I. — Introduction

La théorie des groupes continus, ce titi-e immortel de gloire du regretté Sophus Lie, repose sur trois théorèmes fondamentaux.

Le premier théorème de Lie nous apprend comment dans tout groupe continu il y a des substitutions infinitésimales et comment ce groupe peut être formé à l'aide des opérateurs

x(./-. = ^^xo^.

Considérons r opérateurs de cette forme

(0 x,(/). \,(f), •••• Xr(/);

et convenons de poser

D'après le second théorème de Lie, si les symboles (X^X/,) sont liés aux opérateurs X,- par des relations linéaires de la forme

{■i) (X,-Xa.) = i;f,/,,x,.

où les c sont des constantes, les /■ opérateurs (i) donneront naissance à un groupe.

Les relations linéaires (2) pourront s'appeler relations de slructure puisqu'elles définissent la « structure » du groupe qui dépend uniquement des constantes c.

C'est le troisième théorème de Lie qui attirera surtout noire attention. Quelles sont les conditions pour qu'on puisse former un groupe de structure

donnée, cV'Sl-à-dire trouver r opérateurs X,, X2, ..., X,- satisfaisanl à des relations de la forme (2) dont les coefficients c sont donnés?

On voit tout de suite que les coefficients c ne peuvent êUe choisis arbitrairement. On doit d'abord avoir

Ensuite, d'après la définition même du svnibole (X,X/f), on a identiquement

d'où résultent entre les c certaines relations connues sous le nom d'iclc/itilàs de Jacobi (').

Une condition nécessaire pour que l'on puisse former un groupe de structure donnée, c'est donc que les coefficients c satisfassent à ces identités de JacoV>i auxquelles il convient d'adjoindre les relations (.3).

Le troisième théorème de Lie nous enseigne que cette condition est suffisante.

Four la démonstration de ce théorème, nous devons distinguer deux familles de groupes.

Les groupes de la première fninille sont ceux qui ne contienneni aucune substitution permutable à loutes les substitutions du groupe.

Les groupes de ht deuxième faniille sont ceux (jui contienneni des substitutions permutables à toutes les substitutions du groupe.

En ce qui concerne les groupes de la première famille, la démonstration de Lie, fondée sur la considération du groupe adjoint, ne laisse rien à désirer par sa simplicité.

En ce qui concerne les groupes de la deuxième lamille, Lie a donné une démonstration eatièremeni différente, beaucoup moins simple, mais (pii permet cependant de former les opérateurs \,(/) pur l'inlégralinn d'c'quations différentielles ordinaires.

Dans une Noie récemment insérée dans les (omplis rendus de V Icadèmie des Sciences de Paris, j'ai donné une démonstralion nouvelle du troisième théorème de Lie.

Les résultats contenus dans celle Note étaient moins nouveaux ipie je ne le croyais quand je l'ai publiée.

D'une part, en efi'et, Schur avait, dans les lierichte der A. siic/isisc/icn

') L'iileiililé ( iJ i-st riilirililc de Jaccbi; les ruhiliiiii^ i/rjtir lis c f|ui en icMillrnl sont dues S. Lie. J. 11.

Gesellschaft der Wissritscliaflen 1891 el daas le tome il d>is Malhematisclie Annalen, donné du tliéurème en (luostion une déinonstralion entièremeul différente de celle de Lie.

Cette démonstration présente la |ilus grande analogie avec celle que je \\ro- [jose; mais elle n'a [jour ainsi dire pas été poussée jusqu'au bout. Comme le fait remarquer Engel, le résultat dépend de séries que Schur forme et dont d démontre la convergence; au contraire Lie ramène le problème à l'intégration d'équations dilFérenlielles ordinaires.

Je suis arrivé comme Lie lui-même à des équations différentielles ordinaires qui même sont susceptibles d'être complètement intégrées.

D'autre part. Campbell a donné sous une autre forme quelques-unes des formules auxiliaires qui m'ont servi de point de départ {Pruceedings of tlie Londoii Mat/temalical Society, tome 28, page 38i et tome 29, page 612).

Il m'a semblé néanmoins que cette Noie contenait encore assez de résultats nouveaux pour qu'il y eût quelque intérêt à la développer.

Je ramène en effet la formalion d'un groupe, de structure donnée, à l'intégration d'équations différentielles siuiples, intégration qui peut se faire en ternies linis.

Ces équations sont moins simples (^ue celles que Lie a formées pour les groupes de la première famille; mais même dans ce cas, il peut y avoir intérêt à les connaître, car elles sont d'une forme différente et ne s'en déduisent pas immédiatement.

De plus elles sont applicables aux groupes de la deuxième famille et dans ce cas elles nous fournissent une solution du problème plus simple que celle de Lie.