SUR UN TUKORKMK DE M. FUCHS. I

une surfaci' de Riemann S variable avec :. Je dis que les modules de celle surface S seront constants et indépendants de :.

En effet partons df la valeur initiale ;o de ;, à laquelle correspond une certaine surface de Riemana So- Soient r„ et )|, les valeurs initiales d'une certaine intégrale de l'équation (A) et de su dérivée; le point analytique ( jo, ,)'i, ) appartiendra à la surface S„.

Allons ensuite du point r,, au point c■^ en sui^'a/il un ctieniiti déterminé. Lu surface de Riemann. ([ue nous avons appelée S et qui pour ; -— ;„ se réduisait à S„, variera avec ; et \w\\v z^=z^ se réduira à S,. Pour c ;= ;i, l'intégrale considérée et sa dérivée se réduiront à Ki et r, elle poini analytique ()i ,)', ) appartiendra à la surface S,.

Faisons maintenant varier sur la surface S^ le point unalytique ( ) „, ) „) qui définit les valeurs initiales correspondunl à l'intégiale envisagée, mais conservoyis des \aleurs invariables à ;„ et à ;, et ne faisons |)as varier non plus le cliemin (iLii mène de ;„ à ;|. Dans ces conditions, les surfaces Su el S, ne varieront pas, mais l'intégrale considérée variera et dépendra des valeurs initiales )•„ et rîi que l'on aura choisies. Pur conséquent Vi et y\ seiont des fonctions de )■„ el de }'„.

Je dis que ce seront des fonrtinns uniformes et continues du point unaljti([ue ( )o, l'i,). En effet si l'on se donne les valeurs initiales v,, et ) |,, l'intégrale qui correspondra à ces valeurs inili les seru entièrement délerminée. Celte intégrale considérée comme lonclion de c, peut jirendre pour c = ;, des valeurs différentes. Mais parmi elles, il y en a une, qui est celle que nous avons aijpelée )'i et qui est celle que l'on oblient en allant du poiiil ;„ au point z^ par le chemin particulier que nous avons choisi. Celte valeur r, ainsi définie est parfaitement déteiminée. C'est donc une fonclion uniforme du |Miint analytique ( )-u, y\).

Culte fonction uniforme pourrait toutefois être discontinue. Voyons comment cela pourrait arrivei', par un exemple sinqjle. Reprenons l'équation

; (/; -t- ;' ily = o

et son intégrale

Soient ;„= o, ;, = i el allons du poiiU >.> au point i par la droite cpii joint ces deux points. 11 viendra

12 SI n IN TiiEoiiKMi; IIP; .m. ficus.

et

.1-, = ± ^V-— I =± \/vg— 1.

Ainsi Vi est exprimé en fonction de }'„. Il irste toutefois pour le délinir complètement à décider >i l'on doit prendre le signe + ou le signe — . Supposons d'abord que la p^irtic imaginaire de lo soif positive. Posons

■ij«= ('^ 7) <-o^z-^,-(/—j)-\nz.

t et o étant des quantités réelles et telles que

Cela est toujours possible et d'une seule manière, sauf une exception dont nous parlerons plus loin. 11 viendra

* V>o— '=± |('"~ 7) "''■'r-^'i^l-^ jj ^'"yJ-

Cela posé, pour déterminer le signe qu il faut prendre, faisons \aiier :: de o à 1 , en suivant la droite qui joint ces deux points. Nous écrivons'

v.J'fi= H' -(- — ] c ^'l -h il II — — j siii'i/

■l devra se réduire ù o et 11 i\ t pour ; = 1 . Il viendra

2 \'yé—5-=± ("— ^jcos'i-^ (■/»-!- ^j -m'A

et comme celte expression devra se réduire à 2 )„ pour ; = o, il taudia prendie le signe + et il viendra

s Ml ; .

Cette expression n'est pas une fonction continue île lo- Soit en effet

£ étant infiniment petit. Les deux valeurs de 2 )„

(I -!- c H I coso -H (' ( I -;- : — )sinc = ac«so — iiif. imiIi

et

li-hî-^ 1 cos( — z,) -h i ( i -i- i I sln( — ç) = -2 cosi — iiif. pelil

suit IN THÉORÈME DK M. FUCUS. l3

sont infiniment voisines, tnnilis que los valeurs correspondantes de .ty,

-;-jr„.. + ^(,^. + -^)

siiiw = ■> (' siii 9 4- iiil'. |pclil

el

+- £ \ ro^i — - I -f- H i -t- ï - - ) >in(' — 3 1= — ^ ?. (' siuo + iiif. pol il

ne sont pas iaflninu'iit voisines coiiiinr elles deviaieni l'être si j-, élail fonction continue de ) „.

