XY) = X[Y(/)]-Y[\C

Si je considère la substitution infinitésimale qui change/ en i + £X(/), les puissances de cette substitution engendrent un groupe dépendant d'un seul paramètre t et dont la transformation la plus générale peut être représentée par la notation

puisqu'elle change /en

Si je considère maintenant un groupe continu G dérivant de ;• opérations

la transformation la plus générale de ce groupe pourra être représentée par la

notation

pT (T=:^X,-...--^.N,.).

Ces transformations formant un groupe, on devra avoir identiquement

gT gP = e'»' I U = 7/1 Xi ^ . . . - !/,.X,..

( V = P,Xi + . . .-!- (vXr,

les V étant des .fonctions convenablement choisies des t et des u.

La même condition s'exprime, comme on le sait, d'une autre manière; on doit avoir

(I) (X,XO = £.ca-.X„

les Cihs étant des constantes.

Soient alors

de sorte que e"' et e^ soient deux transformations quelconques du groupe;

posons

e~v gT gv ^ et\

e^ sera encore une substitution du groupe, de sorte qu'on aura

On voit aisément qu'on doit avoir

e-VTeV=T',

ce qui montre que les t' sont des fonctions linéaires des /; c'est-à-dire qu'à chaque substitution e^ de G correspond une substitution linéaire qui change

Ji6

QlELQl'ES REMAnQl'ES SUR LES GROIPKS CONTINUS.

les t en t' . C'est l'ensemble de ces sub.slluitions linéaires qui consliliie ce que Ion appelle le groupe adjoint de G.

Cela posé, nous avons

(VT) = SA,.„/,X<., où

Formons l'équation carnctéristique de Killing

Fin =

hrr- ?

Le premier membre F(;) est un polynôme homogène de degré /• par rapport à ^ et aux c.

Soient maintenant P,-; les mineurs du déterminant F(;), de telle façon que

Ces mnieurs seront des polynôme^ liomogènes de degré (/■ — i) par rapport à ^ et aux f.

Les racines de l'équation F(^) = o sont donc des fonctions algébriques des f, homogènes de degré i par rapport ù ces variables.

Cela posé, la prenilère formule que je voulais rappeler e>l la suivante :

L'intégrale du second membre doil ètie prise le long d'un lontour enveloj)pant toutes les racines de F(ï) = o.

On voit imniédiatrinenl quelle doil être la foi'uie des coefficients de lasubstiluliou linéaire du groupe adjoint cpii change 1 en T'.

-Si les racines de l'équation (2) sont toutes distinctes, et si ces racines sont fj)|, oj^, . . . , Ci),-, nos coefficients seront des combinaisons linéaires des exponentielles

ou plutTit seront de la loiim

H étant une fonction rationnelle homogène de degré zéro par rapport à ',ip et aux c. Je rappelle que l'une des racines m,, '.),. . . .^ i^,. est toujours nulle.

QUELQUES KEMAnQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 217

Si les nicines ne sont pas toutes distinctes, nos coefficients seront de lu forme

(4) ^ Sc-"vil/,((o/'.).

llj,{'j)p) étant une fonction rationnelle dédnie comme il suit :

Si cj/, est une racine d'ordre ,u, le dénominateur ^.era homogène et de degré (r — ;j.) par rapport aux r et à oj/,, et le numérateur sera un polynôme non homogène de degré (/• — i) par rapport aux mêmes varialdes et où les termes du degré le moins élevé seront de degré (/■ — p.).

Si les t sont regardés comme donnés, les t'^ seront des expressions de la forme (4). On pourra choisir les t de telle façon que dans ces expressions tous les termes disparaissent, sauf ceux qui contiennent en facteur l'exponentielle e "V- On dira alors que la tran>formation T appartient à la racine cjp par rapport à la transformation \ .

Soit maintenant

e-VTr-v=T\ f'-'*UeV= U';

ou aura aussi

e-V(TU — UT) rv = T'ir— U'T'.

Si T appartient à la racine 'j)p et V à la racine cj^, T' se réduira à e "V multiplié par une fonction algébrique, ot U' à n''''q multiplié par une fonction algé-

hririue; de sorte que

se réduira à l'exponentielle

multiplié par une fonction algébri([uc.

En d'autres termes,

Il — (IT = (TU)

appartiendra à la racine oj^, -|- (<Jy

Si iOp-\-(,i,/ n'est pas racine de l'ètjualion (2), on devra conclure que le crochet (TU) est nul.

Ce double théorème est dû, je crois, à Killing. La démonstration qui précède didere de celle de Killing au moins pour la forme, et elle se présente d'une façon plus concise. Je rappellerai que dans le Mémoire cité de Cambridge j'ai été conduit (p. .">..") i) à une démonstration assez détournée de ce même théorème ( ' ).

(ja comparaison des deux expressions de (TU), où (igure d'une part une

I ') Voir Couvres ilc 11. Poinriirr, I. III. p. 107.

fonction dépendant de «;,+ w^ et d'autre part une somme dont chaque terme est le produit de deux fonctions dépendant respectivement de w^, ut w^, cette comparaison, dis-je, conduirait à d'autres conséquences sur lesquelles je n'insisterai pas.

La formule (3) montre r[ue l'on a