X- -+- p--¥- x'^j{'ii -r- II' ) = o

De plus ce rapport ne doit pas être réel (>1 on laisse de cùlé le cas cpie nous venons de traiter et celui que nous allons traiter plus loin), sans quoi le rapport —, serait lui-même réel. On devra donc avoir

(/« -T-«')î< 4, d'où

11 est aisé de déduire de là que le rapport — doil avoir une des valeurs

ki-

II, /., y., "/,', [j.' <'tanl des ealicrs lels que

à;jl' — Â'a = 1 /,■ ^ (a, 3, 4- f^- 9 "i' '" ' i n\»A \>. i.

Ce cas ne pourra donc se présenter que |iour certaines \aleurs |)arlicLilières du module de la surface S. Pour ces >aleurs, la surface S admettra, outre le groupe continu trouvé plus haul, une autre transformation dont la puissance 3% 4"^ ou 6" se coiilondra avec la transformation identique, ainsi que les diverses puissances de cette translormatiou et les combinaisons de ces puissances avec les diverses transformations du groupe continu.

■5° Ou peul enlin satisfaire à nos trois équations en f.iisaul

/=—/■, 2 = 1, [j = I . /» = // = — I . III-— n ^= O.

On rsl ainsi conduit à une transformation T de la surface S en elle-même. Si l'on appelle r une transformation quelconque du groupe continu trouvé plus haut, toutes les transformations birationnelles de la surface S en elle-im'me sont comprises dans l'une des formules

-. el -V.

11 n'y a d'exception que si le rapport —, prend l'une des valeurs (6). Les consi-

Sllt UN TllKOKKMK DIS M. Il l.fIS, 17

déralions qui précédent ne présentent aucune difficulté, jo les ai pourtant développées avec détail parce que j'ai Tintention d'appliquer une méthode tout à fait anidogue à la recherche des transformations des surfaces de genre p ^ \ .

Ces surfaces ne peuvenl être transformées en elfes-mêmes que d'un nombre fini de manières.

Ce théorème était soupçonné depuis longtemps, mais la démonstration a longtemps arrêté les géomètres. Elle a été trouvée il y a quelques années par M. Klein.

Voici en effet ce que ce géomètre me (it l'honneur de m'écrire à la date du :^ avril 1882 :

« Eine Reihe von Theoremen iiber algebraische Functionen beweist man vermoge der neuen rj Function soforl (fonction intimement liée aux fonctions fuchsiennes). Zum Beispiel den Satz, den ich in meiner Schrift iiber Riemann nur erst als vvalirscheinlich bezeichnete, dass namllch eine Flàche p > 1 niemals unendlich viele discrète eindeutige Transformationen in sich besitzen kann (vermoge deren sie in eine 00 Zahl àquivalenter Fundamentalpolygone zerlegt erscheinen wiirde). »

11 est facile de reconstituer dans tous ses détails la démonstration de M. Klein.

Reprenons en eilel la relation (5) et supposons que cette relation et par conséquent la surface S soient de genre/» > i . Nous poserons

cp(<) et '4'(0 étant des fonctions fuchsiennes dont le 'polygone générateur Rq aura ^p côtés, les côtés opposés étant conjugués. Tous les sommets formeront un seul cycle et la somme des angles sera égale à 27: [cf. Titèorie des groupes fiichsiens {Acta mathematica, t. 1, p. 28 et 42); et Mémoire sur les fonctions fuchsiennes {Acta mathematica, t. 1, p. 206 et suiv.)(')]. Cela est toujours possible [cf. Mémoire sur les groupes des équations linéaires {Acta mathematica, t. i, p. 272 et 276) {^)\. Soient

(') Œuvres de H. Poinraré. l. 2, p. 129-100 (Exemples III, IV), p. i '19, puis p. 111 el suivantes.

( = ) Œuvres fie H. Poincaré, t. 1, p. 363 et p. 368.

l8 SUR L'X THKOREMK DE M. FU(.HS.

et supposons que x' et )' soient fonctions rationnelles de x el de )•, et réciproquement. Qu'arrivera-t-il si l'on étudie t' comme fonction de <? En premier lieu, tant que l reste intérieur au cercle fondamental, l' est une fonction holomorphe de t.

De plus l' reste intérieur au cercle fondamental.

Réciproquement, quand /' reste intérieur au cercle fondamental, t est fonction holoniorphe de l' et reste intérieur au cercle fondamental.

Ou en déduit aisément (cf. Mémoire sur les groupes des équations linéaires, p. 281) (') que

la Mibstitulion

conservant le corcle fondamental.

Soit maintenant G le groupe des fonctions fuchsiennes 9(<) et '|(0- ^^- <^'* (ju'il cs\ permutable à la substitution c. Soit en effet r une substitution quelconque du groupe G : je dis que c^'Tff fera aussi partie de ce groupe. En effet, T faisant partie de (j, on aura

X = ?(/) = =(/.-). y = 'iù) = •]'('■-). d'où

R étant l'algorilhme dune fonction rationnelle quelconque. Dautre part on a, par hypothèse,

■'•■= ?('■'> = rîi[9<<): 'M/)]>

et de même

s( l.-.'i) = R,[ = (<.xl, -bi /.- 1]. ■{/(?. T. 7) = R.[9(?.-|, 'li t.- I |,

c^/tt) = s, «II. 'lii t~i) = iji 11 )

ou en changeant / en /t '

çi /Ï-' •:!) = 91 / ). il «s-'tu) = i}( /).

