VI. — Applications du théorème de Frobenius

lleprenons, comme dans les paragraphes 2 et 3 : i° notre groupe fini H d'ordre m ; i" nos groupes fuchsiens G et G' et les fonctions fuchsiennes correspondantes; .3° les intégrales de première espèce K(^) et les intégrales de seconde espèce P(;, a). Conservons les mêmes notations, de telle sorte que o- désigne une sub.stitution de G et S une substitution de G'.

Envisageons d'autre part, comme au paragraphe 5, le système d'unités complexes

correspondant au groupe H, de sorte qu'à chaque substitution de (.i corresponde une substitution de H et, par conséquent, une des unités (i). Supposons qu'on ait réduit le système de nombres complexes correspondant, (pie j'appellerai le système 1, à sa forme canonique (en le décomposant en p- ions), et soient

les nouvelles unités complexes, le triple indice ayant même significalion que plus haut.

Nous emploierons les notations suivantes : soil V {:■) une intégrale abélienne quelconque, combinaison des K(c) et P(;, «); considérons

0-, étant une substitution de G. A cette substitution correspondra une unité complexe e,-, mais à cette unité correspondront plusieurs substitutions de G que j'appellerai o-,, a], ..., et, par conséquent, plusieurs intégrales ¥[z-<7~i')i F(.3o-j~'), ...; mais toutes ces intégrales ne différeront les unes des autres que par des constantes ; car on aura a'i = u.S, S appartenant à G'. Si donc je

conviens de poser

F(sa-i)=F(s)e,-,

la fonction F(j)(?, sera définie (/ une constante /)rès. Soit maintenant

je conviendrai de poser

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. i5i

Nous aurons

[F(3)e,]<;,= [F(sv')]e,-=F(3î^iî-i) = P(z)(e,e;.), puisque iJi/ji^ correspond à eiek] et plus généralement

[F(s)X]Y==F(3)(XY),

de sorte que je pourrai écrire simplement F(;)XY.

Autre remarque : si ¥{z-) est une intégrale de première espèce, ou se réduit à une fonction algébrique (je veux dire une fonction algébrique de x et de y et, par conséquent, une fonction fuchsienne de z), ou se réduit à une constante, il en sera de même de F(;)X.

Si nous rapprochons ces deux. leniarques, nous verrons que, si l'on considère une fonction F (3) quelconque, l'ensemble des nombres X qui seront tels que la fonction F(;)X jouisse de lune de ces trois propriétés, formeront un sous-sjstème semi-invariant à droite; car il est clair que, si F(;)X jouit d'une de ces propriétés, il en est de même de F(3)XY, quel que soit le nombre Y.

Par exemple, nous avons q intégrales de première espèce K(c); supposons

q < m et considérons les //(, intégrales

(2) K(37,)- l<(3cr,), ...., Kf3T„,);

il y aura entre elles au moins [m — y) relations linéaires distinctes. Or une combinaison linéaire quelconque des intégrales (2) peut s'écrire d'après notre

nouvelle notation

X étant un nombre complexe du système 1. Parmi ces combinaisons, il j en aura [pour le moins {m — q)\ qui se réduiront à des constantes et les nombres X correspondants formeront un sous-système semi-invariant.

Supposons que, parmi les intégrales (2), il j en ait q' qui soient linéairement indépendantes; le nombre q' sera au plus égal au genre q; d'où q '^q-

Quoi qu'il en soit, le sous-svstème semi-invariant formé par les nombres X tels que K(j)X =: const. comprendra précisément (jn — q') nombres complexes linéairement indépendants.

Considérons maintenant l'ensemble des nombres X tels que l'on ait à la fois [pour toutes les intégrales (2)]

Kf 33i)X = const., K(z35)X = const., ,.., K(j!'t„,)X = const.

i5'2 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

Cet ensemble formera un sous-système non plus semi-invariant, mais invariant, car il est clair qu'on aura

K( ;)Y\ = const., K(3)YXZ = const.,

Y et Z étant deux nombres complexes quelconques.

Cela posé, nous dirons qu'une intégrale de première espèce K.(;) appartient

à un p- ion H si l'on a

K(3)X = const.,

X étant un nombre complexe quelconque faisant partie d'un p- ion autre que n, et si la même relation n'a pas lieu pour tous les nombres complexes de n.

Il résulte de cette définition que toute intégrale de première espèce peut être regardée comme la somme de plusieurs autres dont chacune appartient à un y;- ion déterminé.

