IV. — Transformations singulières

Reprenons l'équation e*^ c'^'^ := e'' , faisons décrire à l et à \\ un contour fermé de telle façon que \ ne revienne pas à sa valeur initiale. Comme les « et les (V sont 2/' variables indépendantes, le contour feimé décrit par 1 et \\ H. P. - Itl. ;,

pourra se décomposer en contours fermés infiniment petits (ce qui n'aurait pas lieu, par exemple, si l'on avait deux variables x et y non indépendantes, liées par une relation algébrique, de telle façon que le point analytique r, >• soit assujetti à rester sur une surface de Riemann non simplement connexe). Pour l'un au moins de ces contours infiniment pelit>, \ ne re\iendra pas à sa valeur initiale, la transformation correspondante e^ s'appellera une traiisforniation stiifiiilicre, de sorte que les diverses déterniinalions de e^ s'échangent entre elles quand on tourne autour d'une tran^formation singulière.

On peut voir (Païenne, p. .'"ia^ à 33o. 338 à 34o) (') qu'il y a trois espèces de transformations singulières (cette classification est la même, en principe, que dans le Mémoire de Palerme, mais les dénominations .sont modifiées) :

i" Les transformations singulières de la /ncni/ère esjièce sont celles dont l'adjointe a son déterminant nul. l'our (|ue e^ soit singulière de première espèce, il faut que l'une des transformations e^ , e" soit singulière de première espèce. Comme nous supposerons en général que f' , e^* sont régulières, les transformations singulières de première espèce n'auront pas à intervenir.

2" Les transformations singulières de la dei(xième espèce sont celles pour lesquelles deux racines de l'équation de Rilling diffèrent d'un multiple de 27r\/ — 1 ; il en résulte que, dans l'éqiialion déterminante de l'adjointe, les deux racines correspondantes deviennent égales, mais elles se eotnjiurlent comme deux r/iei/ies ilisi iinles. Dans ces conditions, les valeurs des r sont des fonctions indèlei minées des coefficients / de l'adjointe. Ce sont également des fonctions indéterminées des ii et des ec. Si nous prenons |)0ur exemple le groupe des rotations, une rotation d'un angle a- autour d'un axe quelconcpie (qui est en même temps une transformation spéciale) sera une transformation singulière de deuxième espèce. (Jii voit en efl'et que l'adjointe se réduit à la substitution identique, de sorte que l'on trouve

Cf., (3, y étant trois cosinus directeurs assujettis seulement à la condition

ïï— [iî— ■;== I, mais d'ailleurs indéterminés.

3" Les transformations singulières de la troisième espèce sont, comme celles de la seconde, telles que deux racines de l'équation de Killing diffèrent d'un

(') (Hùn'ies de II. t'oincaié, ce loiiii;, |). 09 à -2".. fi} à 'it.

NOUVELI.KS REMARQUES SLR LES GIIOLPES CONTINUS. '.■^5

multiple de 2-^ — i, et par conséquent que deux lacines de l'équation déterminante de l'adjointe soient égales. Seulement ces deux racines égales ne se compovient pas comme deux racines dislincles, et l'adjointe devient une substitution Vméah-ii /larabolir/ite. Dans ces conditions, si nous regardons les icomme des fondions des (/ et des i\', ces fonctions deviennent infinies et ncjn pns indéterminées.

^^ous emprunterons encore notre exemple au groupe des rotations. Supposons que e^ soit une rotation imaginaire d'un angle

arc liini; autour de l'axe des ;. de telle façon (pie

l'adjointe sera

- nvc (il nu -

Il I

Supposons maintenant que f" soil une rotation d'un angle 2h~-\- '- autour de l'axe des x^ ayant pour adjointe

La résultante e^ aura pour adjointe

L'équalina déterminante en S ^'éciil i — S \ — ,s (j

= — ( ^ — II

Elle a donc une raciiu; triple, mais celte racine triple ne se comporte pas comme trois racines simples, ou comme une racine simple et une racine double.. Il faudrait pour cela que les mineurs de l'équalion en S s'annulassent tous à la fois poui- S = I . ce cpii n'a pas lieu.

L'adjointe de c^ est donc une substitution parabolique. Quant aux racines de l'équation de Killing, elles doivent être l'une nulle, les deux autres égales et de signe contraire, ainsi qu'il advient toujours dans le groupe des rotations. Les deux racines qui ne sont pas nulles doivent être multiples de 27: y — 1 ; le raisonnement du paragraphe précédent montre t[u'elles dépendent de /, ; on peut choisir la détermination de l'arc tangente, de telle façon qu'elles soient égales à dz 2Â'7r \/ — I . Elles ne sont donc pas égales entre elles en général.

Or, si une substitution parabolique peut être une puissance d'une substitution linéaire infinitésimale, c'est à la condition que cette substitution infinitésimale soit elle-même parabolique. Si donc e^ a piuir adjointe une substitution parabolique de la forme précédente, il faut que r*^ , où x est très petit, ait également son adjointe parabolique, et par conséquent que l'équation de Killing ait ses trois racines égales.

