VI. — Échange des déterminations

Examinons maintenant de quelle manière se fait l'échange des diverses déterminations des fonctions c quand on tourne autour d'une transformation singulière de la seconde espèce. Ce qui caractérise ces transformations c'est, comme nous l'avons vu. que les r sont des fonctions indéterminées des ii, et des n', ou bien encore des fonctions indéterminées des coefficients / de l'adjointe.

Supposons par exemple que, pour une transformation singulière quelconque, il j ait trois racines de l'équation de Killing différant entre elles de multiples de 2/7:, et deux autres racines différant entre elles de multiples de 2171. L'équation déterminante de l'adjointe aura donc une racine triple et une racine double (se comportant comme des racines simple^, [niisque la transformation est singulière de seconde espèce). Par un choix convenable des variables, cette adjointe peut donc être mise sous la forme

o o fj o o

Il II (I 11 0

tous les coefficients étant nuls sauf ceux de la diagrmale principale, Irois de ces derniers étant égaux à a et deux à b.

Soit e^ la transformation qui correspond à celte adjointe.

Reprenons la terminologie de la fin du paragraphe I. Pour définir \ il finit se donner d'.ibord les racines de l'équation de Killing; ici, tinis de ces racines sont égales ;i trois déterminations difl'érentes de logo; et deux, à deux déterminations différentes de log6. Il faut se donner ensuite les o/)i''raleiirs roiijugiiès lin preDiicr ordre correspondant à ces diverses racines. ]Mais ici ces opérateurs ne sont pas entièrement déterminés; nous savons seulement que les

(') C/Euvres de H. Poincaié, ce tome. p.

28o NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROl'PES CONTINUS.

trois premiers (correspondant à logo) sont de la forme et les deux suivants (correspondant à logft) de la forme

Les opérateurs conjugués n'étant pas enlièrement déterminés, les c ne le sont pas davantage, ce sont des fonctions indéterminées des coefficients de l'adjointe et c'est pour cette raison ( Piilerme, p. 338) que ce sont également des fonctions indéterminées des a et des w.

Une remarque aviint d'aller |)lus loin; l'analyse précédente suppose que les racines de l'équation de Killing sont simples ou se comportent comme des racines simples.

On verra plu> loin cumiueni lanalv^e devrait être modifiée s'il n'en élail pas ainsi.

Envisageons maintenant, non plus la transformation singulière elle-même, mais une transformation très peu difTérente. Dans ce cas l'indétermination disparaît. Si donc e^' est une transformation singulière et A„ son adjointe, A„ ne suffira pas pour déterminer \ „; mais si e^ est une transformation non singulière ayant pour adjointe A, et si nous faisons varier V et A en les faisant tendre vers les limites V,, et Au, \ „ sera déterminé quand on connaîtra la suite des valeurs de A et la façon dont A a tendu vers Au.

l^.ir exemple, dans le groupe des rotations, toute rolalioii d'un angle 27T a pour adjointe la Mibslilution identique; la connaissance de cette adjointe ne détermine donc pas la rotation, puiscjue nous ignorons la direction de l'axe de rotation; mais si nous savons de plus que celte rotation est la limite pour £ = o d'une rotation d'un angle 2 7: + £, la rotation sera déterminée puisqu'elle aura |ioiir axe hi limilc vers lacpiellc tend l'axe de la rotulion 27:-f-c.

Supposons (|ue l'adjointe A„ soit représentée par le tableau (i),une adjointe A infiniment peu difTércnte s'obtiendra en combinant Aq avec une substitution infinitésimale du groupe adjoint. Cette substitution infinitésimale corres|iondra à la transformation infinitésimale c' du groupe paramétrique et s'écrira

les lettres b,/, ayant même signification qu'au paragraphe I ; mais les c doivent y être remplacées par les a (puisque notre transformation est désignée pare^);

donc

hik = - <•.</ ".-■

et les (/ seront des quantités très petites.

