III. — Formation du groupe paramétrique

J'avais donné en outre une seconde formule d'une forme analogue mais entièrement nouvelle. Supposons que l'on ail

eV ,.1 , ,,>^.'v.

les l étant infiniment petits. INoiis pourrons écrire et d'autre pari

Les intégrales doivent être prises le long d'un contour enveloppant toutes les racines de l'équation de Killing F(t) = o; pour l'intégrale (2), le contour est assujetti en outre à ne pas envelopper les racines de i — 6"^= o, la racine zéro exceptée.

La formule {2) nous apprend en outre que les substitutions du groupe G, ou plutôt de son groupe paramétrique, peuvent être mises sous la forme

Que signifient ces trois formules et d'abord la formule (i)? Les t sont des fonctions linéaires des t/r et les coefficients sont de la forme suivante :

i;H/,(c0/,)-^i:e-",.S^(0VJ,

où P<.j!,(^«y,) et S/,(wp) sont des fonctions rationnelles de (,)p et des c. Le dénominateur commun de R,, et de S^ est un polynôme homogène de degré r, divisible par w!^-, si Wp est une racine d'ordre /jl. Le numérateur de K/, est un polynôme homogène de degré (r — i); celui de S^ est un polynôme non homogène de degré (;• — 1) dont les termes du degré le moins élevé sont de degré (/• — p.).

11 y a exception pour la racine o)y, =r o; pour cette racine les deux termes de la formule peuvent être réunis en un seul; le dénominateur est un polynôme homogène de degré (/■ — y) par rapport aux r, si zéro est une racine d'ordre fx; le numérateur est un polynôme non homogène de degré (/• — i), dont les termes du degré le moins élevé sont d'ordre ir — 17.).

Que nous apprend maintenant la formule (2)?

Elle montre que les dv sont des fonctions linéaires des t. Elle nous apprend aussi quelle est la forme des coefficients de ces fonctions linéaires qui sont en

même temps les coefficients des — ^ dans les expressions des X,(y") [voir formule (3)].

Soit

el D,j{(,]p) la q'"""' dérivée de D^^oj^,) par rapport à (.>/,: nus coet'licienls seront lie la forme

Q'. Q'„ ■•■! Q^', étant des fonctions rationnelles homogènes des r et de Up dont le dénominateur commun est d'ordre (r — ;j-) et dont les numérateurs sont d'ordre

Pour la racine (0/,:=o, la même formule pourra être conservée, seulement les Dj(cxip) devront être remplacés [lar l'unité et les degrés des numérateurs des Q devront être abaissés d'une unité.

Nos coefficients seront donc des termes de l'une des deux formes suivantes :

1° Une fonction rationnelle des r (provenant de la racine ùip= o). 2° Une puissance négative de (i — c'^r) multipliée par une finicti(U) lalionnelle des c et de co^.

Exemjilc.

Un exemple simple fera d'ailleurs mieux comprendre la portée de cette tormule (2).

Considérons le groupe des rotations d'un corps solide autour d'un point fixe.

Soit une rotation d'un angle 2& autour de l'axe de cosinus directeurs «, p, /; nous pouvons la représenter, en employant la notation des quaternions, par les quatre paramètres

À = cosO, ;ji = a~inO. v = ^JsinO. f. = vs-inO.

NFais nous pouvons également la représenter par les trois parauiètres

.•, = xO, (■î = ;30, c:,= 70.

Si alors ^, /;,, I3 représentent les paramètres d'une rotation infinimeni petite, si)., (J., V, p ou t|, i'.j, f, définissent, non seulement une rotation finie, mais l'orientation où cette rotation finie amène le corps solide en partant de son orientation initiale, cette orientation variera si le corps subit la rotation infiniment petite /,, ^J, ti, de sorte que les >. et les r subiront des accroissements iD.

Ql ELOIKS REMAKOl FS SI II LES GIlOl l'KS CONTINUS.

Cl (/r. La lliédiie des quaternions nous donne ( ' )

(II. — — ;j./, — -il., — p/;:.

^u = \t,— zt.— -il-..

•jt, x/,-*- /.A,.

On en déduit, par (■\em]>le,

</.•, = i) ,fx - -xt/O =

6 rfjji flaPosOf/À -x f/'/.

••in-l) >inll

d'où

/..(— r; x'ii I — 0 rot 0 i] rjc— ï-i I— 0 l'ol 0 1 I.

Ci)nipai-iiiis ce lé^ultat avec ce que iluniu- la l'niimile { :>. ). ^Joll^ aiiron-

(II. ilx lii II-.

V '//■ '//• - '//• <lf

fil. irx fvi II',

.. <lf df .If . ,lf

ili. irx (Il ilz

d'oi'

L'équatidii de- Rilling s'écrit

Fi Ci

elle admet trois racines, qui ^ont o et ± lih.

On a

F('?') = — ?(« ifl-:!).

r',,= 4c,r,,— oti-.:

et la formule (•> I doniK

■>r. \ — I ■ ' 1 — ' Les résidus sont :

Voir au\ ]Sotes.

H. \\ — in.

■lift QlEI.Ql'KS RF.MAROl'FS SUB LKS CnOl PES rONTIM'S.

i" Poni- la racine o,

2" Pour la racine — 2/9, ,

/ tl^''7— O-.l

' ',(6(1 — e^'": ' ijei'l — (.-'0) '

.'i° Pour la racine 2j'5,

' 4(0(<»-='''— I) "4f Oi e--'"— Il ■' 4,-6i e-ï'^J— II'

En faisant la somme, on irouve :.

1° Pour le coefficient de /,,

2" Pour le coefficient de ^2.