II. — Définition des opérateurs

Soit /' uni' fonction quelconque de n variables Xi, Xj, . . . , .r„. .Suit X un opérateur qui ihange / vn

où les (X,) sout n fonctions données des /; variables x^, x.>, . . ., x,,, de sorte que

Soient \, Z, etc. d'autres opérateurs analogues de telle façon qui;

\(f) = -L(\/^AL, Zif) = za,)ÉL, ...,

auj ti.ij

les (Y,), les (Z,), . . . étant d'autres fonctions de x,, x^^ . . . , x,f Dans ces conditions

X--(/) = X[X(/)]. XV(/) = X[V(/)]. X=Y(/) = X[XY./jl. XVZ(/) = X[VZ(/)], ...

seront des combinaisons linéaires des dérivées partielles des divers ordres de la fonction y, multipliées par des fonctions données des Xi.

Ainsi se trouveront définis de nouveaux opérateurs X^, XY, X'' ^ , XYZ, . . . , qui sont des combinaisons des opérateurs simples X, Y, Z, .... On voit que ces produits symboliques obéissent à la loi associative, mais n'obéissent pas, en général, à la loicommulative, déserte queXYne doit pas être confondu avec YX.

Ces opérateurs sont ainsi symboliquement représentés par des monômes; mais on peut définir des oj)érateurs qui seront symboliquement représentés par des polynômes tels que

i-^aX, a\~b\, «Xî-i-2/^XY ^cV^

en convenant d'écrire par exemple

On voit que les polynômes opérateurs ainsi définis obéissent à la fois à la loi associative et à la loi distrlbutive, de sorte qu'on aura

( a X -T- 6 Y ) ( p X + rf Y j = ne \'- + adW -+- bi: YX :- b,l \\

et en j)articulier

( \ fY)== X= XY-f-YX-4- Y^

expression qu'il ne faut pas confondre avec X-+2XY + Y-.

On peut aussi introduire des opérateurs qui seront représentés .symbt)liqLiement par des séries infinies. Je citerai par exemple l'opérateur

/+ „(X + Y) (/) + .^f \ -:- Y)'(/) + «HX + Y)n / ) + ..., que je représenterai symboliquement par

[-a(X-.Y)] ^^^' ou plus simplement par

SI H LES GROl'PES CONTINIS. 1^7

el l'opérateur

ijue je représenterai par e*''(/) ou simplement par e'^^.

On peut se demander si l'emploi de ces opérateurs représentés par des séries est légitime et si la convergence des opérations est assurée.

Il y a des cas où cette convergence est certaine. C'est ainsi que Lie a démontré que

e'^{f)=ff.^\- ^'l, ■■■■ 3--'n).

OÙ les x\ sont définis par les équations différentielles

-jj =(\iMx\. x:, y„).

et par les conditions initiales

.r;= ,r, pour ? = o.

Les opér^iteurs définis par des séries symboliques obéissent évidemment aux lois distributive el associative, ce qui permet par exemple d'écrire des égalités telles que celle-ci :

Il j a aussi un cas où ils obéissent à la loi commutative. Soient

<I>(X) = Sa„X". T(Xi=i:6„X"

deux séries symboliques dépendant d'un seul opérateur élémentaire X.

On a alors

*( X,[>l'i \ m/i| = »l'iX)f<l)(X )(/)].

Les deux produits symboliques 0(X)>I'(X) et 1'"(X)<t(X) sont en effet des bonimes de monômes dont tous les facteurs sont égaux à \ . Si tous les facteurs sont identiques, il est clair que l'ordre de ces facteurs est indifférent et que les opérations sont commutatives.

Mais cela ne sera plus vrai si les séries symboliques dépendent de plusieurs opérateurs élémentaiies différents; il ne faudrait pas, par exemple, confondre

X'" Y" m ! Il .

avec

U. 1'. — 111. - ii