Alors A, qui correspond à la transformation l'^=z(j^«c^ du f;roupe paramétrique, s'écrira

a6;i a — (il).,, ''(>■,:■,

bb:t\ bl>,n bbyi

bb-, I b// ,n bb-,:;

Il ^'agit maintenant de formei- les opérateurs conjugués relatifs à cette nouvelle transformation. Formons pour cela l'équalifin déterminante en S. en ajoutant S à tous les termes de la diagonale principale du tableau (3) et égalant à zéro le déterminant ainsi obtenu. A chaque racine de cette équation en S, correspondra nu opérateur conjugué T = i/,X, défini par les équations suivantes:

( a ^- ab,i~ i )li — ab,^U^- abt^tj — . . .= n. ab.,t, -(- (a H- ab.,-i- S)t.-r- aS.a's-^- . . = o. (ibi, I, -~ abj^t-, — (a -i- abx,^ S) h, — . . . = o,

bb;,',-~ hb;.!.^- bb;;,,l:;—(b-\- bb ; i — S) / ; ~ . . .= (>,

Envisageons en particulier celles des racines de 1 équation en .S qui sont voisines de — ■ n et qui sont au nombre de 3 ; posons donc

5- étant très petit. Considérons la quatrième équation (4): les On étant très petits ainsi que cr, tous les coefficients de cette équation sont très petits, sauf celui de /•, qui s'écrit

b - - bb;,, — a — -j

et qui est très voisin de b — n; cette équation donne donc sensiblement

et l'on trouverait de même

Dans ces conditions les trois premières équations (4) peuvent s'écrire (eu divisant par n )

!(i!>,,— Tl/, ;- b^.J,— b,3t3= o, 651 /, -- ( b,. — ■s)t, - bn.'J-f = o. 6:11 'l— bjnl, - (633— 3)^1 = o.

H. p. — III. 06

ce qui détermine à la fois o- et T. Ainsi les opérateurs conjugués de Vq et par conséquent \ o lui-même se trouveront entièrement déterminés quand nous saurons que e'" est la limite de e' ^ e^"e^' et que nous nous donnons la transformation inlinilésimale IJ. Si nous ne connaissions pas U, nous saurions seulement que les trois premiers de ces opérateurs conjugués sont de la forme

Les indéterminées <,, /j, t^, dépendent de U et nous voyons qu'ils dépendent seulement des 6,/t, où les indices i et k prennent les valeurs i, 2 et 3.

Si j'élimine les / entre les équations (5) j'obtiendrai une équation du troisième degré en o-, présentant quelque analogie avec l'équation de Killing. Si alors l'équation en S relative à A„ admet h racines distinctes, f/, 6, etc., il y aura k équations en t et le degré de chacune d'elles sera l'ordre de multiplicité de la racine correspondante; par exemple pourcelle que nousvenons de former, elle est du troisième degré parce qu'elle correspond à la racine a qui est triple. D'autre part, les b,i, étant des fonctions linéaires des », le premier membre de l'équation en a sera un polynôme entier homogène parrapport à ct et aux u.

Nous pouvons maintenant répondre à la question : comment s''rcliangent entre elles les di ffèvenles dèteviniiuttions (luand on tourne diilnur d'une transformation singulière?

Soit

et l'egardons les r comme fondions des : et des ^r^, je suppose que pour W = Wo, on ait \ = \\, et que e^° soil une transformation singulière ayant pour adjointe A,,. Donnons à W des valeurs voisines de \\ o» et pour cela

faisons

p^v — - g\\„ gV ^ gV gV|, pi:^

U étani inlinilésimale. Nous nous demandons si les diverses détei luinations de V s'échangent quand W tourne autour de W„, c'est-à-dire quand l tourne autour de O. Ces déterminations s'échangeront si les opérateurs conjugués s'échangent.

