I. Reprenons en eflTet l'équation

et soit d'abord ^ = o. On pourra poser

tp et i|i étant des fonctions rationnelles de t dont les coefficients dépendent de ;. Soient )-o=: ffl(/o)) J'u = '7'('û) les valeurs initiales d'une certaine intégrale et (le sa dérivée pour ; = ;„. et

les valeurs de cette même intégrale et de sa dérivée [)our z ^^ z■^. On a vu rpie )i et )■', doivent être fonctions rationnelles de )-„ et y\^ et réciproquement. On aura donc

Les coefficients de cette substitution linéaire a, p, y, $ dépendent évidemment de ^0 et de z,. Nous regarderons ;» comme une constante, et Zt sera la variable indépendante; nous supprimerons donc l'indice i de /,, c,, Vi. )', et nous aurons

où tu sera la constante d'intégration et où x, (3, y, o seront des fonctions de r. Si se', fj', ■/, ô' sont les dérivées de ces fonctions; il viendra

2'. SI n IN THKOHEMI- l>K M. FICUS.

En éliniiiiant /„ entre (6 ) et [j) on retomberait sur réquatiou Je Riccali, ce qui confirme le résultat obtenu plus haut.

Si l'on remplace / par sa valeur (6") dans l'expression

on trouve pour l'intégrale générale de l'équation (A)

R étant une fonction rationnelle de la constante d'intégration ?„ et dont les coefficients dépendent de ;.

Réciproquement si l'on a une fonction i' de <„ et de z, rationnelle par rapport à /„. et que l'on forme la dérivée )'= -^ > on obtiendra par réliminalion

de /(, une équation difTérenlielle de la forme (A) entre )', )' et ;.

Si en particulier l'équation (A) est algébrique, non seulement par rapport à )■ et à i', mais encore par rapport à z, l'équation de Riccati à laquelle on sera conduit aura ses coefficients algébriques en ,-, et par conséquent l'intégration de l'équation (A) sera ramenée à celle des équations linéaires du second ordre à coefficients algébri(|ues.

Il Supposons maintenant ^ = 1 . Nous pourrons poser

j- = ç{t), r'= 'lit).

<p et '^ étant des fonctions doublement périoditpies de / dont les coeliicienl» dépendent de ;. Conseivons aux notations

^o- :■!■ .)o— rCu'- .>i) =- 'H'o '• .»i=r*'i»- .'■'i = '^i'i)

le même sens que plus haut. On sait que.)-| et )•', doivent être des fonctions rationnelles de Vu et y'„ et réciproquement. Donc d'après ce qu'on a vu plus haut sur les transformations des surface> de genre i en elles-mêmes, on devra

avoir

/, = xl^^ 3,

a étant égal à l'une des ipuintités

Comme a et |3 doivent être des fonctions continues de ;, et que t, iloit se réduire à t^ pour Cg ^= :,, on aura

SUR VK THKOBEMIÎ riK M. FUCHS. Xi

Considérons ;o comme constant, ;, comme variable el supprimons l'inilici' i de s,, <,, Y>, r'r

fî sera une fonction de ; et l'intégrale générale de réqunlion (A) sera

o étant une fonction doublement périodi(jne dont les coefficienis dépendront df z, (3 une fonction de z, et /„ la constante d'intégration.

Si l'équation (A) est algébrique en cr, les coeflicients de la fonction doublement périodique cp(<) dépendent algébiiqufinent de ;: et la fonction S de r s'obtient par une simple quadrature, f^osons

■« = sn(/),

Y sera une fonction algébri(|ue de u et de ;, si l'équation (A) est algébriijue en ;. Si l'équation (A) n'est pas algébrique en z et si elle s'écrit

où les coefficients A,,,/, sont des fonctions non algébriques de ;, r sera une fonction algébrique de u et des coefficienis A,„p. J)ans tous les cas on aura

;/ = sn( /,|-^ p), t^ étant la constante d'intégration. On reconnaît là le ri'sultat obtenu plus haut.

\\\. Arrivons enfin au cas de p ^ \ . Faisons d'abord z ^^ z^ dans ré<pialion (A); cette équation re[)résentera une certaine surface de Riemann Sq. Si l'on y fait j -^ ;,, on aura uul; surface équivalente S,. Cette seconde surface dérive de la première par une seule transformation birationnelie on par un nombre fini de pareilles transformations.

Soient

t. Ao.i Koi,j\,,7o) = o,

le» équation» de ces deux surfaces de Riemann. On passera de l'une à l'autre eu posant

R et R| représentant des fonctions rationnelles. Ces fonctions rationnelles R et R| sont telles que l'élimination de )„, )•„ entre l'équntion (A,,) et les équations (8) conduit à l'équation (A,). D'après ce que nous venons de voir, il n'y a qu'un nombre fini de fonctions rationnelles (pii jouissent de l;i mènie pr(q)riété.

2i si:b in théorèmk de m. FLICHS.

Donc quand on connaîtra les équations (Ao) et (A,) on pourra trouver les deux fondions rationnelles R et R, par des procèdes purement algébriques.

Comme les coefficients de (A„) et (A,) dépendent de ;„ et de s,, il en sera de même des coefficients de R. et R,. Si nous regardons r„ comme une constante, z-x comme la variable indépendante, puisque nous supprimions l'indice i dans j|, /, , )-| . )'| , il viendra, pour l'intégrale générale de (A),

R étant une fonction rationnelle des deux constantes d'intégration Vo et j'',,, fonction rationnelle dont les coefficients dépendent de ;. Les deux constantes d'intégration )■„ et )|, ne sont d'ailleurs pas indépendantes, car elles sont liées entre elles par l'équation (Aq).

Si en particulier l'équation (A) est algébri(|ue en z, les coefficients de R dépendront algébriquement de :;, et l'intégrale générale de l'équation (A) sera algébrique.

Si au contraire l'équation (A) s'écrit

les coefficients A,„^ étant des fonctions non algébriques en :;, l'intégrale générale

sera une fonction algébrique non seulement de io> niais des coefficients Amp.

Dans tous les cas, récpiation (A) sintégre par des procédés purement algébriques.

On arrive d'ailleurs au même résultat par l'emploi des fonctions fiichsiennes. Écrivons encore l'équation (A) sous la forme

V \ ^'fït \/p — Il

-* -^rnpj J ^ — "•

Nous pourrons poser

o et ■]> étant deux fonctions fuchsiennes dont les coefficients dépendent de ;. Soient l et r; deux fonctions fuchsiennes, indépendantes de ; et à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement. On aura

R et R, étant des fonctions rationnelles de ? et de r,. Les coefficients de ces fonctions rationnelles dépendent de c, et il est aisi- de voir de quelle manière : ce sont des fonctions algébriques des coefficients A,„^.