II. r. — III. ,3o

■^34 QUELQUES REMABQUES SUR LES GBOUPKS CONTINUS.

Ces polynômes jouisseni d'une propriété intéressante; si en effet on a

c étant une constante infiniment petite, les deux transformations T et V sont permutables, de sorte que l'on a

(/r,= /, = cl,.

Or

Donc on a identiquement

Dautre part, les transformations X, doivent engendrer un groupe. Donc les crochets (X/Xy) doivent être des combinaisons linéaires des X^.

Soit m le plus grand degré des polynômes Wa,-, et soit W"' l'ensemble des termes de degré ni de W/,,, et en général W^, l'ensemble des termes de degré q.

Soit

àv/.

Considérons le crochet (X"'X™); ce crochet représentera l'ensemble des termes de degré 2m — 1 dans le crochet (X,Xy).

Supposons d'abord m >i. Le crochet (X,Xy), qui est une combinaison des X,,, ne contient pas de terme de degré supérieure m, et comme 2m — i^ni il faut que

{\i Xy ) = O.

Cela veut dire que les transformations X.f engendrent un ^roii/ic G"' dont lotîtes les transformations sont permutables. D'autre part, la relation (1) nous donne

Cela veut dire que la transformation

du groupe ( i'" n'altère pas le point

ni d'ailleurs aucun des point^

1', = )./,. pj =),<,. .... p,. = /.<,..

quelle que soit la constante À.

QUELQUh'S REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. l'iS

Cela nous avertit déjà que le groupe G"' est intransilif. En effet, un poinl quelconque étant inaltéré par x' transformations, les ■do'' transformations du groupe ne pourront transformer ce point qu'au plus en oo''" ' points différents.

Avant d'aller plus loin, signalons quelques-unes des propriétés du groupe G'" et des fonctions W^",.

Nous avons vu au paragraphe précédent que si

est une substitution de notre groupe G; si

est une autre substitution de ce même groupe, et L > la substitution correspondante du groupe adjoint, on a la formule

(TU„i = (.TL-..

Comme (TU) appartient aussi au groupe G, nous pouvons poser

(TU) = T'= ï/i.\x-(/i.

Nous poserons

T'/=i;/,\I. T'j=zù\t

en définissant comme plus haut les fonctions W^, et les symboles X^. On aura alors

Or T* et T'' sont homogènes de degré g par rapport aux v. Uo (, comme appartenant au groupe adjoint dont toutes les substitutions sont linéaires) est homogène de degré o par rapport aux c, et par conséquent (T^Uq) est homogène de degré q. de sorte quon aura

iT'7U„) = T-'/ et en particulier

(T'"Uo) = T'"'.

Cela signifie que le groupe G"* est permutable aux substitutions du groupe adjoint.

Cherchons maintenant les i/ntniants du groupe G"'.

La Condition nécessaire et suffisante pour que le point Ci, i^, . . . , iv ne soit pas altéré par la substitution T"', c'est que l'on ait

Ce sont des équations linéaires par rapport aux t, et le déterminant de ces

écjiialiolis esl nul comme le prouvent les relations (r bis). Ces équations (?>) déterminent les points qui ne sont pas altérés par la substitution T'". Je remarque que l'ensemble de ces points ne sera altéré par aucune des transformations de G'", ji! veux dire que ces transl'ornialions transformeront ces points les uns dans les autres. Si, en etFet, M est un pdini inaltéré par T'", et si c" est une substitution quelconque du groupe G'", qui change M en M,, le point M, sera inaltéré j)ar la transformation e~"T"'e", cVst-à-dire par T'" j)uisquc les substitutions du groupe (i'" sont permutables. Donc e" change le point M inaltéré par T'" en un autre point inaltéré par T'". c. q. i. d.

Revenons aux équations (.3). .lai dit que le dctciiuinant était nul. .Supposons que les mineurs des />' — i premiers ordres soient tou> nuls également, mais que ceux du A'*""' ordre ne soient pas tous nuls à la foi-. Conservons alors /• — // des équations i'i); les autres en seront des conséquences; et adjoignons-y /( — i équations linéaires (|uelconques à coefficients constants entre les t. Nous aurons ainsi /■ — i équations, qui détermineront 1rs rapports de> f/^ d'une manière cl d'une seuh', et la substitution

n'altérera pas le point c,, c.,, . . . , c,; cette substitution el ses puissances seront d'ailleurs les seules substitutions du groupe G'" ipii n'altèrent pas ce point el qui satisfassent à nos /( — i équations linéaires à coefhcicnts constants.

De nos équations nous tirerons les rapports des //^ en fonction des t . Si une substitution qiu'lconque du groupe G'" change les r en r', les transformations qui n'allèrent pas le jioinl v] devront être les mêmes que celles ipii n'altén-iii pas le point c,. Donc nos ;• — i équations doivent encore donner les mêmes valeiirs des rapports des U quand on y remphu^era les i' par les r'. En d'autres termes, les rapports des /* tirés de nos équations devront être des invariants du groupe G'".

Nous pouvons, pour former nos /( — i é([ualions supplémentaires à coefficients constants, nous borner à égaler à zéro A — i des paramètres t/^. Dans ce cas les autres /a sont entre eux comme des mineurs d'ordre h de notre déterminant.