Les seuls opérateurs conjugués qui puissent s'échanger entre eux sont ceux qui correspondent à des racines égales de l'équation en S de A„, c'est-a-dire ceux qui correspondent à une même équation en -7. Tout revient donc à savoir si deux racines d'une des équations en a s'échangent quand ou fait varier les u; c'est ce qui arrivera certainement si cette équation est irréductible.

NOIJVELI-ES REMABQtlES SUR LKS GROUPES UONTIMS. l83

Reprenons le oronpe des rotations et envisageons une rotation d'un angle tî; les racines de l'équation de Killing sont in, cet — ir^. Deux d'entre elles difl'èrent de 2ir.; on pourrait donc croire que la transformation est singulière. Ici l'équation en S de A,, a deux lacines égales à — i et une à + i . Le tableau des h;i, s'écrit

'adjointe A,, s'écrit

celui des coeflicients des équations ( \ )

On (d)tient deux équations en a-, l'une en faisant S = -|- 1 — c, correspondant à la racine double — r , l'autre en faisant S = — 1 — a-, correspondant à la racine simple + 1 ; la seconde de ces équations est tout simplement — c; ^ o ; et la première est

Comme le premier membre se décompose en deux facteurs linéaires ct dr iii,. il ne peut pas y avoir d'échange entre les racines, et la transformation n'est pas effectivement singulière. Si nous prenons au contraire une rotation d'un angle an, il y a une racine triple égale à 1 , et une seule équation en t qui >'écrit

a( T-^ II] -r- lû, — »5 j = ().

Les deux racines ± i \' a], -\- u'î + it'l pouvant s'échanger, la transformalion est effectivement singulière.

Supposons que l'équation déterminante en S ait une racine double égale à i, correspondant à deux racines de l'équation de Killing, l'une nulle et l'autre différente de zéro, égale par exemple à 2ir.; il ne peut y avoir d'échange entre ces deux racines, de sorte que la transformation ne sera pas efTectivement singulière. Pour {[u'une transforniiition soit singulière, il f.iut donc non seulement que deux des racines de l'équation de Killing dillèrent d'un multiple de liu, mais que ces deux racines soient toutes deux différentes de zéro; il ne suffit

donc pas qu'une racine de l'équation de Killing devienne égale à un multiple de 2 171, auquel cas, comme il y a toujours au moins une racine nulle, on pourrait dire que la différence de deux racines est multiple de 2/71.

Soit A,i une adjointe, correspondant à une transformation singulière, celle du liihleau ( I ) par exemple.

différentes transformations admettant cette même adjointe: on peut en trouver une infinité puisque les v sont des fonctions indéterminées. Je dis que les puissances de ces diverses transformations appartiennent toutes à un même sousgroupe que nous allons étudier. Soient

les adjointes de

,.a\„ ,.ï'v'|i pjc'V,'.'

OÙ a, a', a" sont des nombres quelconques.

Il est clair que toutes ces adjointes jouiront d'une propriété commune; celle de transformer tout opérateur de la forme

/| \,-^ <;X.2— /;,X:, on /.,\..^ /i\,,.

par exemple, en un Opérateur de la même forme, et que cette propriété commune définit un sous-groupe dans le groupe adjoint, et un sous-groupe correspondant ( que j'appellerai F) dans le groupe paramétrique.

Reprenons la transformation infinitésimale c^ , dont nous avons parlé plus haut, et son adjointe; supposons qu'elle appartienne au sous-groupe T. Dans ce cas tous les bu sont nuls, à moins que les indices/ et k ne soient égaux tous deux à 1 , 2, ou à 3, ou bien tous deux à 4 ou à 5, ... , ou, plus généralement, ne correspondent à deux racines égales de l'équation déterminante en S, c'est-à-dire il deux termes égaux de la diagonale principale du talileau { 1 )

Si nous formons ensuite l'équation de Killing relati\e à cette transformation r' , je vois qu'elle se décompose en autant de ficteurs qu'il y a de racines distinctes dans l'équation déterminante en S ; quelle relation y a-t-il entre ces d i (Té rents facteurs et les différentes équations en ct que nous venons de former? C'est ce que nous expliquerons'plus loin, dans un cas plus général, au paragraphe VIII.

