I .a proposition c>l dciiic démontrée

S<Hl mainleuanl

i .= i;//,\,. \v = ï.c,\,. \=ic,x,.

( )n peut >(■ ilciiiaiider dana i/iii'ls eau les c cessent d'être des fntutioiis /ii)/o/}ior/dies des u et îles w,

\ Iroij transformations f' , ('**, e^ correspondent troi? substitutions linéaires du groupe adjoint; soient V,,. A,, I. ces trois substitutions. Soient À"-, Xj-, lij leurs coefficients. Il csl clair que L sera la résultante de \„ et A, et pur conséipieiil que les / sont îles poljnouies du premier degré tant par rapport aux X" que par rap|)Oil aii\ À' .

La roriiiule \'i) du paragraphe 11 nous apprend <[iie les )" et les À' sont des fonctions entières des u et des u; il en est dune de même des /. Daulre part, la formule [-) du paragraphe II et la discussion de celte formule qui termine ce même paragraphe nous apprend que les bu, ne cessent d'être des fonctions holoinorphes des l que quand L est une substitution singulière. Si donc cette dernière circonstance ne se présente pas, les bih sont des fonctions holomorphes des // et des n\

Distinguons maintenant parmi les c ce que nous venons d'appeler les c' et

OUKI.(,)l!KS KEMAROIKS SUll Mis GROUPES CONTINUS. 23l

les v". Les ft,A, comme je viens de rexpliquer, ne dépendent que des c' et pas des 1 " : ce sont d'ailleurs des fonctions linéaires des r'. La connaissance des bik en fonctions des u et des w nous fournit donc un certain nomhrc d'équations linéaires enlre les i'. U reste à savoir si ces équations suffironl pour déterminer les t'', c'est-à-dire si les déteiniinants formés à l'aide de ces équations ne seront pas tous nuls.

Si cela arrivait c'est que les bik reprendraient les mêmes valeurs pour deux syslème> différents de valeurs des c', c'est-à-dire qu'il existerait deux transformations

( sans que V, soit é^al à \ '„ ) et telles que l'on ait, quel que soit T,

( V,Ti = (\,T\:

et comme

on aurait

I V'iTi = ^V:,T).

ou *

i\\ — \:,. Ti - ii:

c'est-à-dire que \\ — V'., serait une iransformation distinj^uée ; ce qui est impossible, puisque \ , et V., sont supposés correspondre à des valeurs différentes des i''.

Donc nos déterminants né sont pas tous nuls; doiicde nos équations linéaires nous tirerons les c' en fonctions holomorphes des u et des w.

J'ajouterai que les >v" et les À' , et par conséquent les i' dépendent seulement des a et des tv', et pas des ii" et des (v'.

Passons maintenant aux i ' ( '): nous avons, d'après la formule i i ),

'/"' = = / «'î — r — >, -ETçy-

ou, en posant

rf«-,-rfc,= ^^ / Erft6<5) > ''-^J^:

C) H. Poincaré a signalé ptus tard [Nouvelles remarques sur les groupes continus {Rendiconti..., l. ÎS, 1908, et Œuvres, t. 3)] que le premier membre rfiv, doit eue remplacé par l'expression analogue à celle qui figure au second membre, mais où les v, sont remplacés par les iV|. II prouve que la conclusion fomlamcnlale, en italiques au bas de la page suivante, n'est pas altérée f J. D. ;.

iSa qi;ki.qc'es rbmabques sur les groupes continis.

Je suppose que les indices i, 2, .... m correspondent aux transformations non distinguées, c'est-à-dire aux i', aux li cl aux ir', et que les indices ni-\-\, m + 2, ..., ;■ correspondent aux transformations distinguées, c'est-à-dire aux r", aux u" et aux w". Soit i > m ; alors, si j > /», le rapport

sera égal à zéro ou à 7. suivant fine « est diflerent de / ou égal à y'. En tout cas le terme correspondant de l'intégrale est nul, la fonction sous le signe intégral étant une fonction entière de ^.

Nous pourrons donc ne conserver dans le second membre que les termes en chj où / <i m -{-i, c'est-à-dire les termes (jui dépendent des Je', et écrire

( (> I //il-, — (/(■, = — / S rtc <ii S I 7 „ , I / , //(. / c /Il - 1 I.

' ^ va)

Cette formule est tout à fait équivalente à la dernière formule de la page 204 (lu Mémoire cité de (îambrige.

Le seconil incmbrc ne dépend que des r' : ce doit être une diltcreiitielle exacte, soit d&i(\\, r.,, . . ., i„, ).

L'équation ((\) nous donne alors

<■,■='•■','— 8, (c',. (■.;, !•;„)-- i-iiii~i.

Pour IV = o on doit avoir t' = u, ce qui détermine la constante, et il vient

(,71 ''ii= "ï— "ï— H,(c'|. l'.j !■;„)-, H, w/|. ».;, II],,,.

Cuinnienl b'^ i pourniicnl-ils cesser d'être binctioiis biildiiiiirpbc^ des //et

J'observe (jue £|(;) est une fonction entièie de H. Donc, en v<'rtu dune remarque fnlle à la page 238 du Mémoire cité de Cambridge ( ' ), les dérivées