IV. — Groupes de rang zéro

il y a un cas ou les formules se simplilieul considérablement, c est celui où l'équation de Killing a toutes ses racines nulles, c'est-à-dire celui où le groupe G est de rang nul. Dans ce cas, F(;) se réduisant à ( — >)' l'intégrale (3) (lu pai'agraphe 11 prend la forme suivante : nous avons sous le signe intégral, au numérateur c '^ multiplié par un polynôme enlier par rapport aux r et à ;, et au dénominateur £' .

11 en résulte que les coefficients de la substitution linéaire du groupe adjoint qui change T en T' seront des polynômes entiers par rapport aux c.

Les formules (i), (2 ) et (3) du paragraphe III subissent des simplifications analogues. Les fonctions sous le signe intégral se réduisent en effet à des polynômes entiers par rapport aux r et à ;, divisés par '••.'' et multipliés par l'une des deux fonctions

11 résulte de là que les l sont des fonctions linéaires des dv et les c/f des fonctions linéaires des t, et que les coeflicients de ces deux substitutions linéaires inverses sont des polynômes entiers par rapport aux ^■.

On en conclut immédiatement que le déterminant de l'une ou de l'autre de ces substitutions linéaires se réduit à une constante. En efl'et, ce déterminant est un polynôme entier par rapport aux r; et comme les coefficients de la substitution inverse sont aussi des polynômes, il faut que ce déterminant divise tous ses mineurs du premier ordre. Il divisera donc aussi toutes ses dérivées partielles du premier ordre; et cela n'est possible que s'il se réduit à une constante.

La formule (3) nous apprend donc que l'on a'

âf),

les W i/i étant des polynômes entiers par rapport aux c.