I. — Introduction

A l'occasion du jubilé de Sir G., G. Stokes, j'ai publié un Mémoire (^) où je me suis occupé des groupes finis et continus de Lie. C'est ce Mémoire que je citerai dans la suite sous le nom de « Mémoire de Cambridge ».

J'y ai entre autres choses donné une démonstration nouvelle de ce théorème de Lie, qu'il existe toujours des groupes de structure donnée, pourvu que cette structure satisfasse aux conditions dites de Jacobi.

J'ai mis sous une autre forme la formule de Lie pour la construction du groupe adjoint; j'ai donné ensuite les équations diflerentielles du groupe paramétrique, et j'ai montré que ces équations pouvaient s'intégrer, au moins par quadratures.

La première chose que j'aurai à faire sera donc de rappeler toutes ces formules.

Nous avons ainsi deux méthodes pour former le groupe, soit en partant du groupe adjoint, soit en partant du groupe paramétrique. Ces deux méthodes doivent conduire au même résultat. Mais il arrive ceci : quand on égale les résultats obtenus par ces deux méthodes, on n'obtient pas des identités immédiates, on obtient des pro|jriétés plus ou moins cachées du groupe.

Beaucoup de ces propriétés étaient déjà connues: d'autres auraient pu être

(') Présenté le 3 tivril 1901, imprimé le si juin 1901.

(-) Sur les groupes continus | Memoirs preseiited lo tlie Cjmliridge Pliilosoplàlcal Society on the occasion of ihe Juhilee of Sii George Gabriel Stokes. lîart., lion, LL. D., Hon. Se. 1>. Liicasian Professor (Cambridge, At llie University Press, 1900). p. ti-Jo--!.),") |.

obtenues par une autre voie; il m'a paru qu'il pouvait y avoir quelque intérêt à les relier entre elles de celte manière.

Malheureusement je n'ai pu aller bien loin dans celle direction; j'ai fait très peu et je serai heureux si j'ai pu faire comprendre à peu près ce qu'il y aurait à faire.

Les singularités des relations Unies qui définissent le groupe paramétrique, ainsi que celles des équations diiTérentielles d'où elles dérivent, peuvent être étudiées au point de vue de la théorie des fondions, mais je me suis borné à cet égard à de brèves indications.

Dans le cours de ce travail jai eu à envisager tanlôl des transformations inlinitésimales, tantôt des transformations finies. Les premières je les al représentées, tantôt par le symbole

x = x(/)=(x,)|:-(xo|:-^...^(x.)i^,

tantôt par le .symbole

Les transformations finies étaient toujours représentées par le symbole ex|ionenliel. Je rrols qu'il ne peut pas résulter de là de confusion fâcheuse.

J'ai employé indifféremment les deux mots « substitution » cl n transformalion ». J'aurais pu lircr profit de cette double dénomination, soil en réservant l'un des noms j)our les opérations du groupe envisagé et l'autre pour les opérations correspondantes du groupe adjoint, soit de bien d'autres manières. An contraire, je n'en ai fait usage que comme un simple littérateur, pour éviter les répétitions de mots. J'ai eu tort, mais j'espère que ce n'est qu'un péché véniel.