Soit, en effet,

cette intégrale, nous pouvons écrire

ei= X,-h X,-)-. . .-hXp,

chacun des nombres X, faisant partie d'un p- ion déterminé. Nous aurons alors

lv(3; = K(z)X,-+-K(z)X,-H...--K( = )X^.

Alors K(;)X, ou bien se réduira à une constante ou appartiendra au même p- ion que X,; car on aura évidemment

K(-)X,Xi= const.,

si X/, fait partit! d'un autre /(- ion que X,-, puisque alors on aurait X,Xa = o, et, d'autre part, si \, el \a font partie du même p- iou, on n'aura pas la même relation, quel que soit Xa, puisqu'il y a un nombre X/i tel que X/X^ = X,.

Examinons maintenant ce qui se passe, s'il y a des p^ ions auxquels n'appartient aucune intégrale de première espèce, et il y en aura forcément si m > </. Soit X un nombre d'un de ces p- ions et K(;) une intégrale quelconque, on aura (3) K(=jX = const.

Considérons les périodes de nos intégrales; les périodes de K(.;o-7') seront des combinaisons linéaires à coefficients entiers de celles de K(;;) et les coefficients entiers de ces combinaisons pourront être déterminés comme nous

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. 153

l'avons vu au paragraphe 3. Celles de K(;)X seront encore des combinaisons linéaires de celles de K(:^); mais les coefficients no seront plus entiers; ces coefficients toutefois seront aisés à déterminer, puisque ce seront à leur tour des combinaisons linéaires à coefficients entiers des coefficients X, du nombre complexe

Si alors w est une période de K(;) et si 'jX est la période correspondante de K(;)X, alors, en vertu de (3), on aura

(4) ioX = o.

La relation (4) est une relation linéaire entre les périodes de K(^) et, d'après nos hypothèses, ces relations doivent avoir lieu pour toutes les intégrales K.(:;).

Or, nous savons qu'il existe q intégrales admettant chacune 2(j périodes.

Parmi ces périodes, q peuvent être clioisies arbitrairement; il y a donc entre les 2g périodes q relations qui restent vraies pour toutes les intégrales et il n'y en a que q.

Ces relations sont bien connues. Si K(-:) et K'(;) sont deux intégrales quelconques, on sait qu'il y a entre les périodes de ces deux intégrales une relation bilinéaire à coefficients entiers, dite de Riemann, qui s'écrira, par exemple,

(0, Oj'i (0,(o'^ + WjCoJj (0,4 eu'., +...-!- C0,,^, (Olj,. I')2,/0);jy| = o,

si les w, sont les périodes normales de K(::) et les c.j| celles de K'(.g).

Si, dans ces relations bilinéaires, on prend pour K'(-;) successivement q intégrales de première espèce linéairement indépendantes, on aura, entre les périodes de K-(;), q relations linéaires distinctes et qui resteront les mêmes quelle que soit l'intégrale K.(3). Il ne peut y avoir cV autre relation linéaire entre ces périodes.

Donc, de deux choses l'une : ou bien la relation (4) sera une idenlilé, et alors tous les coefficients de celte relation dexront s'annuler, co qui nous donnera un certain nombre de relations linéaires à coefficients entiers entre les X, ( l'est-à-dire entre les coefficients du nombre complexe X= ^X/e, j, qui seront vraies pour tous les nombres complexes du p'^ ion considéré.

i54 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

Ou bien la relation (4) est l'une des relations dont nous venons de parler, que l'on obtient à l'aide d'une intégrale K.'(;) et dont les coefficients sont des périodes de cette intégrale K'(z); et alors il y aura une intégrale de première espèce dont les périodes seront des combinaisons linéaires à coefficients entiers des X,.'

Pour savoir lequel de ces deux cas se présentera, je considère l'intégrale de seconde espèce P(3, a) et je forme

On démontrerait de la même manière : i" que les nombres X tels que P(^, a)X soit une fonction algébrique, forment un sous-svstènie semiinvariant à droite; 2" que les nombres X tels que tous les P(c(t, a)X soient des fonctions algébriques, forment un système invariant; 3° qu'une intégrale de seconde espèce quelconque peut toujours être décomposée en une somme d'une fonction algébrique et de plusieurs intégrales de seconde espèce appartenant chacune à un/?^ ion déterminé.