En résumé : les rapports des mineurs d'ordre h du déterminant des équations (3) sont des invariants du groupe G'".

Le nombre des invariants distincts du groupe (i'" doit être précisément/!; car notre grcuipe contient oo' transformations. Chacun des oc' points r,, Cj, ...,

f, de l'espace domcure inaltéré par «''' Iransformalions ; il peut donc èlre changé en co'"''' autres points de l'espace. H y a donc /( invariants, et h seuloiiienl.

J'ai dit plus haut que le déterminant des \\ ,a se réduit à une constante. Il est aisé de voir d'abord que cette constante est égale à i . On a en efYet (i i :

et par conséquent, en égalant dans les deux membres les termes du premier

degré,

-\^ ",'■/- '•-■ d'où l'on déduit :

ce, qui montre que quand les c s'annulent, c'est-à-dire quand les \\ n, se réduisent aux W "/ , le déterminant se réduit à i. (lomme ce déterminant est une constante, il est toujours égal à i .

\'ojons quels sont ses mineurs. Si la t'oruinle(i) du paragraphe précédent s'écrit :

nous avons vu que les Ua, sont des polynômes et, le déteuminant étant égal à i, ces poh nomes ne sont autre chose que les mineurs en question.

Comparons maintenant les formules (i) et (2) du paragraphe précédent. Nous verrons que les polynômes VV/;, et L'/;, sont les uns et les autres les résidus d'une certaine intégrale et (pie les quantités sous le signe intégral diflTèrent seulement par un certain tacleiir, (|ui est

pour l'une des intégrales et

pour l'autre. Développons donc ces deux lacleurs

Soit

I*"' sera un |jolynome homogène de degré m pai- rapport aux r.

Nous avons défini plus haut ^\ ',',. De même, IJ'/, sera l'ensendjle des leruies

■'38 QUELQUES REMARQUES SUR l.hS GROUPES CONTINUS.

de degré q du polynôme U/,,; nous trouvons alors :

d'où

Les deux polynômes homogènes Ij'j.- et \\ '^, ne diffèrent donc que par un facteur conslanl facile à déterminer. '

Entie les éléments \\ /,, de notre déterminant et ses mineurs U/i, nous avons les relations bien connues :

En égalant les termes du degré le plus élevé, il vient :

quels que soient /et y; et puisque U") ne diflere de W"' que par un facteur numérique constant :

De là une propriété remar([uablc du groupe Ci'". Considérons un point particulier

c'i'. lii (■;:

et cherchons parmi les transformations du groupe (i'" celles qui conservent ce point i'". Soit W"!" ce que devient W,'| quand on y remplace les c, par les c". Les substitutions cherchées seront données par les équations :

lesquelles, en vertu de la formule (6), admettent pour solutions :

Combien, parmi les solutions ainsi obtenue>, y en aura-t-il de distinctes?

Le déterminant des ^^ est, comme nous l'avons dit, nul ainsi que ses mineurs des h — 1 premiers ordres. Cela fera donc r — /* solutions distinctes. Comme le problème en comporte /j, on devra avoir :

de sorte que /( est au moins égal à - •

La relation (6) nous montre enrore que si les dvi satisfont aux relations

qui définissent le groupe G'", on aura :

(S) '^\\'"i dv,= n.

Les équations (8), dont /■ — /( sont distinctes, peuvent être regardées comme les équations différentielles des invariants du groupe G'".

Mais la formule (6) n'(>si qu'un cas particulier d'une formule beaucoup plus générale. Soit, en effet,

On déduira de là :

(io;i I,;' = i;/i,\'/,.

les V^^ étant des polynômes homogènes de degré ij p.ir rapport aux r, et l'on verrait, en raisonnant comme plus haut, que \ J, ne diffère de W'^, et de U'^, que par un facteur numérique constant facile à calculer.

Quant à la signification des h^'i\ elle est facile à comprendre. D'après ce que nous avons vu dans le Mémoire cité de Cambridge, si l'on pose

\ = 1 c.X,. H = i; /(,\,. Ili'/i = Z h'!' \,.

on auia

Hiil = (\ Il I. Hi'?)= ( VHI'/-')).

Si donc on change A, en h/' dans la formule (g), il faudra ciianger /;/' en II'/'*''' ; on a donc

iii;) hr" = -s. hf \%

Comparons alors trois formules qui ne diffèrent des précédentes que par les notations :

nous liûuverons

ou, puisque les V^ ne diWérent des W que par un facteur constant :

C étant un facteur numérique dépendant de p et de q.

Si p -h g est plus grand que m, W 'y,- ' doit être nul; de sorte que

ioiniule dont l'équation {6) n'est (ju'un cas particulier.

La formule (Ghis) nous donne un procédé simple pour former les polynômes ^\ .

On a en particulier :

de sorte que des équations du groupe Ci'" : on pourra déduire :

nouvelle forme des équations différentielles des invariants du groupe G'". On a, en particulier.

11 esta remartpier que le^ équations (<S)el(<S 6/i) ne sont que des conséquences des équations ( (S ter): car, en \ertii <lc (d Ois) .

iw;',,/,-,-^ ilw/, 'il \\,',r/,-,)|.

