T)=VA,X

uous voyons d'abord que les coefdcients hi sont des fonctions linéaires des t; ce sont d'autre part des fonctions dos b; étudions ces fonctions.

Si 4>(9) est un polynôme entier d'ordre jt> un 9, les /;,• seront des polynômes entiers d'ordre p par rapport aux b. Si donc •I*(6) est une série ordonnée suivant les puissances de 9, les /(,- se présenteront sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances des b. Nous allons voir bientôt quelles sont les conditions de convergence de ces séries.

Des équations (2) on tire en effet

d'où

<l.(e)(T;=S*(9i.)'î=</-(X<d'où enfin

h,= -S.tj^(%,,).y.a''?il..

Pour déterminer les produits y-ih^jk faisons

f étant une constante quelconque.

On a alors

où

Mais on a aussi

ce qui peut s'écrire

De ces équations on peut tirer les A eu fonctions des t et l'on trouve

où P,y est un polynôme entier par rapport aux b el à ;; (|uant à F(?), c'est le premier membre de l'équation (1 ) où 0 a été remplacé par ^.

Le second membre de ré([ualion (3) est une fraction rationnelle en l; décomposons-la en éléments simples; il viendra

où P^'j est ce que devient P,, quand on y remplace ; par 9^.

On a donc

d"où enfin, pour une fonction ^(5) quelconque.

U) *(0)(T) = X^4îi^^

On voit que les hi s'expriment rationnellement en fonctions des b, des 9/t et des $(5a).

La formule ( \) peut se mettre sous une autre forme; nous pouvons écrire

l'intégrale étant prise dans le plan des \ le long d'un cercle de ra\on assez petit pour que la fonction '!•(;) soit holomorplie à l'intérieur; nous le supposerons de plus assez grand pour que les points 9,, Bn, . . ., 0,- soient à l'intérieur du cercle. Cela nous amène à supposer en même temps que le rayon de convergence de la série *(;) est plus grand que le plus grand module des quantités ?|, 6o, .... S,..

On a alors pour lous les points du contour d'intégration

i?i>;9i;. i?i>iO:i. ■■•■ i?i>iOri,

d'où il résulte que la fonction rationnelle

lu

est développable suivant les puissances croissantes des b. Il en est donc de même des /i,-.

Nous avons dit plus haut que les Vi,- sont développables en séries procédant suivant les puissances des b; et d'après ce qui précède, il suffit, pour que ces séries convergent, que le rajon de convergence de la série 4*(5) soit plus grand que la plus grande des quantités

|0,|, 10=1, .... io.i.

Si donc 4»(ï) est une fonction entière, les /i,- seront des fonctions entières des b.

Qu'arrive-t-il maintenant si l'équation caractéristique

F(6) = o H. P. — III. iJ

a des racines multiples? Il est aisé de s'en rendre compte en partant du cas général et passant à la limite.

Je suppose par exemple que 0, soit une racine triple. Alors F(^) contient le facteur (t, — &i)'. Si je décompose le second membre de (3) en éléments simples, trois de ces éléments deviendront infinis pour 1 = 6,.

Soient

A'/' A'.!' Aif

Ç-0, ■^(Ç-0,r-"^(|-fli)»

ces trois élémenls simples. Alors il faudra, dans la formule (4), remplacer le terme

^?/p;/'i>io, ix,

(qui n'aurait jjIus de sens tlans le cas d'une racine multiple) par les trois termes

suivants :

2A';'X,-<I>(0|) — (i!)2A'j'X,<I)'(0,)4-(2!)SA';j\\,1>"(0,).

On opérerait de même pour les autres racines multiples.

Donc les /j,, dans le cas des racines multiples, sont des fonctions rationnelles des b, des 0^, des '^{0/,) et de leur.- dérivées ^'(0/,), <l>"(^/t), ... ; on pousse jusqu'à <S>^P\0/i) si 0/,- est une racine muliiple d'ordre p + i .

Remarquons que je n'aurais [)u faire ce raisonnement par passat;e à la limite, si je m'étais astreint dès le début à supposer que V est une combinaison linéaire des X, el que les \ sont liés par les relations (i) et (3) du paragraphe IV (relations de structure et idcmlités de Jarobi ).

Alors, en eli'el, les cas où l'équation caractéristique a des racines multiples ne pourraient plus être regardés comme des cas particuliers de ceux où toutes les racines sont distinctes. On aurait pu, il est vrai, démontrer directement la formule (4 bis) et se servir de cette formule; mais j'ai préféré ne pas m'imposer au début cette hjpolhèse restrictive, quille à l'introduire dans la suite du calcul, de façon à avoir le dioit de raisonner par passage à la limite.

Quoi qu'il en soit, le cas le plus intéressant au point de vue des applications à la théorie des groupes, c'est celui où celte hypothèse restrictive est satisfaite. Supposons donc que V soit une combinaison linéaire des X

-Supposons de plus que les X soient liées par les relations (i) du paragraphe

précédent

\ \ — \ \ — Sf • X

SUR LES GROUPES CONTINUS. igS

et que les constantes c satisfont à des relations telles que les identités (3) du paragraphe précédent aient lieu.

On aura alors

d'où

Les résultats, démontrés dans le cas général, seront évidemment encore vrais dans ce cas particulier: si donc on pose

les hi seront des fonctions linéaires des t, et des fonctions rationnelles des v^ des Qk, des <1»(9a) et de quelques-unes de leurs dérivées. Les 0^ sont les racines d'une équation algébrique dont le premier membre est un poluiome entier homogène de degré /■ par rapport aux v et à l'inconnue 0.

De plus les /(,■ dépendent linéairement des *I*(Û/;) et de leurs dérivées.

Si *!•(■;) esl une fonction entière de 5, les A, sont des fonctions entières des c.

Dans tous les cas, le symbole <I>(9)(T) se trouve entièremenl défini.

•le terminerai par deux remarques :

i" Si X(;) est le produit des deux fonctions 4»(^) et *I'^(Ç), on aura

2° Si l'on a

on au ta

Cette dernière égalité n'a de sens que si "I'(£) ne s'annule pas pour ^ = o, de

telle façon que -z—rs soit développable suivant les puissances de 0.