VII. — Application à l'exemple du paragraphe IV
Reprenons l'exenqjle du ])aragraphe i, où le groupe II se composait de 168 substitutions. Ces 1G8 suljstitutions se réparllssent en six classes (en grou-
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panl dans la inéinu classe la substitution o-,- cl ses Iransfornices u): ' o-, u^ ) ; je
désignerai ces six classes par les lettres E, P, Q, R, S, Sj :
l^a cinsse !i coiii|)iL-iiilr;i i siilisliliiliou do période 1 ( sidj-liliil ion idciui(iiic ï, ).
Il o il y '^ » 7
» R » "iii 11 3
Il S; " . il II J.
Désignons alors par les lettres
les nombres complexes obtenus en faisant la somme des unités complexes correspondant aux diverses substitutions de la classe désignée par la même lettre. Ces six nombres seront commulables.
D'après M. Frobenius [loco citalo {Die Grupjieiicltaraclere), in //«e], le système des nombres complexes se décompose en six p- ions; chacun de ces /;- ions contient un nombre cominutable et un seul, et ce nombre suffit jiour le caractériser, puisque tous les autres nombres du p- ion s'obtiennent en le multipliant jiar un nombre complexe quelconque. Nous avons donc six nombres commulables remarquables que j'appellerai
a,= E -+- P + Q -H H -I- S -^ Sî,
0(3= 3K + T P — ï'Qt S — s.,,
On a, comme au paragraphe i,
Je désignerai les sixyy- ions par les mêmes lettres que les nombres comnuitables correspondants et je trouverai que :
lioiir
pOlll'
pour
pour
(il
pour
pnin
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On voit que les nombres i-omimilnbles oc,, aji «sj «c sont rationnels, que les nombres u^ et a, contiennent l'irrationalité y* — 7 et sont conjugués. Il en est donc de même des^- ions correspondants.
Nous savons qu'il y a trois intégrales abéliennes de première espèce et six intégrales de première et de deuxième espèces distinctes (c'est-à-dire telles qu'aucune de leurs combinaisons linéaires n'est algébrique).
Je vois d'abord que le p- ion c, est de première sorte, car il ne contient qu'un nombre a, qui est la somme de toutes les unités complexes, de sorte qu'on aura
si donc
on aura, en appelant ji . joi • ■ • , Xm les diverses déterminations de )-,
R étant rationnel en r, de sorle que P(;, a)», sera algébrique.
Je dis que les p- ions :zo, a^, «^ ne peuvent être de la troisième sorte, sans quoi le nombre des intégrales de première espèce serait, pour a..,, un multiple de 7, pour a.-, un multiple de 8, pour ac un multiple de 6, ce qui est impossible, puisque le nombre tolal des intégrales de première espèce n'est que de trois.
Comme il faut qu'il v iiit au moins un p- ion de la troisième sorte, ce ne |)ourra être que ^3 ou a., ; ils ne pourront l'être tous les deux, sans quoi il y aurait au moins trois intégrales appartenant à X;,, au moins trois à y.,, en tout au moins six et il n'y en a que trois.
1-,'uii des deux//- ions est iIduc île troisième sorte; l'aMlr-e ne jieut être do la première sorte, car si un /*- ion est de la première sorte, il en est de même de tous ses conjugués; 4I sera donc de l,i deuxième sorte.
Le nombre des intégrales de première et de deuxième espèces qui appartiennent à x.i est un multiple de 3 ; de même pour celles qui appartiennent à «1 Le nombre de ces intégrales qui appartiennent à xj et à «.., est donc au moins six et, comme le nombre total est six, il faut couclure que tous les autres p"^ ions sont de la première sorte.
En résumé, sur nos six p- ions, ([ualre sont de la première sorle, un de la deuxième et nu de la troisième.
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