Autre re/»iirt/iie : Nous avons vu plus iiaul que dans l'expression

d\ ne peut jamais s'annuler. Si donc nous reprenons nos équiitions ditl'érentielles

nous voyons que les r polynômes

ne peuvent s'annuler tous a la fois, et cela (juels que soient les coefficients arbitraires /| , /j, . . . , 1, ■

Où, pour employer le langage géoiuélrique, les équations

représentent ;■ variétés à /■ — i dimensions dans l'espace à / dimensions. Ces /• variétés ne peu\ent se couper qu'à l'inlini.

Ces équations difl'érentiellcs peuvent d'ailleurs s'intégrer aisément, et nous

QUELQUES REMARQUES SUIl LES GROUPES CONTINUS. 2^1

allons voir quelle est la forme de lintégrale générale. Soit

et clierchons à exprimer les c en fonctions des ii et des ir.

Soient \o, A|, L les sul)stitiitions linéaires du groupe adjoint correspondant aux transformations e^ \ e^^, e^ ; soient Â"^, À'^, /,/ leurs coefficients.

Les V'- nous seront donnés en fonctions des m, à l'aide de la formule

,,0 ' fflfe-'-Vg

OÙ P^ est ce que devient P,, quand on y reuqjlace les c par les u; car I" (^) se réduit à ( — £)'. Le dénominateur est indépendant des ;/ ; le numérateur est un polynôme entier par rap|)ort aux ii . Donc les À" sont des polynômes entiers par rapport aux u.

De même, les "/.■ seront des polynômes entiers par L'apport aux iv, de sorte que les / seront des polynômes entiers par raj)|)ort aux (/ et aux iv.

Calculons maintenant les 6,, en lonction des / à l'aide de la foiinule ( 7 ) du paragraphe II; celte formule s'écrit :

car<I»(e~') se réduit à (i — ■e~''-)' . Le seul facteur dépendant des / est Q,,, qui est un polynôme entier. Donc les b sont des polynômes entiers par rapport aux /, et par conséquent par rapport aux u et aux n'.

Nous avons vu que les f' sont liés aux Ij,/ par des équations linéaires; les c' sont donc aussi des polynômes entiers par rapport aux u et aux iv.

[Reprenons maintenant la lurinule (()) du paiagraphe 111 { ' ). Elle peut s'écrire

car

i'(;i = (— çi'-.

Ici encore P,/ est un polynôme entier j)ar rapport aux c', di; sorte que le second membre est un polynôme entier par rapport aux c'; on déduit de là, en revenant

(') 1^3 forriiulo (li) du |iai-a;;[aplic III n'est pas exuile; rf. Note de la pa^'c !.!i. Les conclusions entre crochets sont à reprendre (.1. D. 1.

242 QUIÎLQUES RK\fAnOUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

à la formule (- ) du paragraphe III :

que 0, est un polvnonie entier par rapport aux v'.

Donc les r" sont des polynômes entiers par rapport aux u et aux n'. Ainsi les i' Sont des polynômes entiers par rapport aux u et aux iv; c'est-à-dire que si l'on intègre les équations différenlieiles

en clierclianl à exprimer les i- en fonctions des u', les intégrales seront des polynômes entiers. ]

V — Étude plus détaillée du groupe paramétrique.

Reprenons l'équation

<>r pW — g\

du paragrapiie III et étudions de plus prè> les c regardés comme fonctions des u et des n'. ^ous conserverons aux lettres \„. \|, L, XJ' , À,' , l,j la même signilication qu'à la fin du paragraphe III.

Nous avons vu dans quel cas les bu, cessent d'être de> fonctions holomorphes des /et ])ar conséquent des u et des ir; examinons plus complclemcnt les singularités qui peuvent se produire, et [)our cela leprenons la lormule (-) du paragraphe II. Ci'ttc formule est susceptible de simplilication.

Le contour d'intégration doit envelopper toutes les racines de l'équation de Killing en laissant en dehors ces mêmes racines augmentées d'un multiple de 2?7r. Nous pouvons donc supposer que ce contour est un rectangle dont l'un des côtés, parallèle à l'axe des quantités réelles, est très gr.ind, tandis que l'autre, parMlléle à l'axe des quantités imaginaires, est égal à iir..

Désignons par •j'iO l^i fonction sous le signe intégral. Si l'intégrale prise le long des petits côtés du rectangle tendait vers zéro, quand les grands côtés tendent vers l'infini, notre intégrale

|)rise le long du rectangle entier, pourrait être rempl.icéc par l'intégrale

QUELQUKS REMAROUKS SUR LES GROUPES CONTINUS. > I >

prise le long de l'un des grands côlés (par exemple le long de l'axe des quantités réelles).

Les choses ne sont pas tuul à l'ail aussi simples. Nous avons, en efl'el.

Pour t= 4- co. e~' et par conséquent ]/(;) tendent vers zéro; mais pour ; = — co, e^i tend vers l'infini. L'expression

est le quotient de deux polynômes de même degré en e^^; elle tend donc vers une limite (inie et déterminée que j'appelle A.

