III. — Transformations spéciales

Cela posé, faisons varier dans l'équation (i) U el \\ d'une manière continue, de façon que \ varie aussi d'une manière continue: soient L^, W,,. \« les valeurs initiales de U, \\ , \ : supposons que L et W décrivent un contour fermé C de façon à revenir à leurs valeurs initiales Lo et W„. mais (|ue \ ait pour valeur finale une autre détermination \ „.

Considérons un clieniin L sui\i par L et \\ el allant de L ' = W = o à U=Uo, W = \V|,; parcourons ce chemin de façon que la valeui- de \ qui correspond à L^ = Lo, W = W» soit \ = \ „ et supposons que la valeur de \ (|ui correspond à U = W ^ o soit \ = o.

Supposons maintenant que l'on suive h- même chemin L en partant de U = U„, W = Wo avec la valeur \ =V|,. On n'arrivera pas à U = W = o avec la valeur \ = o; sans quoi, en revenant à U = Llo, W = W„ par le même chemin, on v arriverait avec la valeur V= \ » et non avec la valeur \ = \ „. Donc, s'il y a plusieurs valeurs distinctes pour V quand elle est définie par l'équation il), il v en aura plusieurs également quand on fei'a l' = W = i);

NOIVELLES REMARQIES SIR LES GROIPES i:ONTINUS. ->7I

l'une de ces valeurs sera \ = o, mais il v en aura d'autres el généralement une infinité.

Les transformaticin? f^ qui sont ainsi les diverses soluliims de l'équalion

s'a|)pellent les trinisjoi-iitulidiis spi-cidlcs (Palerme, p. 353) ('); elles sont caractérisées par ce fait (pie leur adjointe est la substitution identique.

Nous p<iuvons tout de suite en donner un exemple simple. Envisageons le groupe des rotations; on a (Palerme, p. 332 ) (-)

3!, 3, ■/ étiint les cosinus directeurs de l'axe de rotation et a 5 l'angle de rotation. Les transformations spéciales correspondent aux rotations diml l'angle est mulliple de a-, et sont caractérisées par

D'après ce qui précède, ou bien il y a des transformations spéciales, ou bien les i- sont fonctions uniformes des u et des n- (ce qui arri\e par exemple dans le cas des groupes de rang zéro).

Il peut se faire également qu'il existe des transformations qui, sans être spéciales au sens propre du mol (c'esl-à-dire susceptibles de s'échanger avec <■" quand L et W décrivent des contours fermés) ont néanmoins |)our adjointe la substitution identique. .Je les appellerai quasi f/ii'ciales^

Il importe de remarquer que ces transformations quasi spéciales jouissent de quelques-unes des plus importantes propriétés des transformations spéciales. .Si, par exemple, <?* est spéciale ou quasi spéciale et qu'on jiosc

gl g.\ pV

f' et p^ auront même adjointe: les racines de l'équation de Killing seront les mêmes à des mulli|)les près de 2 7:\ — i ; ces multiples de\Mnt demeurer constants quand U varie d'une manière continue, ne pourront être autre chose que les racines de c^ (Palerme, p. 358) ( ' ). Donc, chaque racine de e^ sera égale à la racine correspondante de i'^ . plus la racine correspondante de e*. laquelle sr'ra un multiple de a77\ — • i.

Ce n'est pas tout. Les deux transformations <?' et e^ ayant même adjointe, on

(') Œuvres de H. Poincaré, ce tomt-, p. 24''- !"■) Œuvres de H. Poincaié, ce tome, p. a>'|. I-) Œuvres de H. Puiararr, ce Inine, p. .''(7.

verrait comme plus haut que, quelles que soient les conslantos a. el (3, f'*" et e^^'

(ou au moins lours adjointes si le j2;roupe est de seconde catégorie, cas sur

lequel je me réserve de revenir plus loin) sont permutables.

Soit iilors

une suite de transformations spéciales ou quasi spéciales el posons

on vrrrail, toujours pour les mêmes raisons, que les diverses transformations

sont permutables entre elles, quelles que soient les constantes a et |3, ; l'ensemble

des transformations

gar - Sfi, V,

forme un sous-groupe continu dont toutes les transformations sont permutables. .Si la /,'*■""■ racine de l'équation de Killing est lo/; pour c^ ^ et 7,/i pour c^', elle sera, pour la transfornuuion précédente,

(c/. l'aliTiue, p. .').")() in Jlnr) ( ' ).

(^.omparons le résultat précrdenl à d'autres qui ont été obtenus par d'autres voies et poui' cela reportons-nous à la Thèse de Cartan (Paris, Nony, i894). Nous voyons qu'il y définit un certain sous-groupe y. et que, dans les groupes simples en particulier, toutes les transformations de ce sous-groupe sont permutables. Soient maintenant deu\ opérateurs \, et X^. appartenant respectivement par rapport au sous-groupe y à deux racines égales et de signe contraire. '>>x et — ',\rj,. l'iirmoiis le crochet

Cartan démonti'e(p. /ja) cpie pour ^ ^^ les racines de l'équation de Killing ont leurs rapports commensurables. Il en résulte que l'on peut choisir le coefficient Aj de façon que [)Our e'«-''" toutes les racines de Killing soient des multiples de 2r\/ — I, et comme d'ailleurs elles se comportent conime des racines simples, il en résulte que r'"^- sera spéciale ou (piasi spéciale.

I.e sous-groupe y contient donc <les Iransfoiinalions S|)éciales e*', r'^'. ..., ('^'^

(') Œin'res de II. Pciimaié, rr tome, p. ''m.

NOUVELLES REMARQUES SUB LES GROLPES CONTINIS. îy'i

et la transformation la plus géaérak' di' / peut s'écrire

Comme d'ailleurs Carlaii inuntri' encore que les racines de Téquation de Rilling dans ce sous-f;roupe sont des fonctions linéaires des p, on aperçoit l'identité foncière du résultat dr Killing-Cartan n\ er celui que je viens d'obtenir par une voie toute difterente.

Si ('^ est une transformation spéciale, <-'('* sera une autre détermination de e^ : on aura d'ailleurs

gA — f,i ,,l

et

\,,i ,,\= pi\

c'est-à-dire que e^ sera permutable à c''; cela résulte de ce que l'adjointe de e^ est la substitution identique, mais on n'aurait pas le droit d'en conclure, ainsi que nous l'avons remarqué plus liaiil,

Prenons pour exemple le groupe des rotations, et représentons chaque rotation par un vecteur avant ])our composantes r,, i^, i;,. Le vecteur i'~-^e^t'^ s'obtiendra en faisant subir au vecteur e*- la rotation r.'\ et comme l'angle de cette rotation est un multiple de '>r.. ce vecteur ne changera pas. Au contraire, le vectem- e^*^ e^e' s'obtiendra en faisant subir au vecteur r* la rotation c' qui altère la direction de ce vecteur. Donc c^ e^<'^ et e* sont deux rotations d'un même angle, multiple de 2-, mais autour d'axes différents.

Terminons par une remarque sur le sens du mot isomorpliisme. Nous avons dit que les groupes paramétrique et adjoint sont holoèdrùjueiuenl isomorphes, dans le cas des groupes de la première catégorie. Cela n'est pas exact en un sens, puisque le groupe paraméti-ique contient des transformations spéciales auxquelles correspond dans le groujte adjoint la substitution identique. Cela est exact seulement si l'on se borne à envisager les transformations injinitésimaies, et c'est dans ce sens que nous emploierons ce mot d'ordinaire.