II' I

les / étant des fonctions entières des v, et cette formule définit une substitution linéaire L qui appartient au groupe adjoint.

On peut se proposer inversement de ca/ciilcr les c, connaissant ta substitution L. Cela n'est pas toujours possible, cela ne peut se faire que si le groupe ne contient pas de transformations distinguées, c'est-à-dire permutables à toutes les transformations du groupe. S'il en est autrement, tout ce qu'on pourra faire, ce sera de calculer les bu,.

Le calcul repose sur les principes suivants. Considérons l'équation

- cl ^,

Soient Qij les mineurs de ce déterminant, de telle façon que

e-lqu—'^lkiQki

La puissance x'''"" de la substitution linéaire L sera évidemment donnée par la formule

e-ldl

l'intégrale étant prise le long d'un contour enveloppant une fois, et une seule, chacune des racines proprement distinctes de l'équation (5). Voici ce que j'entends par là. L'équation (5) admet une infinité de racines, mais toutes ces racines peuvent se déduire d'un nombre fini d'entre elles, car <I> ne change pas quand on augmente \ d'un multiple de ■3.t.\'— i . Je ne considérerai donc pas comme proprement distinctes deux racines différant d'un multiple de 2t.\J — i et je supposerai que notre contour est tracé de f.içon à ne pas envelopper à la fois ces deux racines.

La formule (()) est vraie quel que soit a, entier, fractionnaire, etc.; supposons

y. iiiiiniineiit |)elit. Alors la puissance a'^"" de la bubsLitution L se réfliiit à

t\^l—y.^:.hn(j.

D'autre part, on vertu de la formule (6), elle se réduit à

d'où

Kl) '■■- '

/.. - -■ / LfZlii5o ■

Ci'lte fiiiinule niius inoulre d'abord que les bj/ ne sont |)as toujours des tonclions uniformes des /. En effet, notre contour d'intégration doit envelopper luic luis, el une seule, cliacune des TacinL'S propiei)ie/il distinctes de (5). Mais cela ne suffit pas pour déterminer ce contour et par conséquent les bji. Si, en effet, on remplace une des racines par cette racine augmentée d'un multiple de 2~\/ — I, on nblienl un contour différent qui conduit à une valeur différente de bji.

Comment maintenant pourra-l-il arriver que les b/i deviennent infinis, ou, |)lus généralement, cessent d'être des fonctions liolomorplies des /?

Il est clair cjue, tant <jue le contour n'ira pas passer par un des points singuliers de la fonction sous le signe intégral, clest-à-dire par une des racines de (5), les b resteront des fonctions holomorpbes des /. Mais on pourra toujours maintenir ce contour à distance de ces racines, à moins que l'une de ces racines ne devienne infinie ou que deux de ces racines ne viennent à se confondre; et encore faut-il que les deux racines qui se confondent ainsi soient primitivement Tune à l'extérieur du contour, l'autre à l'intérieur. C'est alors, en effet, que le contour pris entre deux feux ne peut plus fuir devant les racines, et qu en général les b cesseront d'être des fonctions liolomorplies des /.

Cela peut encore s'énoncer autrement. Les racines de (5) ne sont autre chose que celles de l'équation de Killing augfiientées d'un multiple arbitraire de 2n\/ — I. Notre contour doit envelo|iper toutes les racines de l'équation de Killing el laisser en dehors les autres racines de l'équation (5). Alors, pour que les b restent des fonctions holomorphes, il suffit qu'une racine de l'équation de Killing (qui doit être intérieure au contour) ne se confonde pas avec une racine de (5) n'appartenant pas à l'équation de Killing (et qui doit rester extérieure au contour) : Les b seront donc des fonctions holomorphes des l, à moins que deux des racines de l'équation de Killing- ne dij/érent d'un

220 Ql'ELQlES REMARQIES SIR LES GROl'PES CONTINUS.

multiple de i - \j — i nuire que zéro, ou que F une de ces racines ne devienne infinie.

Nous soinnies donc conduits à distinguer parmi les substitutions linéaires finies du groupe adjoint certaines substitutions singulières, qui jouissent de cette propriété que deux racines de l'équation de Killing, sans être égales,

difleient d'un multiple de 2-\^^ i.

En général, pour ces substitutions singulières les /; considérées comme fonctions des / seront infinies: c'est-à-dire que ces substitutions singulières ne seront jias une puissance d'une substitution infinitésimale du groupe. Mais il pourra se faire aussi que les b soient des fonctions indéterminées des /, de sorte que la substitution singulière sera une puissance d'une infinité de substitutions infinitésimales difTcrenles.

La distinction entre les deux cas se rattache à la théorie des « Elementartheiler » ; formons les équations différentielles linéaires

ITT"-" ""• On sait quelle est la forme de l'intégrale générale de ces équations; cm a

0) étant l'une des racines de l'équation

et P(/) un polynôme en t dont le degré est au plus égal à p. — i , si o) est une racine d'ordi'e |n.

Dans le cas d'une substitution singulière, deux racines de l'équation <I>(u) = o, ordinairement distinctes, viennent à se confondre. Soient w, et oj^ ces racines, a, et p-j leur ordre, Pf(0 ^^ PslO ^^s poljnomes correspondants dont l'ordre est, an plus, p.| — i et /o — i .