Modifions alors légèrement la formule {'])', l'intégrale

prise le long du rectangle est nulle, puisque à l'intérieur du rectangle le dénominateur ne s'annule que pour ; =o, et qu'alors le numérateur s'annule. Je puis donc écrire :

Je poserai

et je vois que 0 tend vers zéro, aussi bien pour ^= — • oc (pie pour : ^= + go. Alors si les grands côtés du rectangle sont très grands, l'intégrale (7 (jt"), prise le long des petits côtés, est nulle. On aura donc

l'intégrale étant prise le long de l'un des grands côtés. Mais la fonction 0 {'l) est périodique, de sorte que 9(;) = 5(; + 2/7:). C'est ce qui nous permet d'écrire tout simplement :

• Nous avons vu qu'une singularité peut se produire quand deux racines de l'équation de Killing ditièrent d un niulti|)le de 2i7T.

244 QUELQUES REMARQUES SIR LliS GROUPES CONTINUS.

Soient donc w, el (o.i deux de ces racines et je suppose qu'à un moment donné la différence u, — oj, devienne égale à imiv:.

Originairement le chemin d'intégration, que j'appelle C, [lassc entre les deux points cj| et <,>.;.-\- imivr. et c'est à l'inslanl où ces deux points se conl'ondent qLi'il peut y avoir une singularité. Considérons un second chemin C ayant mêmes extrémilés (|ue C, mais laissant les deux points oj, ei !>i>-\- -.iiiii- d'un même côté. Le point iù2-\- iniin se trouvera |iar exemple entre ces deux chemins C et C. L'intégrale prise le long de C sera alors égale à l'intégrale prise le long de C plus 27t\/ — i Rj. Ra étant le résidu de 0(;) relatif à la racine Wj r- 'iinir.. ou. ce qui revient au même, à la racine oj... J écrirai

en désignant par .l(G) l'intégrale le long du chemin C.

(^uand les points w, el '.12+ 2min se conl'ondent. .1 ( C ) reste hohunorphe. La singularité provient donc uniquement du terme en R^.

Supposons que les // ou les u' touincnl autour des \iileurs (jui correspondent à la singularité. 11 pourra arriver :

1° Ou hien que les deux points m, el Wj-j- i< /;?? r: tounuMit autour lun (h' l'autre, mais sans s'échanger. Dans ce cas R^ et par conséquent .1 ( C ) reviennent à leur valeur initiale. Lus 6,y restent donc des fonctions uniformes des a et des (f. Seulement ces fonctions peuvent desenir infinies parce qu'en général le résidu Rj croît indéliniruent ([uaiiil les deux points 'ii, et &),-(- 201/7: tendent l'un vers laulre.

2" Ou bien que les deux points r,), et M-i-\- 'imir. s'échangent. Dans ce cas Rj se change en R, et par conséquent •l(<') en

Les l>,j ne sont plus des fonctions uniformes des n et des (v.

Il est clair d'ailleurs que, tant ([ue h'S b,/ restent fonctions uniformes des 1/ el des IV', il en est de même des e. Cela est évident j)0ur les i ' qui' l'on déduit des 6,7 à l'aide d'équations du premier degré; [cela lest également pour les e" puisque les 0, sont des fonctions entières des c' {cf. la lin du § 111)] (').

Plaçons-nous donc dans le cas où les i' cessent d'être des fonctions unifoinies des II el des n'. el supposons que, les 11 et les iv revenant à leurs valeurs

(') L'unifurmilé des v n'est pas étalilif ici: K'Oir la Note anlérieuie, page 201.

QLELQtES REMAUQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 245

initiales apiè^ avoir décril des contours fermés, les c, ne reviennent {)as à leurs valeurs initiales, mais à des valeurs dillérenles que nous appellerons c" ; j'écrirai dailleurs :

Alors, en faisant varier les ii et les (v d'une manière continue, ou a pour les valeurs initiales

et pour les valeurs finales

Considérons maintenant les sub^tilutions \|,.\|, L du giou[)e adjoint, ([ui correspondent à e^. e^'' . p^. Leurs coefficients '/.", /.'. / sont des fonctions entières des ii et des i\-; ils reviendront donc à leurs valeurs initiales quand les it et les iv auront décrit des contours fermés. Donc la substitution L, qui correspond à e^ •, est la même que relie qui correspond à e^ .

Considérons maintenant la transformation

la substitution correspondante du groupe adjoint sera

c'est-à-dire l'unité. En d'autres termes, la transformation e^ e~'* ' sera permutable à toutes les transformations du groupe. Elle peut d'ailleurs dans certains cas se réduire à la transformation identique.

Les transformations finies qui jouissent de cette propriété s'appelleront les transformations spéciales. Elles forment dans le groupe proposé un sous-groupe invariant discontinu. Toutes les racines de l'équation de Killing sont, pour ces transformations spéciales, des multiples de 2/77.

Il ne faut pas confondre ces transformations spéciales avec les transformations infinitésimales qui sont permutables à toutes les transformations du groupe et qui. comme nous l'avons vu, existent dans certains groupes.

Tous les groupes contiennent-ils des transformations spéciales ? Soit d'abord une transformation e\ et supposons que les racines correspondantes de l'équation de Killing soient toutes distinctes et commensurables entre elles. On pourra alors choisir la constante x de telle sorte que l'équation de Killing correspondant à e*^ ait toutes ses racines multiples de 2/7:. La transformation e*^ sera alors évidemment spéciale.