A quoi tient ce l'ait? Supposons que jo soit réel et compris entre — ^ i et + i. Alors il faudra prendre t = i. Et pour l'angle 9 nous aurons deux valeurs distinctes satisfaisant toutes deux à la condition

cosç = J'o-

D'ailleurs rien dans les hypothèses faites jusqu'ici ne nous permettra de décider entre ces deux valeurs de 9 qui conduisent 'pour \-, à deux valeurs égales et de signe contraire. Rendons-nous compte de la raison d'être de celte anomalie. Supposons que nous ayons donné à >o une valeur réelle comprise entre — i et -f- 1 . L'intégrale correspondante

y = V^ii — -= présentera un point de ramification

situé sur la droite qui joint le point :; = o au point .: = i , c'est-à-dire sur le chemin même que nous sommes convenus de suivre pour aller du premier de ces points au second. Quand la variable ::, en suivant ce chemin, aura franchi ce point de ramilicatiou, rien dans les hypothèses faites ne nous permetira de décider quel signe il faut attribuer au radical y/rj; — •:'•

.le suis entré dans d'assez longs détails sur ce cas simple et j'espère avoir fait CDinprendre comment y, pourrait être une fonction discontinue de ) „.

Cela arriverail si l'un des points du chemin que nous suivons pour aller de zo à :, était un point de ramification pour l'une des intégrales. Mais rien de pareil n'est à craindre dans le cas (|ui nous occu[)e. Nous avons supposé en effet que les points de ramification étaient les mêmes pour toutes les intégrales et par conséquent qu'il ne pouvait y avoir de points de ramification des intégrales que pour certaines valeurs particulières de .:.

l4 SUR l'N THKOIIKME III', M. FI I IIS.

Or nous aurons toujours pu clioisir le chemin qui va de z-o à :, du lelle sorte qu'il ne passe par aucune de ces valeurs particulières.

Donc )■, esl une fonction uniforuic et continue de )o et i,,.

11 est aisé de voir que leLte foiiclion na d'iiulies singularilés cpie des pôles (' ).

Donc )'i esl une fonclion rationnelle de ;•„ et ) |,.

Pour la même raison, )', esl une fonction rationnelle de ) ,, et i „ ; et de même )o pI Y,, sont (les fonctions rationnelles de Vi Pi,)',.

Donc on piMit passer de So à S, p.ir une irausforinalion IpiiMtionnelle.

Donc ces deux surfaces de Rieinimn <inl mêmes modules.

Donc Ir.'i modules t/c lii suvfuce S soûl indrpciuUints de z.

c. Q. r II.

C'est le résultai (pie nous avions (dilenii plus liant pour le cas de p = ] c\ (pii esl étendu ainsi au cas général.

Pour pousser plus loin cette élude, il est nécessaire de dire (|uelques mots des transformations l)iralionnelles des surfaces de Riemann en elles-mêmes.

Une surface de genre o peut se transformer en elle-même par une infinité de tiansformalions hiialioniudles formnni un groupe ('Onlinii ,"t trois paramétres. Soient en ellel (5) /(./■. 1-1 - (>

une relation algébrique de genre o et S la surface de Riemann correspondante,

on peut poser

o et <\i étant ralioniiels |el I s'exprimanl ralioniKdlement en x, ) |. Si ensuite on prend

X, (i, V et 0 elanl des conslanles (pielconqiies, puis

.r' et ) ' seront fonctions rationnelles de .f et r el réci|iroqtiemenl, on aura ainsi une lri|ile infinité de transformations hiralionnelles de la surface S en ellemême.

Les iransformations birationnelles d'une surface de genre i en elle-même

(' ) Vnir aux Notks.

SIR IN THKORKMI. DK M. IITH*. 15

formeiil encore un gToii|n' conlinu, mais ce groupe ne conlicnL plu^ qu'un seul paramètre. Supposons en effet que la relation (5) et par conséquent la surface S soit de genre i et non plus «le genre o. Nous poserons

9 el 'i> étant des fonctions douliliMiicnt périodiques avec les périodes m et w. Soient

un autre système de valeurs satisfaisant à la relation (5) el supposons que x' et y puissent s'exprimer rationnelleuient en .r et y, et réciproquement. On verra :

i" Que t' est une fonction entière de /; 2° Que t est une fonction entière de t' ; 3" Que l'on a entre t et /' une iclation de la forme

y., p et y étant des constantes;

4" Que lorsque / augmente d'une période, /' doit augmenter aussi d'une période et réciproquement. Si p;ii- cxoinple / augmente de ',), (' devra augmenter de niu-j- ri'W . m et /( étant des enliei's. Il vient donc

ao) -I- '^j{ 1)1 oj H- /( w' I = ()

et de même

ïo)' -+- 'it m'o> -J- rt'o)' ) = o,

3t 1 «i 1 (O -H « I t.j' ) + poj = o,

ai i)i\ O) + ri\ w' ) + [jO)'= o.

Les deux dernières équations sont des conséquences des deux premières pourvu que l'on suppose mn' — m' /i = i . Celle condition est d'ailleurs nécessaire pour que les quatre équations soient compatililes. Nous remplacerons donc nos quatre équations par les trois suivantes :

I» li — //(';; = 1 .

Ces équations peuvent être satisfaites de trois manières :

1° En faisant

d'où

l6 SUR UN THÉOHÈME DK M. FICUS.

On esl ainsi conduit à une intinité de transformations de la surface S en ellemême, dépendant d"un seul paramètre •/ et formant un groupe continu.

■j." Le rapport - esl donné par l'équation