col 61 I — X

— ',/fl i,,-:rt n

f'3 = a j — 6 rot 6. a ; ■

i " Pour le cciefficient de fg,

On retrouve donc bien par la formule ( a ) les résultats auxquels conduisait

la théorie connue des quaternions.

Si nou.s avons, comme nous l'avons suppcisé plus haut,

p\ p^ pV .</v

et si nous .•-uppt)sons

£ étant une constante infiniment petite, les deux substitutions \ et T seront permutables, de sorte qu'on aura aussi

Si donc les équations linéaires qui lient les r/i' aux t s'écrivent il viendia

Ce sont là des relations importantes auxquelles les fonctions \ f,, devront

QUKLQIJKS REMARQUKS SUR I.KS (iROlU'ES CONTINUS. )77

satisfaire identiquement et qu'il est d'ailleurs aisé de vérifier sur l'exemple simple c|ue nous venons de traiter.

lic'liilioii f'fitri' le nroupe iKliiimi'lfKjUi' cl h' ^ nui pi' (idjoinl.

Dans le paragraplie précédent nous avons dunné le» équations du gruu|i(' adjoint: dans celui-ci nous donnons celles du groupe paramétrii|ue. Il est aisé de voir quelle relation il y a entre ces deux groupes.

Soient e^, e^ ^ (?' trois transformations du groupe G : la première finie, 1rs deux autres infinitésimales. Posons

gV pT f\ ^i\ . .

la transformation qui change les i', en CjJrih'i appartient au groiipr paraimtrique, je continue à l'appeler é^ ; c'est d'ailleurs la transformation

ow les X^iy ) sont définies |)ai- la formule ( .5 ). Posons encore

(V = s.vX;. \'= i:,-;X;i.

l^a Iranslormatiiiii ipii ciiauj^c les r, eu r, appai'liciil au ^mupr adjoliil : je la représenterai par c^' poin- ue pas la confondre avec la transformation correspondaiile /'' du i;i-nupe |iaram('lricnir. .Soll ensuite

je vois que la mi-m<' trausfoinialion linéairi- c'", qui eliaujje les r, eu ij , cliaii-^e les /, en /, et les r/c, en <U-) ; et par conséquent les 1',+ '/'', en i', + rlv] . On aura aussi

p-U pT (,1 - ,.1' ,, i ,,\ - /\ ,,i ,,\ ,;\ ,. I ,,\ ,.i ,.\

d'où

,.V^./V- g— L' pV4-AVL' - f l f,\ g\ ,,l - ,, I ,.\ , I , 1,1 ,1 ,.\ ,.l .

c est-à-dire que la transfoi-malion r-' , ijiii appailicul au gioupe paraniclrl(nic. change les cj en v- -f- c/i ■'- .

Il est donc indifférent de faire subir aLix i,, d'ahord la [iMusf'orMiali(]ii c' ■ iiui les change en i-, , puis la transformation c' ({ui change les v) eu r^ c/i ; : on de taire d'ahurd la I l'ansforinal ion c^ (jui c liante les r, en r, ^ r/i,. puis la Ira us-

228 OURLQIES REMARQUES SLR LES GltOUPES CONTIMS.

formation e'" qui change les r/^- </f,- en i'] + r/i, ; ce qui s'écrit

f'I u f f ' = <»T pi „ OU

OU, puisque les suh^tilulions sont infinitésimales,

T'=T-(TUo).

D'autre part, l'équalion

pi ^; ^— l pT ^l

nous donne

d'où

(5) (Tr„i = iTL-).

Pour l'iiilelligence de cette formule ( f) ) il importe de se rappeler que

où les \< sont donnés par la foiniule {'.^), tandis que les t/, et les iif, sont des coefficients constants. Quant à L „ il est de la forme

t „ 1"/ \,.if<.

où

les '/,;(, étant des fonctions linéaires des i-.

C'est ce qu'on peut encore exprimer de plusieurs aiilies manières.

Reprenons les équatmiiN