Mais ce que nous venons de dire ne s'appli([uerait pus toujours au cas où

•2i6 OHELOUES HEMARQIES Sl'R LES GROUPES C0>T1M S,

l'équation de Killing aurait des racines multiples. En effet, on sait qu'une substitution linéaire peut toujours être ramenée à une forme appelée canonique, mais que deux cas peuvent se présenter. Tantôt la forme canonique est la suivante ;

les nombres «, h, c, d pouvant être égaux ou diflerenls. Tantôt elle est analogue à lune des suivantes : •

les nomjjres e n'étant pas tous nuls.

Dans le premier cas, je dirai, pour abréger le langage, que la stilisliliition linéaire est ordinaire : dans le second cas quelle est paraboliqiir.

Or aucune |)\iissan(e d'une substitution parabolii|ue ne peut se réduire à la substitution unité.

■Ue-

Si alors notie groupe admet une trau' fiuniation spéciale une puissance d'une certaine iransformalioii infinitésimale c^ ; si L est la substitution du groupe adjoint qui correspond à (.'\ celle qui correspond ;w^^ sera L^. Comme e^^ est spéciale, L" se réduira à la subslitution unité. Donc L ne peut être |)araboliqiie.

Si l'équation de Killing a des racines multiples, il |ieiit arriver que les substitutions du groupe adjoint soient paraboliciues, de S(jrte qu'on peut se demander s'il n'v a pas des groupes qui ne eontieniienl |)as de transformations spéciales. On peut en citer au moins un exemple : ce sont les groupes de rang zéro.

Soit maintenant e" une transformation spéciale quelconque,

les racines correspondantes de l'équation de killing; ce seront des multiples de 2(7r. Soit e^ une transformation ([uelconque,

les racines correspondantes de réqiialion de Killing; posons : et ^oient

(tj'j , to'., . .... w^

les racines de l'équalinn de Killins; correspondant à e^ .

Si An, A| et L sont les substitutions du f^roupe adjoint correspondant à e' ,

c^'' , e\ on aura

d'où

Cela nous montre (pie les '•>' ne difrérent des '.> que par des multiples de 2/-.

Faisons varier les // d'une manière continue, les e varieront aussi d'une manière continue et il en sera de même des '.) et des 'o'. Mais comme la différence de 1 un des m' et de la racine oi correspondanle doit rester égale à un multiple de 2/-. cette dilTérence devra demeurer constante.

Supposons que les valeurs initiales des (/ satisfassent aux proportions

», «5 II,-

(r, (!•■ ' ' ' II,-

de telle façon qu'oiiginairement ;'' et ''^^ soient des puissances d'une même transformation infinitésimale; on aura originairement

et «l'après ce ({ue nous venons de voir, celte relation lirvrd .subsister quand on fera varier les 11 d'une ■ manière continue en partant des valeurs initiales que nous venons de définir.

Si donc l'équation de Killing, pour certaines valeurs des c. admet les racines

pour d autres valeurs des c elle admettra les racines

e(. plus généralement, pour d'autres valeurs des r elle admettra les racines

), et a' étant deux coefficients quelconques.

Si l'on fait varier les // d'une manière continue pour les faire revenir à leurs valeurs initiales après leur avoir fait décrire des contours fermés, il arrivera en

général que les racines co se perniuleront entre elles: supposons qu'elles deviennent

les ',!,' n étant autre chose que les t.), placés dans un autre ordre.

Les racines de l'équation de Killing relatives à (?\ cpii étaient primitivement

deviendront

Or les expressions (2) ne sont autre chose (^dans un autre ordre) que Ci) (0, — T,-i. oj; — T^r', .... (.),.— T,ri

les T,^' n'élanl autre chose que les r, qui sont supposes avoir subi une jtermutalion inverse de celle qui ( hange les 'o, en w,' .

Nous avons donc deux déterminations des c, ou, si l'on aime mieux, de e^ ; dans la première les racines de l'équation de Killing sont les f.j,-|-T,, dans la seconde elles sont les o), + t ' . Les dilTérences des racines sont donc

c'est-à-dire des multiples de 27:\ — i.

Plus généralement : soient // transformations spéciales indépendantes, et soient

les racines cori-espondantcs. Si les 7, peuvent s'échanger entre eux (par suite de permutations analogues à celle qui change les t, (n r, ' et dont je viens de parler), les diverses permutations possibles des r,,,, des r,..j, ... devront figurer dans autant de lignes du tableau (4) comme si elles correspondaient à autant de transformations spéciales distinctes. .Si. par exemple. i= .'i, et si les racines sont r,, 7.,. t^. pour une des transformations spéciales et r,. t.,. t, pour une autre; si enfin quand on fait décrire aux c des contours fermés, les trois racines de l'équation de Killing peuvent subir une permutation circulaire, le

tableau (4) devra èlre formé comme il suit :

Cela posé, si pour certaines valeurs des c les racines de l'équation de Killing sont

O),. l'Ij '■),..

pour d'autres valeurs de c elles seront

À, /.|. '/.-,, .... '/.p étant /? + ! coefficients quelconques.