11 convient, bien entendu, de dire que P(;, a) appartient au p- ion H, si P(;, a)X est algébrique quand X est un nombre complexe quelconque faisant partie d'un p- ion autre que II et si cela n'est plus vrai quand X fait partie de II (ou du moins pour tous les nombres complexes X faisant partie deH).

Soit alors un p- ion auquel n'appartienne aucune intégrale de seconde espèce; soit cp(a) l'une des périodes de P(::, «) et cp(a)X la période correspondante de P(;, a)X, on devra avoir

(4 bis) z(a)\ = o,

X étant un nombre quelconque du p- ion envisagé et quelle que soit l'intégrale P(;) a).

.La relation (4 bis) est une relation linéaire entre les périodes de P(;, a) formée avec ces périodes comme la relation (4) l'était avec celles de K.(;). Mais ces périodes d'une intégrale de deuxième espèce peuvent être choisies arbitrairement.

Donc la relation (4 bis) est une identité, et il en est de même de la relation (4).

On est donc dans le premier cas et il y a entre les X, des relations linéaires à coefficients entiers.

Soit maintenant un /)- ion auquel n'appartienne aucune intégrale de

SUR L'INTÉCRATION ALGÉBKIQUE des ÉQUATION'S LINÉAIRES, ETC. l55

première espèce et auquel appartienne pourtant une intégrale de deuxième espèce. Alors la relation (4) ne pourra être une identité, sans quoi il en serait de même de ( j bis) et P(;, a)X serait algébrique quelle que soit P(:;, a), contrairement à l'Iivpotlièse.

On est donc dans le second cas et il y a une intégrale de première espèce dont les périodes sont des combinaisons à coefficients entiers des X,-.

Nous devons donc distinguer trois sortes de /;- ions :

Première sorte : Tous les P(;, rt)X so/it das fondions algébriques. Deuxième soute : Tous les P(;, rt)X ne sont pas des fonctions algébriques, mais tous les K(3)X sont des constantes.

Troisième sorte : Tous les K(:;)X ne sont pas des constantes.

Plaçons-nous à un autre point de vue. Considérons les unités complexes (i) ei, Co, ..., e,u '■ elles seront liées aux unités complexes nouvelles ejjfjy par des relations linéaires à coefficients constants. On aura, par exemple,

et les coefficients A, seront des nombres algébriques. Supposons que pour l'un des p'^ ions, que j'appellerai le p- ion 11^, les coefficients A, qui entrent dans les expressions des unités «JaBy soient des fonctions rationnelles à coefficients entiers d'une certaine racine % d'une équation algébrique L à coefficients entiers.

Plus généralement, supposons que le y;^ ion II^ puisse être engendré pary>'unilés fondamentales e", qui pourront être différentes des unités canoniques eâ'^Y, et que l'on ait

les A, étant des fonctions rationnelles de Ç.

Il suffit pour cela que le nombre commutable qui fait partie de Yl^ ait ses coefficients rationnels en Ç. En efTet, on obtiendra les nombres de ^^ en multipliant ce nombre commutable par un nombre complexe quelconque. Si nous multiplions ce nombre commutable par des nombres complexes entiers, les produits auront leurs coefficients rationnels en Ç et l'on pourra choisir les p'^ unités fondamentales parmi les produits ainsi obtenus.

Soient Ç', Ç", ... les autres racines de cette équation L. Soit B, ce que

l56 SUR l'intégration algébrique des équations LINEAIRES, ETC.

devient A, quand on y remplace Ç par Ç'; il exi>tera un antre jt- ion IIj dont les unités fondamentales seront

Les p- ions H^j, Ilg et ceux qu'on formerait avec Ç", . . . , comme on a formé Ilg avec Ç', seront dits conjugués.

Il peut arriver, il est vrai, que IIj;, Ilg et tous les p'^ ions conjugués se confondent en un seul, et c'est ce qui arrive en particulier avec les quaternions ordinaires de Hamilton, si l'on veut faire dériver ces quaternions des unités canoniques ej^sy; mais si l'on ne s'astreint p;is à choisir ces unités canoniques comme unités fondamentales, on peut toujours supposer que tous les conjugués de n^ sont distincts. 11 suffit pour cela de prendre pour unités fondamentales p- produits du nombre commutable par des nombres complexes entiers.