Quand les racines se confondent, on a une racine w, d'ordre y, ^fxj, de

sorte que les deux termes

p,(Oe™''— PoCO'"'"''

seront remplacés par un terme unique

où Q peut être de degré /J., + ,U2— >, n\a\s peut être aussi de degré moindre. Si le degré de Q ne dépasse pas celui de P, (ou celui de Pn, si P. est de

QUEI.Ql'ES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 221

degré plus grand que P,). les b sont des fonctions indélerminées des /. Dans le cas contraire, les b deviennent infinis.

Nous devons aussi réserver le cas des substitutions (jiie j'appellerai singulières de la deuxième sorte, c'est-à-dire de celles pour lesquelles une des racines ^ de l'équation de Killing devient infinie ; pour cela il faut que l'une des racines e~^ de l'équation (5) soit nulle ou infinie. Elle ne pourra devenir infinie si les /sont finis; il faut donc qu'elle devienne nulle, c'est-à-dire que le déterminant des / soit nul. C'est ce qui caractérise les substitutions singulières de la deuxième sorte.

Quelques exemples feront d'ailleurs mieux comprendre la nature des différentes sortes de substitutions singulières et justifieront ce que je viens de dire au sujet de la distinction des cas où les b sont, soit infinis, soit indéterminés.

Reprenons notre substitution L et son équation caractéristique

Si nous considérons les c comme lus coordonnées homogènes d'un point dans l'espace à (/• — i) dimensions, nous pouvons nous demander quels sont les points, ou les variétés planes à q dimensions qui ne sont pas altérés par la substitution L. Dans le cas général, où l'équation cai-actéristique a r racines distinctes, il y a /• points qui sont conservés ainsi que les variétés planes à q dimensions définies par (q -\- i) quelconques de ces ;• points. Soient S, , S^, .... S, les ;■ racines. A ciiacune de ces racines S, correspondra un point M, inaltéré par L. Si deux racines S, et S2 viennent à se confondre, il arrivera en général que les deux points M, et M2 tendront à se confondre et que la droite M, ^L tendra vers une droite D qui sera égalentent inaltérée par L. En général le point M, = !\L sera le seul point de D qui sera inaltéré; la substitution sera dite alors j9a7'a6o//(^«e ; mais il peut arriver aussi que tous les points de D soient inaltérés par L.

Etudions maintenant les b comme fonctions des /: ou, ce qui revient au même, étudions les puissances fractionnaires L* de L. Soit Ij la racine de Killing qui corres|)ond à S,, de telle sorte que S/=e ''. Si l'équation caractéristique n'a pas dv racine multiple, il n'\ a pas de difficulté: il n'y en a pas non plus si S, devenant égal à S-.., ^, est égal à i;j. Il reste donc à examiner

le cas où r, est égal à >., plus un multiple de 27: y/ — i, de telle sorte que S| soit égal à S..

Si L est parabolique, on ne pourra pas former la substitution L='. Si cette substitution existait en effet, aux deux racines distinctes i, et l-, correspon-

ciraient deux points dislincls M, et Mo qui devraient être inaltérés par L« et par conséquent par L. Or il n'en est pas ainsi puisque le seul point inaltéré de D est le point M, = Mo. Les équations qui donnentles 6 sont donc ini/jossibles, c'est-à-dire que les b sont des fonctions qui deviennent infinies.

Dans le cas où tous les points de D sont inaltérés, il n'en est pas de même.

Choisissons, en effet, sur D deux points quelconque? M, et M^. 11 v aura une substitution L*, et une seule, qui conservera ces deux points inaltérés, le» racines de Killing ayant pour valeurs ;, et çj; L sera une ))uissance de cette substitution. On pourra donc résoudre le problème d'une infinité de manières. C'est le cas d' indélerminalion.

^ oyons encore le cas d'une racine triple S| ^ So^ Sj. Si trois racines S,, Sa, S3 tendent à se confondre, les trois points inaltérés M,, M.j, M3 tendent aussi en généial à se confondre, les trois droites MjMj, M3M1. ]\l,Mo tendent vers une limite commune D, le plan MjMjMs tend A^ers un plan I'.

En général, le plan l' étant invariant, la seule droite invariante de P est D, le seul point invariant de P est M| = M2=M3. On verrait comme plus liant que nous sommes encore dans un cas d'impossibilité (sauf si les trois racines de Killing ^|, l-,, ^3 sont égales, cas où il n'y a pas de singularité).

11 peut se faire aussi qu'il y ail dans P une droite D, et une seule, dont les points sont invariants, et sur D un point, et un seul, tel que toutes les droites de P qui passent par M soient invariantes.

Nous aurons alors impossibilité si les trois racines de Killing sont distinctes, indétermination si deux de ces racines sont égales, la troisième en différant d'un multiple de 27; y' — 1 ; et enfin il n'y aura pas de singularité si les trois racines sont étrales.

Il peut arriver enfin que tous les points et toutes les droites de P soient invariants; on retombe alors sur le cas d'indétermination.