Revenons maintenant »ur une question que je n'ai fait qu efllcurer plus haut et qui est assez délicate.

J'ai supposé que e^ e^^ était susceptible de deux déterminations c^ et e^". et j'ai dit que e'^e^^» était une transformation spéciale. J'ajoute que cette transformation peut se réduire à la transformation unité.

On pourrait d'abord croire le contraire. Si. en effet, on avait

eVc-V,= ,.

on aurait

et les deux transformations*^^ cXc''" seraient identicjues. contraiicnienl àl hvpothése.

Ce raisonnement serait in^uflisant. Nous avons en effet obtenu (;^ ■ en faisant varier les ii et les iv dune manière continue, partant de certaines valeurs initiales et revenant à ces mêmes valeurs. Réservons donc les notations Ll, \^ , u, IV pour désigner ces valeurs initiales; et désignons parL", \\ '. »', w' les valeurs variables de ces mêmes quantités. Nous poserons alors :

de telle façon qu'au commencement IJ . \\ ' et \ ' se réduisent respectivement à L, \\ et \. et qu'à la fin l ' et \\ ' reviennent à leurs déterminations initiales U et \\ , tandis que A' alioulil à une détermination différente ^ „. Envisageons alors la transformation

eVe-v'=eT.

25o QlEl.ylES HEJIABQllES SIR T.ES GROIPES CONTINUS.

Au commencement elle se réduira à la transtormalion identique, elle prendra ensuite diverses déterminations, et à la lin il pourrait se faiie que e^ se réduisit de nouveau à la transformation identique. Il ne s'ensuivrait pas forcément que V dût se réduire à V. On a en effet

Si l'on suppose T = o, l'une des déterminations possibles du second membre est certainement e^ . mais il peut se faire que ce second membre ait d'autres déterminations (de même [que e^e'^, d après notre liypolhèse, est susceptible de deux déterminations e^ et e^°).

Il est aisé de faire des exemples. Je suppose que les r soient choisis de telle sorte que la dilléience de deux des racines de 1 é(|uation de Killinj; relatives à c^ diffère [)eu d'un nuilti|)le de 2 û\ — i . Faisons ensuite varier les / dune manière continue, chacuue de ces variables partant de la valeur zéro, décrivant un |)etit contour fermé, ei revenant à la valeur zéro. Nous pourrons clioisir ces contours de telle façon que les deux j)oints très voisins qui représentent l'une des deux racines de Killing dont je viens de parler et 1 autre racine augmentée d'un multiple convenable de 2 tt y/ — 1 , que ces deux ])oints dis-je, s'échangent l'un avec l'autre. Alors, au début r '«"^ se réduira à e\ et à la fin ne se réduira pas à e^ bien que T se léduise de nouveau à zéro, l.e raisonnement précédent est donc insuflisant.

Soient maintenant r^^ et e"" deux transformations correspondant à une même substitution A du groupe adjoint. Soient e' une autre transformalKin et \' la substitution correspondante du groupe adjoint. Soient

(12) ei'eW=:eV

Il est clair que les deux transformations e^ et e^° correspondront à une même

substitution

du groupe adjoint. Si donc nous appelons w, et t.j" les racines de Killing relatives à V et V,,, les différences o), — w" seront des multiples de •j.ti\^ — i .

De même, si nous appelons 5,- et 9° les racines de Killing relatives <à '\^ et Wd, les différences 6, — Ô° seront aussi des multiples de 2t.\/ — i.

Si l'on fait varier U d'une manière continue. W et AV„ ne changeant pas, les différences r,,, — wj' devront varier d'une manière continue, et comme ce sont des multiples de ht; y/ — i elles demeureront constantes. Or. |)our U = o,

OlKl.QliES niaiAROlES StR LES I^ROl l'ES CONTINLS. 131

1,1, et w" se réduisent à h; et (5" : on iiiua donc, (|uel que soit U,

Une observation avant d'aller plus loin : tout à l'heure j'ai démontré 1 "égalité

((i his ) - 0)J = 0),-^ -,■

on partant d Une identité analogue à (5)

OÙ (?^^ était spéciale. Pourquoi n'ai-je pas comme ici piis, pour valeur initiale de L), U = o. mais ai-je supposé pour ces valeurs initiales

«1 II'. "r „

C'est que, pour avoir le droit de prendre à l'origine U = o, il faut être ?ùr que, quand les u sont très petits, les (\' différent très peu des c; c'est-à-dire que les accroissements subis par les r sont très petits quand ceux des u sont très petits; c'est-à-dire que l'on n'est pas dans le voisinage d'un des points singuliers des écjualions dillérrutielles auxquelles satisfont les r. C'esl ce qu'on peut admettre pour l'idriitilé ( 5 ) où, <?^^ est quelconque, mais non pour l'identité (7) où <?" est .H|)éciale.

.Ir me borne à ces rapides indications. Mais pour faire comprendre le parti qu'on pourra sans doute tirer des relations (6) et (6 6/.s), je me supposerai placé dans un cas simple, celui où l'équation de Killing a loiiles ses racines simples. Soit / le rang du groupe. Ou pourra alors trouver /systèmes de valeurs des r, telles (|ue les valeurs correspondanles des racines de l'équation de Killing, que j a[)pe!lerai

soient linéairement indépendantes; je veux dire que les - ne soient pas liés par des relations à coefficients constants de la forme

'i\'i\ -T- (/;T:,i|-t-. . . •- (ii-ii= O [i = \ r).

de telle façon, en même temps, que les rapports des éléments d'une même ligne de ce tableau soient commensurables ; ou mieux encore que tous les ( soient des multiples de 27r\ — 1.