Je dis que si un p- ion est de la première sorte, il en sera de même de tous ses conjugués. '

En effet, la condition nécessaire et suffisante pour que H^, soit de la première sorte, c'est que la relation (4), pour tous les nombres de ce p- ion, se réduise à une identité, c'est-à-dire que l'on ait identiquement, pour toutes les unités

fondamentales de 11^,

(oe" = o,

quelle que soit la période oi choisie, c'est-à-dire enlin que l'on ait, pour toutes ces unités fondamentales, certaines relations

dont les coefficients m, sont des entiers faciles à déterminer.

Mais, comme ces coefficients sont entiers, les relations devront subsister quand on y remplacera Ç par Ç'; on aura donc encore

de sorte que Ilg sera encore de la première sorte.

Remarquons maintenant que le nombre des intégrales de première espèce appartenant à un p- ion (d'ordre /;) est toujours un multiple de p. Et, en effet, partons d'une intégrale K(;;) quelconque et formons les diverses intégrales K(i;)X, où X est un nombre complexe du p- ion considéré; il y en

SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, bTC. 1 57

aura yj^, puisqu'il y a p'^ nombres X clans le p- ion, mais elles ne seront pas toutes distinctes; il peut j avoir en elFet des relations de la forme

(5) lv(;)X = consl.

Nous savons que les nombres X jouissant de cette propriété forment un sous-système semi-invariant à droite et il en est de même des nombres X jouissant de cette piopriété et faisant partie de notre jr ion.

Or, les sous-systèmes semi-invariants faisant partie de ce p- ion peuvent être décomposés en un certain nombre de sous-systèmes semi-invariants premiers contenant cbacuiiy» nombres. Le nombre des relations (5) distinctes sera donc un multiple àa p et il en sera de même par conséquent du nombre des intégrales K(.;)X distinctes.

Nous pouvons dire que les intégrales 1\.(;)X dérivent de l'intégrale Iv(;), où X est un nombre quelconque du p- ion.

Il en résultera que le nombre des intégrales distinctes qui dérivent d'une même intégrale et qui appartiennent à un même /j- ion, est un multiple deyj.

Nous dirons qu'un système d'intégrales est fennec si elles appartiennent à un même />" ion et si toutes les intégrales qui dérivent d'une intégrale du système font également partie du système. Nous dirons qu'un système fermé est premier s'il ne contient aucun système fermé plus petit.

Je dis alors qu'un système fermé premier quelconque se compose de p intégrales. Je n'ai qu'à répéter les raisonnements que j'ai faits au paragraphe o à propos des sous-systèmes semi-invariants premiers. Le système étant premier, toute intégrale du système pourra être regardée comme dérivant de l'une quelconque d'entre elles K(;), ou encore de K(;)e^p.j, [à moins que K(j)eâRY ne se réduise à une constante]; mais cela ne peut pas être vrai de tous les K(s)eâpY, **'^* quoi

K(3) = K(ôje,=2Ca3YK(3)e'afiy

se réduirait à une constante. Mais les intégrales dérivant de K(z-)e'^aj sont les

intégrales

K(^)eà;« (û = l, 2, ■■■,J>),

et elles sont au nombre de p. c. q. f. d.

Je dis maintenant qu'un système fermé quelconque peut être décomposé en systèmes premiers. Car si K(;) est une intégrale quelconque du système, on

i58 SUR l'intkgration algébrique -des équations linéaires, etc.

peut écrire

K(z\ = k^;,.)?, =^CapY K(3)e;.j...

D'ailleurs nous pouvons toujours supposer que ces systèmes premiiTS sout distincts, c'est-à-dire qu'il n'y a entre les intégrales de ces systèmes premiers aucune relation linéaire, sans quoi on se servirait de ces relations linéaires pour éliminer les systèmes premiers qui ne seraient j)as distincts des autres.

On en conclut aisément que le nombre des intégrales d'un système fermé quelconque et, en particulier, le nombre total des intégrales distinctes appartenant à un p- ion, est toujours un inultijile de p.

Examinons maintenant les relations entre les périodes. Soit

Kl ;Sa~'j — K(s3^') = we;.

S appartenant à ( i' et

si X = 7 X,t',. Quels sont les nombres complexes X [lour lesquels on a

coX = Il '.'

1° Je suppose d'abord que wX reste nul quelle que soit Viiitègrale K pour une substitution S donnée de G'; on aura

(oV',= K'i ;S7-i) — K'(CT-I),

et, si r(ui prend K'(c) = 1v(-*a' ),

(■/ «; = K ( ;î S ar ' a;;: ' ) = I\ i c 7- ' 3^ ' ) = w t'y; Cj^ to'X =^X,(we<e,) = (ocA-X.