Donc la substitution 0- ' ro^ fait partie du groupe G. c. q. f. u.

Les substitutions linéaires permutables au groujie G et conservant le cercle

(') Œuvres de H. Poincaié, 1. 2. p. 325 el 337.

SLR t'N THÉORÈME UE M. Ft'CHS. 19

fondamental formenl un groupe G'. Ce groupe G' contient évidemment le groupe G; eu d'autres ternies G est un sous-groupe de G', et l'on voit aisément qu'à toute substitution de G', n'appartenant pas à G, correspomlra une transformation birationnelle de la surface S en elle-même.

Remarquons de plus que, d'après la définition même de G', G est un sousgniupe " distingué » [ou invariant] de G'.

Mais il y a deux espèce.-, de sous-groupes : les sous-groupes A' indice Jim (qui sont tels qu'on obtient toutes les substitutions du groupe principal, en prenant la résultante des diverses substitutions du sous-groupe et d'un nombre fini d'autres substitutions) et les sous-groupes A' indice infini.

Je me propose de démontrer que G est un sous-groupe d'indice fini, et par conséquent que la surface; S n'admet qu'un nombre fini de lransform;itions birationuelles on ello-méme.

J'établirai d'abord que G' est un groupe fuchsien, c'est-à-dire un groupe propremunl discontinu. En effet, s'il ne l'était pas, il serait ou bien continu (c'est-à-dire qu'il conlicndiait des substitutions infinitésimales), ou bien improprement discontinu [cf. Théorie des groupes kleinèens {Acla rnat/ienialica, t. 'A, p. 07) (')]•

i" îl ne peut être continu, car s'il contenait une substitution infinitésimale a, cette substitution serait pernuilable, non seulement au groupe G, mais à toutes les siibslitutions de ce groupe.

Soient en effet

les substitutions fondamentales de G. D'après les liypothéses faites, les substitutions

fffront également partie du groupe G. Mais ces sul)stitiitinns dilTérent infiniment peu de

puisque a est inlinitésimale. Mais le groupe G étant discontinu ne devra contenir aucune substitution infinitésimale, il ne pourra donc contenir deux substitutions distinctes, mais différant infiniment peu l'une de l'autre. Donc on a

-:,■= 0— 'T/T (i = \, i. . . ., ip). {') Œuvres de H. Poincaié. t. 2, p. 366.

•lO Mil UN TIIRORKME DK M. KUI'.MS.

Donc (7 est pei'imilable aux siibslluilious rondaineiitules de d; elle est donc permutable à toutes les substilulions de ce groupe, qui n'en sont que des combinaisons.

Mais je dis qu'on ne saurait trouver de substitution linéaire permutable à toutes les substitutions de G. En effet pour que deux substitutions linéaires i et 1' soient permutables, il faut et il suffit, ou bien qu'elles aient mêmes points doubles (les deux points doubles pouvant dans ceilains cas se confondre en un seul), ou bieri qu'elles aient toutes deux pour multiplicateur — i et que les quatre points doubles soient conjugués harmoniques.

Nous n'avons pas besoin de nous inquiéter de ce second cas de permulabilité. En effet une substitution infinitésimale ne peut avoir pour multiplicateur — i . Si donc le groupe G' contenait une substitution iufinitésimale a, toutes les substitutions de G devraient avoir mêmes points doubles que cr; elles seraient donc toutes permutables entre elles, ce (jul n'a pas lieu.

Donc (i' ne peut être continu.

2" (i' ne peut pas non plus être improprement discontinu, .l'ai démontré en effet {Groupes hleinèens, p. 58) (') que tout groupe formé de substitutions linéaires conservant le cercle fondamental, et ne contenant pas de substitution infinitésimale, est proprement discontinu à l'intérieur du cercle fondamental.

Donc G' est un groupe fuchsien.

11 aura donc un polygone générateur R^j, ut 1 indice de G considéré comme sous-groupe de G' sera égal à la S de Rq (polygone générateur de G) divisée par la S de R„ | cf. Mémoire sur les groupes des équations linéaires {.Icta nial/ienidlica, t. 4, p. 285) (-),)• Or la .S de R,, est finie, donc G est nu sonsgroupe d'indice fini. • c. q. f. d.

En général, le groupe (/ ne diffère pas du groupe G, de sorte que la surface S n'admet aucune transformation birationnelle en elle-même. Elle ne peut en avoir que dans des cas exceptionnels qui correspondent évidemment aux différents cas de symétrie que peut présenter le polygone Rq.

Soient maintenant deux surfaces de Riemann So et S| é(piivalentes, et de genre p.

Si l'on peut passer de l'une à l'autre par deux transformations birationnpUesT et U, la transformation TU~' changera en elle-même la surface S».

(■) Œuvrer de II. Poimaié, l. 2, p. 265. (-) Œinre.s de H. Poiiicari-, l. ■;!, p. 378.

SLR IN TIIKOUK.ME DE M. IICIIS. V. I

D'où les conclusions suivantes :

1° Si /) =: G, 'ni peut passer de So à S, pai- une triple infinité de transformations birationnelles.

i" Si/j = I, ou peut passer de S„ à S, par- une simple infinité de transformations birationnelles.

3" Si /) > I, il n'y a en général qu'une seule transformation biralionnelle qui permette de passer de So à S,, et il n'y en a jamais ([u'un nombre fini.

Grâce à ces propositions, il est aisé de retrouver les résultats que nous avons démontré plus haut pour les cas de ^ = o et de p = i, et de traiter complètement le cas de /? ^ I .