Les racines étant simples, les Iransformalions correspondantes seront

spéciales, et alors nous verrons que les racines de l'équation de Killing pour une transformation quelconque seront des combinaisons linéaires des t; je veux dire que. si

tO]. to^ OJ,-

sont les racines de l'équation de Killing, on aura :

(.),= (1,1,1— 0,T,-, — '. . .— rt/T,7 ((' = I r).

les a étant dt^s fonctions des r.

Ce théorème est probablemenl vrai dans des ca> beaucoup plus généraux, mais je me suis iiorné à un cas très simple parce (\uv je ne vnulais qu'indiquer une marcliL' à suivre.

VI. — Quelques mots sur les équations différentielles du groupe.

Dans le paragraphe précédent nous avons envisagé les points singuliers des fonctions i' regardées comme des fonctions des ii et des n\ définies par 1 équation

gl f,\\ -- ^v

Pour cela nous nous sommes servis des relations finies qui relient les v aux a et aux iv. Mais on pourrait également faire usage des équations différentielles (pii délinissi'nt les t'. Rappelons la forme de ces équations différentielles.

Si, par exemple, nous faisons varier les n' en laissant les it invariables, si plus particulièrement nous posons

iVi=iti. \\=eT,

en faisant varier £ et laiss.int les t invariables, de sorte que ^u gôï ^ pv gU g.c+./cT =; eV+./v

on aura l'équation difl'éruntielle

pV pT./î eV+(/V

ce qui peut s'écrire, d'ajtrès la formule (2) du paragraphe lU,

Les —7-^ seront dune une somme de termes de la forme suivante : chaque

rtE '

terme sera le produit de ^^ si 03^ est une racine de l'équation de Killing

QIIELQUKS nE.MMlOUKS SUR LES GIIOUPES CONTINUS. '.')J

OU d'une puissance de r- si w/, esl une racine niulliiile) cl d'une fonctidn

ralionnelle des r et de (.ja.

Comincnl l'un de ces termes peul-il cesser d'ètie une fonclion liolonior|)lie des p»?

i" Si &J/, devient un niulllple de 2-\ — i, auf|nel cas le premier lacleur devient inliiii.

2" Si l'érjuation de Killing a une racine nudtiple, oulre celles qui existent toujours, auquel cas le second facteur cesse d'être une fonction unitornie des e, et d'ailleurs cesse éralemenl d'être fini.

C'est le premier cas auquel nous nous attacherons particulièrement.

Si nous égalons à des multiples de 27r\/ — t les dilierentes racines de l'équation de IVilling, nous obtiendrons autant d'équations entre les c que réqualion de Killing a de racines distinctes. Mais il ne s'ensuit pas que toutes les équations ainsi obtenues (et que j'appellerai les équations E) soient distinctes. Il y a, en ed'et, entre les racines de l'équation de Killing des relations linéaires, et il arrivera souvent que. quand une de ces racines deviendra égale à un multiple de 27r\ — I, il doit en être de même, en vertu de ces relations linéaires, d'une ou de plusieurs autres racines. Si donc l'une de ces équations E est satisfaite, il pourra arriver qu'une ou plusieurs autres, parmi ces équations E, en soient des conséquences nécessaires. Nous supposerons donc, que l'on donne aux c des valeurs qui satisfont à l'une des équations E et à toutes celles qui en sont des conséquences nécessaires, mais qui ne satisfont à aucune autre des équations E. Ces valeurs des c (si d'ailleurs l'équatloii de Killing n'a pas jilus de racines multiples que pour des valeurs iinelcon(iues des c) constitueront ce que j'appelleiai un [)oint singulier de premiire espèce de nos équations diU'érentielles.

Soient alors r", c!!, . . ., e" les valeurs des e qui correspondent à un de ces points singuliers de première espèce; soit «}' la valeur correspondante de wa- Parmi les w" il y en aura un ou plusieurs qui seront multiples de 27: y/— 1 , soit par exemple oj", oj", . . . , w". Les équations E

0J,= iumII. ■<- \ — I (2 = 1, ■>. q)

devront (d'a|)iès l'hypothèse que nous venons de faire) être des conséquences les unes des autres. Cela veut diie que o,,. 01.,, . . ., gi,, devront être des multiples d'une même quantité 'o, de sorle que 01", '.)!|. . . ., w," seront des multiples de la quantité correspondante oi,)) laquelle devra être un multiple de i-k\/ — i.