Comme on doit avoir w'X = o, ou aura

WC'/. X =; n.

et, par conséquent,

(ij Y\ = o,

quel que soit le nombre complexe Y'.

Les nombres \ fornteroni un sous-système semi-invariant à gauche.

2° Je suppose que 'si\ reste nul pour une intégrale K donnée pour toutes les substitutions S de tj'.

Alors

SUR l'intégration algébriquiî des équations linéaires, etc. iSg

Mais, G' étant un sons-groupe invariant, on a

S' ap[)arlenant à (i', d'où

,X,[K(3S'aT')-K(3ari)].

Or nous pouvons poser

fjj' étant une période telle que. d'a|)rès notre hypothèse, oj'X soit nul; on aura donc

Donc wc/i et wXY seront nuls, Y étant un nombre complexe quelconque. Les nombres \ for/ncroiil un sous-système semi-im (triant à droite.

Les nombres X pour lesquels wX = o pour toutes les intégrales K(::) et pour toutes les substitutions S formeront évidemment un système invariant; ce système nous est déjà connu, [>uisqu'il est formé de tous les />" ions de la première sorte.

Nous avons vu au paragraphe 3 qu'au groupe H se rattachent deux groupes linéaires remarquables; étudions ces deux groupes de la façon que nous avons expliquée à la fin du paragraphe o et d'abord le groupe des transformations à coefficients entiers que subissent les périodes.

Il s'agit de rechercher les relations de la forme wX = o, qui sont vraies pour toutes les intégrales lv(;) et ])our une substitution S donnée; d'après ce que nous venons de voir, les nombres \ formeront un sous-sjstème invariant à gauche, compreniinl d'abord tous les/;- ions de la première sorte et comprenant encore d'autres nombres complexes.

De plus, on peut supposer, vu la nature du groupe, que tous les nombres X sont entiers.

Convenons donc de dire qu'un ensemble de nombres complexes entiers forme un sous-système entier semi-invariant à gauche quand tout nombie du sous-système multiplié à gauche par un nombre entier quelconque du système total fait encore'partie du sous-système. Alors les nombres X formeront un sous-système entier semi-invariant à gauche.

i6o SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

Il est clair que, si l'on considère un p- ion et tous ses conjugués, leur ensemble formera un sous-syslème invariant, et que les nombres entiers de ce sous-système formeront un sous-système iinariant etiticr. Les sous-sjslèmes invariants entiers formés de cette façon avec les /)- ions de la première sorte feront évidemment partie du sous-système des nombres X, mais ce soussystème comprend encore d'autres nombres complexes.

Ce sous-système des nombres X jjeut être décomposé en sous-systèmes semi-invariants entiers premiers^ si j'appelle ainsi les sous-systèmes semiinvariants entiers qui n'en contiennent pas d'autre plus restreint.

Comment peut-on former les sous-sj'Stèmes semi-invaTiants entiers premiers? Considérons un sous-système semi-invariant premier non entier; soit i ce sous-système, il appartiendra à un certain/?- ion II et se composera dey* nombres distincts (si p est l'ordre de H).

Soient i', — ", ... les sous-systèmes conjugués de i (au sens arithmétique donné plus haut à ce mot). L'ensemble des systèmes -, i', i", . . . furmcra un nouveau sous-système semi-invaiiant qui (à l'inverse de ce qui arrive pour chacun des systèmes partiels i, i', • . • ) contiendra des nombres entiers. Le> nombres entiers de ce système formeront un sous-système semi-invariant entier que j'appelle -^.

Voici comment on peut former les nombres de ce sous-système. Soit X un nombre de 1, dont les coefficients X, seront les fonctions rationnelles de la quantité algébrique Ç envisagée plus haut; soient X', X", ... les nombres conjugués de X, où Z est remplacé par Ç', Ç', .... Soit ensuite R une fonction rationnelle quelconque de ï; soient R', R', ... les fonctions correspondantes de ;', Ç', .... Le nombre complexe

(\) = XR — X'R'-v-X"IV'--...

sera rationnel et, en le multipliant par un entier orijinaire convcnaiile, on obtiendra un nombre entier complexe. On obtiendra de la sorte tous les nombres du sous-syslème ^,.

