SUR UN THÉOBKME DR M. FUCHS

Conservons aui notations

le même sens que plus haut. Le point analytique (y,, r\) devra être lié au point analytique (vo, )''.,) par une transformation hirationnelle. On aura donc

la substitution

appartenant au groupe appelé plus haut (V.

Les coefficients «, |3, y, ô dépendent de :■„ et de ^^i , mais ne peuvent être que des fonctions continues de ^i ; de plus pour z, = Zo on a ti=^ tg. Mais le groupe G' est disconliiui. Donc on a ijuels que soient ;, et ;;o

Ainsi l est une constante et il eu est par conséquent de même de Ç et de ■<] (|ui ne dépendent que de t. L'intégrale générale de l'équation (A) est donc

y = R(ç- Ti;,

où l'on doit regarder Ç et yj comme deux constantes d'intégration liées entre elles par une relation algébrique.

C'est le même résultat que plus haut.

Il reste deux questions à résoudre.

On peut se demander en premier lieu s il existe effectivement des équations intégrables algébriquement par le procédé que nous venons d'indiquer, c'est-à-dire des équations algébriques de la forme (A), de genre /' > i et satisfaisant aux conditions de M. Fuchs.

La réponse à cette première question doit être affirmative.

Soit en effet

une relation algébrique quelconque de genre /> > ' dont les coefficients sont constants. Soient

H. P. — III. i

'6 SIR IN TIIÉORÉMK DE M I ICUS.

OÙ o et 'Il sont de-, fondions rationnelles de l et de o dont les coofticients dépendent de z. Nous supposerons, pour fixer les idées, qu'ils en dépendent algébriquement. L'élimination de l et de r, entre les équalions (9) et (10) donnera une relation

où <I> est un polynôme entier en x et j- dont les coefficients dépendent de r. Considérée comme une relation entre .r et )' seulement, la relation (1 1) définit une surface de Rlemann de génie p, qui reste é([uivalente à elle-même i|uand on fait varier ;.

DifTérentions les relations (10) par rapport à z (c'est-à-dire en y regardant J et •/) comme des constantes), il viendra

iLv r/tf c/y t/'\i

-j'- est une fonction rationnelle de ; et de r,. Maintenant, des récitions (g) el ( 1 o) on peut déduire les suivanto

tS| et '^1 étant des fonctions rationnelles de .r et de r dont les coefficients dépendent <ie ::. 11 \iendra donc

l'i étant une fonction rationnelle de j; et de )• dont les coefficients dépendent de s. En éliminant r entre les équations (i 1) et (1 3) on arrivera à une équation de la forme (A), satisfaisant aux conditions de M. Fuclis.

On arriverait au même résultat en éliminant l el rj entre les trois relations

Soit par exemple

(l4) Fi '/. 1', u' I = o

une équation dont le premier menilire est un polynôme entier homogène <lu (|uatriéme degré en u, e, w.

Faisons-y

I II = a .!• -t- h r -^ c.

f II' = cu.i- :- /j^y ■+- G».

Slll IN THEOREMK DE M. KIT.HS.

OÙ les rt, les b et les c sont des fonctions algébriques de z. Nous écrirons

l'équation

¥{ax -^ b y -1- (-, «1 .>• H- A, )• -H c,, ««.r -h A,)' -i- c,) = o.

Nous appellerons A. A,. Aj, B, . . . les niinems du délerininant

Il \iendr,i

Ch ^ Cl t' -+- C;<V

OU en dilTérenlianl par rapport à ; et appelant B', B,. ... les dérivées de B, B|. ... par rapport à z

dy (B'«H-B',r-hB:.iv)(GM-hC,c+C,iv)— (C't<-HC'|i-f-C'.iv)(Bw-t-Bi<'-t-B.»)

' ' dz~ ' (C« -i- Cl p-t- 0,11,1=

L'élimination de u, c, iv et a: entre les équations (i/j)) ('s) et (i6) donnera une équation différentielle de la forme (A) satisfaisant aux condilions de M. Fuchs.

Passons à la seconde question qu'il nous restait à résoudre :

Etant donnée une équation flifférentielle ali,'ébriijue (A), de i^cnre p >- i, satisfaisant aux conditions de M . Fuchs et i/ue Von sait par conséquent intègrable algébriquenienl^ comment effectuer réellement celte intégration .

On a vu d'après ci' ([ui précède que cetie cjneslion se ramène à la suivante :

Etant données deux surfaces de Riemann équivalentes, trouver la transformation birationnelle qui permet de passer de l'une à l'autre.

Le problème ainsi posé présente la plus grandi' analogie avec le problème de la réduction des formes arithmétiques. On conviendra de dire qu'une équation algébrique

est réduite lorsqu'on l'aura ramenée par une transformation birationnelle à une forme que l'on regardera comme plus simple que toutes les autres. Il faudrait choisir les conditions de réduction de façon :

1° Que Ton puisse toujours trouver la transformation birationnelle qui réduit une surface de Riemann donnée;