsi le soussystème semi-invariant

qui se compose àa p^ nombres et qui doit être identique à s.

SUR l'intégration algérriql'e des équations linéaires, etc. i49

Je dis maintenant que tout système semi-invariant non premier peut être décomposé en plusieurs sous-sjstèmes semi-invaiianls premiers n'ayant aucun nombre en commun et de telle façon que toul nombre du sous-sv>lème total puisse, d'une manière et d'une seule, être regardé comme une somme de nombres appartenant aux divers sous-sjstémes composants.

Soit eu effet X un nombre appartenant à un sous-sjstème semi-invariant s non premier; nous aurons

Or ^e'i^gy appartient à 5 et appartient en même temps au sous-système premier formé des nombres Xe^r^g (ô= i, 2, . . ., Pa,)-

Dans ses derniers Mémoires parus dans les Sitzungsberichte de Berlin de 1899 à 1901 et intitulés DarstcUiuig der Gritppen diirch Uneavc Transfonnationen, M. Frobenius cherche à former les groupes de substitutions linéaires isomorphes à un groupe fini donné. Ce problème pourrait être résolu en s'appuyant sur les principes suivants :

Soient Ç,, ^,, . . . , ^„ des variables indépendantes et 0 un polynôme linéaire et homogène par rapport à ces variables. Soit ct, une substitution quelconque de G et e, l'unité complexe correspondante. Soit G' un groupe de substitutions linéaires entre les n variables H, isomorphe à G, et a'^ la substitution de G correspondant à a,: soit 01?, ce que devient le polynôme 9 par cette substitution.

S'il n'y avait entre les fonctions linéaires oei aucune relation linéaire, le groupe G' pourrait être ramené à un groupe de permutations entre les cpe,, et, plus généralement, l'étude du groupe G' peut se ramener à celle des relations linéaires entre les cpe,.

Soit X = ^X,e, un nombre complexe quelconque; nous poserons

oX =

et alors les relations linéaires cherchées seront de la forme

oX = o.

Il nous suffira de remarquer que l'ensemble des nombres X qui satisfont à cette relation forme un sous-systèmc semi-invariant à gauche, et que, inversement, étant donné un sous-système semi-invariant à gauche, on peut s'en servir de cette façon pour délinir un groupe linéaire G' isomorphe à G,

i5o SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.