234 QUKLOUES [1EMAI\QI!ES SUli LES GROUPES COXTINIS.

Dans le voisinage de ce j)oint singulier, lus —jj seront égaux à des séries

ordonnées suivant les puissances croissantes des l'y — i" divisées par une puissance de 'jj — (ij„. La présence de cette puissance de 'i> — oi,, au dénominateur

provient de l'existence dans les diflerenls termes des — r-' d'un facteur

al

lequel peut être élevé au carré ou à une puissance sii|)éiieure. si la racine w; de l'équation de Killing est double ou multiple. Mais 'jj est lié aux e par une relation algébrique

laquelle se déduit iiuniédiutement de l'équation île Killing. On a alors

f/to (Il tlv , (h

Les dérivées àe f sont des polynômes entiers par rapport aux e et à m. 1-e

polvnome ,- n est pas nid, sans quoi deux des racines de Killing ordinairement

distinctes viendraient à se confondre el le poiiil singulier ne serait jilus de première £spèce. Ou a donc

rf'" V II '^'''

les II, étant développables suivant les puissances tles e, — e" el de '.i — oj,,. Ainsi --J- (comme les -^-^ j est égal à une fonction bobmiorphe des cy — e'- et

de oj — ojo, divisée par une puissance de w — fij,,.

Telle est la (orme des équaticuis difléreiitielles dans le voisinage de notre point singulier.

Nous pouvons donc écrire

dw Ù ,l\-, \ ,

(/; I (0 — oj„ 1/' ih I (') — (1),, )/'

les Î2 et les \ , étant holomorphes. Soit maintenant

il viendra

fhti f/i'j

OUEI.QLKS KEMAIIOIES SUR LliS GROUPES CONTINLS. 255

On tirera de là, par un théorème bien connu, w ut les i', en séries procédant , suivant les puissances de z et se réduisant à w» et c)' pour r = o. Soit

(•2> w — io„ — n,^-^-' rtjj.+, Tl^+i — . . .

ce dévelopjiemenl ; ou en lirera d'où

Pl^ +-

b étant un coefficient constant facile à calculer. Cela montre qu'en général w (et par conséquent les c) n'est plus une fonction uniforme de z dans le voisinage du point singulier.

11 y aurait exception seulement dans le cas où a,,, -c/jj.^!, . . . étant nuls, l'équation (2) se réduirait à oj = ',)». c'est-à-dire dans le cas où 12 serait dix isible par fjj — w„.

Mais dans ce cas, si \ , ne s'annule pas pour 01 = (.>,,, t'^^i'", nos équations n'admettront pas de solution telle ([uo l'un ait 01 := 0)0, ('a = t" pour £ = o.

Or revenons à la subslilulion L, qui est la substitution du groupe adjoint qui correspond à e^ ; et étudions les équations dillerenlielles auxquelles satisfont les coefficients /,/ de cette substitution; elles seront de la lorme

les A étant des fonctions linéaires do.-, l. Les / sont, d'autre part, des fonctions entières des e; pour (;(== v\ ces fonctions entières se réduisent à /"■. Les équations (3 ) admettront une solution telle que hj^ l''j pour s = o.

Considérons celte solution, où les /sont donnés comme des lonctioas liolomorphes de £.

Nous savons d'autre paît que les l sont des fonctions entières des (^ :

Les /,j étant connus en fonctions de £, on tirera les r/,- des équations (.'[), lesquelles équations (4), comme nous le savons, sont satisfaites pour

Pour discuter ces équations (4) je ferai usage d'un lemme que j'ai démontré au début de ma Thèse inaugurale.

256 QrF.LQlES REMARQUES SLR LES GROUPES CONTINUS.

D'après ce lemme. dans le voisinage des valeurs (5) :

1° Ou bien les ça- seront des fonctions alaébroïdes des /, et tendront vers vl quand les lij tendront vers /°y, et par conséquent quand £ tendra vers zéro.. Ce cas doit être exclu puisque les équations (i) n'admettent pas de solution se réduisant à i" pour £ = o.

2" Ou bien les équations (4) cessent d'être distinctes quand on v fail /,/= /"y En d'autres termes, pour une infinité de valeurs des i/,. très voisines des r", les l,j se réduisent à /"y, de sorte qu'une infinité de transformations e^ correspondent à une même substitution du groupe adjoint. C'est le « cas d'indétermination », sur lequel nous aurons à revenir.

Nous avons laissé de côté le cas où tous les V, s'annuleraient. Sans le discuter à fond, je me bornerai à remar([uer que cela ne peut pas avoir lieu pour toutes les valeurs des r compatibles avec la condition

t.) = 0J„ = iiiult. >~\ I .

En d'autres termes, tous les \', ne peuvent |)as être divisii>les par oj — f.j,,.

Il résulte de là que, poiii- c[u'une singularité se présente, il ne suflit pas que la différence de deux racines soit un nuiltiple de aîi y/ — 1 (condition que nous avons trouvée à l'aide des relations finies), il faut encore qu'une racine soit un multiple de it.\j' — 1 (a(in que les équatiojis diU'érentielles pri'senlcnl un point singulier \.

Si donc la dllférence de deux racines desient ét;ale à un multiple de 3 7r\'' — 1, ou bien les r restent des fonctions lioloniorplies des it et des iv, ou bien une troisième racine deviendra égale elle-même à un multi|ile de 2 tt y — 1. (hielle que soit celle de ces deux alternatives qui se présente, on pourra en déduire d'intéressantes conséquences. Si c'est la seconde, on pourra trouver des cas où la différence de deux racines devra être elle-même une racine ou un multiple d'une racine.