FAITE PAR LUI-MÊME
Acfa mat/iematica, t. 30, p. 90-92 (i(|i3).
On vient de voir comment mes recherches sur l'algèbre m'avaient amené à m'occuper des groupes continus. C'est ainsi que j'avais montré (') le lien qui unit ces groupes aux nombres complexes : j'avais énoncé à ce sujet un tlïéorème dont, détourné par d'autres travaux, je n'ai jamais publié la démonstration, mais qui a été depuis démontré par M. Study.
Je me suis servi également des groupes continus dans un travail relatif aux géométries non euclidiennes (-).
Mais ce n'est que beaucoup plus récemment que j'ai abordé la théorie générale de ces groupes.
Lie avait démontré au sujet de ces groupes trois lliéorèmes fondamentaux. D'après le troisième de ces théorèmes, il existe toujours un groupe qui admet des équations de structure données pourvu que ces équations satisfassent aux conditions jacobiennes.
Lie a donné de ce théorème deux démonstrations. La première s'applique seulement aux groupes qui ne contiennent pas de substitutions permutables à toutes les autres substitutions. Elle ne laisse rien à désirer au point de vue de la simplicité. La seconde s'applique à tous les groupes; elle est beaucoup plus indirecte el plus compliquée.
Je me suis proposé de donner de ce troisième théorème une démonstration
(') Comptes rendus de l'Ac. des Se, Paris. I. 99, 1884. p. -/^<i-~^3. (-) Bulletin de la .Société math, de France, t. l.î, 1887, p. 20,1-516.
l68 GROUPES CONTINUS.
directe et simple, applicable à tous les cas. J'y suis parvenu (178, 274) grâce à l'emploi d'une notation symbolique très abrégée.
Je dois dire quelques mots sur le caractère de cette démonstration. Etant données les équations de structure, c'est-à-dire les règles de la composition des substitutions infinitésimales, j'ai cherché à en déduire les règles de la composition des substitutions Unies. Or ces règles s'expriment par des séries infinies; i'ai reconnu que ces séries pouvaient se sommer par des formules où n'enti-ent pas d'autres transcendantes que des exponentielles.
Je me plaçais ainsi au point de vue formel, en introduisant des formules qui, faisant complètement abstraction de la « matière » du groupe, sont également applicables à tous les groupes isomorphes. Mais ces formules elles-mêmes nous font connaître les transformations que bubissent les paramètres qui définissent une substitution du groupe lorsque l'on compose cette substitution avec une autre substitution du groupe. Ces transformations forment un groupe isomorphe à celui une l'on proposait de former; ce groupe porte le nom de groupe paramétrique.
Nos formules nous permettent donc de former effectivement ce groupe |iaramétrique. Ainsi non seulement elles démontrent l'existence d'un groupe de structure donnée, mais elles donnent le moyen de le former effectivement. Lie avait démontré que la formation d'un pareil groupe pouvait se ramener à l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires. J'ai fait voir que non seulement on pouvait sans intégration former les substitutions infinitésimales du groupe, mais que dans le cas le plus défavorable, la formation des substitutions finies pouvait se rauiener à une simple quadrature.
Dans le cas particulier auquel s'appliquait la première démonstration de Lie, les formules auxquelles on parvient sont assez simples, moins simples toutefois que celles de Lie. En tout cas, elles sont différentes et l'on ne voit pas immédiatement comment on peut passer des unes aux autres. La comparaison des deux sortes de formules n'en est que plus instructive. Elle nous fait retrouver un certain nombre de théorèmes de KlUiug. L'étude des formules obtenues Qous fait d'ailleurs, même dans le cas général, retomber sur ces mêmes théorèmes.