Maintenant, ce sous-syslème entier est-il premier? Il me sullît, pour le décider, de chercher si, en multipliant à gauche un nombre entier quelconque du sous-syslème par un nombre complexe convenable, on peut retrouver un nombre entier quelconque du sous-syslème.

Nous pouvons toujours supposer que tous les p- ions conjugués de H sont distincts.

SUR l'intégration ALGÉBRIQIE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l6t

Dans ce cas, tous les nombres X, X', X ', . . . appartiennent à des p^ ions distincts. Soient alors Y et Z deux nombres appartenant au même sous-système que X; soient S et U deux fonctions rationnelles de Ç; soient \\ Y", . . ., Z', Z", . . ., S', S", . . ., Ll', L'", . . . leurs conjugués. Les nombres Y et X' appartenant à desy^^ ions différents, les produits tels que YX' seront nuls.

Gela posé, considérons les nombres complexes

(Y) = YS H-Y'S'-r-Y"S"-^..., (Z) = ZU -f- Z' U'-f- Z"U"-H. . ..

On aura alors

(YX) = YXRS — Y'X'R'S'-+- Y"X"R"S" + . . ..

Or, le sous-système semi-invariant dont l'ail partie X étant premier, on peut choisir Y de façon que YX ou YXRS soit égal à un nombre quelconque du sous-SYSlème; nous supposerons donc

YXRS = ZU,

d'où, en changeant Ç en Ç', t' , . . . ,

et enfin

Or, (Z) et (X) sont deux nombres quelconques du système S,; on peut néanmoins trouver un nombre (Y) qui, multiplié par (X), reproduise (Z). Donc notre sous-système est premier. c. q. f. n.

Ces considérations suffisent pour nous faire comprendre l'origine et la nature du groupe linéaire à coefficients entiers dont il s'agit.

Passons à l'autre groupe : quand on change ; en ;(7,, les intégrales de première espèce lv(;) subissent une substitution linéaire: nous avons posé

K(cc7Ti,= \<{z)eu K(=)X=2x,K(3)e,.

L'élude du groupe en question revient à chercher les nombres X tels que K(^)X = consl.: nous avons vu que ces nombres forment un sous-système semi-iuvariaut à droite: ce sous-système comprend d'abord tous les/j- ions de première et de deuxième sorte, puis un certain nombre de sous-systèmes semiinvariants premiers contenus dans les/;- ions de la troisième sorte.

On s'étonnera peut-être que ce sous-syslème soit semi-invariant à droite, puisque nous avons vu à la lin du paragraphe o que les nombres complexes X H. P. - III. "

l6'2 SUR l'intégration ALGÈBKIOl'K DES ÉQIIATIONS LINÉAIRES, ETC.

qui servent à la définition d'un gioiipe doivent furnier un sous-syslème semiinvariant à gauche.

Il est aisé de voir d'où vient la dlfTi'rence. Supposons (ju'on ait posé

K(jc,) = (lv)f,. {K)\ =^ Y,(.lv)e,.

Nous nous >erions retrouvés dans les mêmes conditions qu'à la fin du paragraphe 5, et les nombres Y auraient dû former un sous-système semi-invariant à gauche. C'est, en effet, ce (jui arrive. Nous avons

On aura donc (K.) Y = K (s)X si

Soit maintenant

il est aisé de \oir que Y' =::e^.\, ce (pii prouve (jue si les \ furmenl un soussystème semi-invariant à droite, les ^ formeront un sous-sjsième semiinvariant à gauche.

A la fin du paragraphe 3, nous avons été amenés à considérer certains nombres que nous avons appelés 6, et avec lesquels nous avons formé un dét(,'rniinant de groupe. Ces nombres devaient être choisis de telle façon que ce déterminant s'annule ainsi (pic ses mineurs pisrpi'à un certain ordre. Nous avons distingué ensuite deux cas suivant que les sommes ^ AJv (rc-, ' ) se réduisaient ou non à des constantes quelle que soit l'intégrale i\ choisie.

Je dis maintenant que les deux cas peuvent se présenter. Et, en cllet, pour que notre déterminant s'annule ainsi que ses mineurs des premiers ordres, il suffit. |uir exem[)le, cpie le nombre 7 b,r', appartienne à un /t- 1011. Alors le premier cas se présentera si ce p- ion est de la première ou de la deuNième sorte, et le second cas si le y' ion est de la troisième sorte.