TT'=T"I

Il pourrait aiiiver que le giou|)e G" ainsi défini se réduisît à la substitulicm identique, mais cela n'arrivera pas si G' est un groupe fuchsien de genre > o.

Soient T, , T^, ..., T^ les substitutions de G" qui correspondent à S,, S^, . . . , Sg; à S correspondra dans G' une substitution

où «1 est la somme des exposants de S, dans la combinaison S, etc.; à

i66 SOR l'intégration algébrique des éqbations linéaires, etc.

S'= 0-"' s (7 correspondra

OÙ |3| esl la somme des exposants de Si dans la combinaison S', etc.

Il est aisé de voir que les (3 sont des combinaisons linéaires des a. A chaque substitution s, de H correspondra donc une transformation linéaire à coefficients entiers dont Venscnihlc formera un groupe isomorphe à If. Voilà la sigaificalion de ces groupes linéaires à coefficients entiers.

Faisons en passant une autre remarque; tout groupe fini contenu dans le groupe linéaire consen'c une forme quadratique définie positive, ou bien une forme à indéterminées conjuguées.

Supposons en elTel d'abord que le groupe soil réel, c'esl-à-dire que toutes les sul)>tltutions du groupe aient leurs coefficients réels. Soient Xi une forme linéaire quelconque de nos n variables, Xj, X3, ..., X^ ses transformées: alors le groupe conservera la forme quadratique définie positive

qui ne peut être identiquement nulle.

Supposons que le groupe ne soit pas réel ; soient (1 ce groupe, x, , x-,, ■ ■ . ■ x„ nos variables indépendantes: soit alors (i„ un groupe imaginaire conjugué du précédent portant sur les variables x", x", .... x" imaginaires conjuguées des x.

Soil alors X, une forme linéaire quelconque des .r: soient Xo. X^, . . ., X/, ses transformées par le groupe G ; soit X" une forme linéaire des .r„, imaginaire conjuguée de X,: soient Xj, X°, ses transformées parles substitutions correspondantes de (io- Alors la forme à indéterminées conjuguées

sera invariante.

Soient }', et z; les parties réelle et imaginaire de a:,: alors G pouria être regardé comme un grou])e réel portant sur les 2n variables )- et ;, et F sera une forme quadratique définie de ces 2« variables, de sorte qu'on est ramené au cas précédent.

Cette remarque bien sim|ile pourrait peut-être siuiplifier l'applicatidii du théorème de M. Jordan: elle ramène en effet la recherche des groupes finis contenus dans le groupe linéaire à l'étude géométrique de ht di\ ision régulière d'une s|)hère à plus de trois dimensions.