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l'aisons subir aux i . aux t et au t/i une même substitution linéaire appartenant au groupe adjoint; soient i', l , dv' ce que deviennent les c, les / et les di- par suite de cette substitution. Soit \^, ce que devient \ a, quand on y change les i- en c': des écpialions proposées on pourra déduire alors

Ou bien encore, coii-idéri>ns l'expression

C'est une forme bilinéaire |)ar rapport aux i/ et au\ / dont les coefficients sont des fonctions des e. Celte forme ne sera pas altérée quand ou fera subir aux r et aux / une sub-titutiou liiiéaire du L;roupe adjoint, et aux ii la substitution linéaire contragrédiente.

QUELQUES KEMARQUES SLR LliS (illOUPES CONTINUS. ^-".I)

La formule (5) peut aussi s'interpréter connue il suit : L' ensemble des Ivitnsformallons du gyntipc ndjoinl el du ifioiiiie paramétrique engendre aussi un groupe F, cl dans ce groupe T le groupe parainélriiiue est un sousgroupe invariant , et en ellel (TU ) fait aussi partie de ce sous-i;toupc.

Nos formules ( i ), (2) et (.3) nous suggèrent encore difl'érenles remarques f|ui nous seront utiles dans la suite.

.Sup|)osons (juc notre groupe G admette un certain nondirc de transformations inlinitésimales distinguées, c'est-à-dire permutables à toutes les transformalu)ns du groupe. Soient \,„, 1, X„,4.j, . . ., \, ces transformalions que j'appellerai pour abréger les \ ', tandis (jue les autres transformations \,, X..,, .... \„, s'appelleront les X\ Comme au dernier paragraphe du Mémoire eité de Cambridge, j'apjiellerai les // et les v' ceux des eoeflieienls / et c qui affectent 1p^ X', et les t" et les r" ceux rpii affectent les X", el je |30serai |iar exemple

Si nous envisageons alors le delerminant de Killing nous \errons que les ( /■ — m) dernières colonnes sont entièrement composées de zéros sauf les termes de la diagonale principale qui se rédursent à — ï. Il en résulte que

I,a formule (a) nous donne alors, poui- / m.

C'est d'ailleurs ce qui est presque évident; car V " et T" étant permutables à toutes les Mibstilutions du groupe, on a (pour T'= o)

,.\ ,/\ . - ,.\ ,,r -^ ,,v pi" ~ pV I r

d'où

^A = T", rfV'= (I. ^A"= T":

ce qui équivaut à la formule que nous venons de trouver. Cela posé, je reprends la formule

gV+rfV p\ gi-

et je dis que les dv ne peuvent jamais s'annuler tons à la fois. Si cela arrivait en effet, on aurait c/V^= o, ddù

■23(1 QIIXOIKS KEMAUQl K!i SUll LKS GIUIlPI.!i CONTIMS.

Cl <i l l'sl uiieisii bsliiulion quelconque du ojroupe

eu nosant

cela (levienl

Mais U' est une substitution quelconque du groupe. En effet, quelle que soit U', nous pourrons toujours poser

puisque l cs| ;u-l)ilrairf. La tnniiule précédente signifie donc que T est une Iransfornifilion dislinguéc. ou, a\ec nos notation». <jue T = T . Mais on ne peut avoir (à nioin> que 1 uc si' iédui>e à zéro

car nous avons vu plu» haut que pour T = T" on a