XY — Y

jouit de la même propriété que les opérateurs élémentaires, c'est-à-dire que

(XY-YX)(y)

est comme \(f), Y(y), etc. une combinaison linéaire des dérivées du premier ordre seulement de la fonction/ multipliées par des fonctions données des a;,. Nous supposerons que les opérateurs élémentaires et leurs combinaisons linéaires sont seuls à jouir de cette propriété. (Si cela n'avait pas lieu, nous introduirions parmi les opérateurs élémentaires tous ceux qui en jouiraient.) Nous devrons donc avoir des relations de la forme (I) XY YX = (XY),

OÙ (XY) est une combinaison linéaire des opérateurs élémentaires; nous reconnaissons là les relations de Lie, dites relations de slructuie

X,X,-X,X,= Sc,/,,X,.

Cela posé, deux polynômes seront équivalents lorsqu'on pourra lus réduire l'un à l'autre en tenant compte des relations (i).

Par exemple le produit (2) P[XY-YX-(XY)]Q

(où le premier et le dernier facteurs P et Q sont deux monômes quelconques) est équivalent à zéro; et il en est de même des produits analogues et de leurs combinaisons linéaires. Les produits de la forme (2) sont ce que j'appellerai des produits trinômes.

La différence de deux monômes qui ne diffèrent que par l'ordre de deux facteurs consécutifs est équivalente à un polynôme de degré moindre.

Soient en effet X et Y ces deux facteurs consécutifs. Nos deux monômes

s'écriront

PXYQ, PYXQ,

P et Q étant deux monômes quelconques, et leur différence

P[XY — YX]Q

sera équivalente à