Cela est en contradiction avec ce que nous venons de dire et la contradiction ne peut s'expliquer que parce que les c cessent d'être finis.

Il reste à étudier de quelle façon les transformations s'échangent entre elles quand on tourne autour d'une transformation singulière; cette étude peut se faire, soit en partant des équations finies du groupe, soit en partant des équations dilTérentielles et c'est précisémeTit la comparaison de ces deux méthodes (|ui est intéressante.

■V. - Groupes de la seconde catégorie.

Plusieurs des résultats précédents ne s'appliquent qu'aux groupes de la première catégorie, et nous avons à voir maintenant comment ils doivent être modifiés en ce qui concerne les groupes de la seconde catégorie, c'est-à-dire ceux f[ui renferment des transformations distinguées.

Parmi les opérateurs X, qui correspondent aux diverses transformations infinitésimales du groupe, nous distinguerons ceux qui correspondent aux transformations distinguées et que nous appellerons les X'', et ceux qui correspondent aux autres transformations et que nous appellerons les \, ( Palerme, p. 33^) ('), et nous poserons

distinguant ainsi les r' et les i '.

(') Œuvres de II. l'oincaïc, ce lome, p. ■nç).

NorVELLES REMARQUES SUR LUS GROUPES CONTINUS. 277

Nous voyons alors que les è,*, et par conséquent les P/k el !*'(;) dépendent seulement des t' et pas des v", et que

se réduit à o bu à - si le second indice j correspond à un des X", à savoir : à o

si les deux indices sont différents et à p s'ils sont égaux (dans le Mémoire de

Palernie il y a eu une permutation d'indices). Si nous avons alors

T étant très petit, il viendra (Palerme, p. 3.3 i) (')

d'où

di'i ^ dr'i

-=-f = o. ïauf -~ = I.

dt^ dtj

Cherchons alors à former les équations différentielles d'où dépeudenl les relations de U. \A et \ ; nous avons

,A^,\V=pV

ou (T élant très ])etil)

pL eW gl - gV pT

Or, en posant il vient

gl ,,\V^rAV gV^(/V^

ce qui délinit la relation dillV-renliello entre les f et les iv, les « restant constants.

Mais l'équaliou

eV+,/v ^ g> ,,T

peut s'écrire (Palerme. p. 33 i) (')

"/ R/Sv '

de sorif (pie nos relali(ins difrérentielles peuvent sécrire explicitemenl Cl Œuvres Je II. l'uincaré. ce tome, p. 2'3.

278 NOIIVELLKS REMARQUES SlIK l-ES GROUPES CONTINUS.

OÙ P,'^ et F| {l) désignent ce que deviennent P,y et F(;) quand on \ remplace le> !■ par les tv. Je puis les écrire aussi sous la forme

Ci' i,\\„,/nv=i;,\,;r/,v.

les \ ,j étant des IVinclions enliéres des r, et les \\ ,, les mêmes fonctions entières des H-.

Par je ne sais quelle inadvertance, j'ai écrit simplement (Palerme, p. S.rig) (')

et je voudrais d abord laire voir que la conclusion fondamentale n'est pas altérée.

Dans le cas des grou|)es de la seconde catégorie, les \ ,, ne dépendent que des r' et le coefficient de /h'- se réduit à zéro si /' est diirércnt de (', et à i

si y = /.

.le puis donc écrire, si l'indlcr / correspond à un des i' et si l'indice / correspond à un des c"

Dans l'un et l'autre cas on ne donne à l'indice / que les valeurs (jui correspondent aux ('.

Cela posé, si c* n'est pas une transfonndliuiui'ingulière (c'est-à-dire si son adjointe ne satisfait pas aux conditions énoncées dans le paragraphe précédent pour définir ces substitutions singulières), les e' sont des fonctions Indomorphes des h' (les 11 étant regardés comme constants). Si dans l'équation (.'^ ter) nous remplaçons les i' par leurs valeurs en fondions des ir', les \"-^ qui sont des fonctions enliéres des v' deviendronl des fonctions liolomorplies des ir'; il en sera

(le même des -r-. > fie soite ciuc le puis écrire

<hv : 1 .1 1

les H/y étant des fonctions liolomorphes des iv'; on m cnnclut (|ue les r" sont des fonctions liolomorphes des n ' et des h'; et l'on verrait de même, si l'on faisait variei- à la fois les ti et les ir, que les i " sont des fonctions holomorphes des (\ ', des n', des a" et des //'.

En résumé, si e^ n'est pas singulière, les c sunl Jonctions holomorphes

(') Œui'ies de H. Poincaïc, ce lome. p. jii.

di's II et //es n'. C'était là notre conclusion fondamentale et elle subsiste; en revanche la formule (;;) (Palerme, p. •i4o) (') où figurent les fonctions entières 0,- est inexacte.