Si nous revenons encore au groupe des rotations : jiour une rotation d'un angle 271, toutes les racines de l'équation en S sont égales à 1 , et le sous-groupe F ne diffère pas du groupe total; pour une rotation d'un angle ;:, deux racines

NOUVELLES REMARQIIKS Sl'R LES «ROUPES CONTINUS. îSj

seulement sont égales entre elles, et ég;iles à - - i ; le groupe F comprend toutes les rolalions possibles autour d'un axe déterminé, l'axe des z par exemple; dans le premier cas, l'équation de Killing du sous-groupe F est la mèiiu' (|iie pour le groupe total

et elle n'est pas déconiposable en facteurs linéaires : la transformation est effectivement singulière; dans le second cas, cette équation se réduit à

et <:lle est décomposahle en facteurs linéaires : in Iriinslormatujn n'est pas eHecli ventent singulière.

Remarquons maintenanlqu'il peut très bien se faire qu'une transformation ne soit pas eJfectUeinenl siiigulit're, c'est-à-dire ((u'il n'j ait pas échange entre les valeurs des c quand on fait décrire aux u et aux iv des contours fermés intiniment petits, et que cependant elle soit (juasi singulière, je veux dire que les r soient des fonctions indi-lerminèfis des u et des ti' ; ou, ce qui revient au même, soient des fonctions indéterminées des coeflicients de l'adjointe. On peut en citer un exemple simple; considérons le groupe des transformations

( ./•. ri ./■ — /; t ;

il (léri\e des deux transformations infinitésimales

que j'appellerai X, et \.. Alors, si l'on pose

on a

d'où

7n = ev \-= ,-,X, - ,-,\,.

(■.> , tu iV>

— (<"'i — I ) = ( e''i — e"'t I -- - - I (■•'■i — I I -^ '•i "i ir.

Cette formule nous montre que les c sont des fonctions uniformes de u et des IV, mais en même temps que ces fonctions peuvent devenir indéterminées; c'est ce qui arrive quand f, et «', sont multiples de 2ir..

Nous avons dit plus haut que si une racine de l'équation de Killing était nulle et une autre multiple de 2ir., sans que la différence de deux racines, distinctes l'une et l'autre de zéro, devînt égale à un multiple de lir.. cela ne suffisait pas

pour que la transformation pût être effectivement singulière; mais en revanche elle peut être quasi singulière, l'exemple précédent le prouve suffisamment.

Enfin, il peut arriver que la différence de deux racines de l'équation deKilling soit multiple de lir.. sans que la transformation soit singulière, ni quasi singulière; c'est ce que prouve l'exemple ci-dessus des rotations de 180".

Reprenons le groupe paramélrlque li ; son groupe adjoint G»; le Sdus-groupe r défini plus haut et contenu dans G; et le sous-groupe F, qui lui correspond dans Gj. Les substitutions de F^ sont linéaires; de plus, si le groupe G est d'ordre r, il y a r variables, mais ces variables se répartissent en autant de systèmes qu'il V a de racines distinctes dans léquation déterminante en S. Chaque substitution linéaire de F^ résulte de la combinaison de substitutions linéaires partielles, chacune de ces substitutions linéaires partielles portant sur les variables d'un seul système. C'est là, on s'en souvientrla définition même de F. Ainsi, si l'on se reporte au tableau ( 1 ), chaque substitution de F^, se décompose : i" en une substitution linéaire portant seulement sur i,. i», l'u ; 2" en une subslitutii)n linéaire portant seulement sur c. . cr,, etc. Alors les substitutions linéaires partielles portant seulement suri',, iv,, iv,, par exemple, formeront un groupe que j'appellerai H,; ce groupe sera isomorphe à F^,, mais l'isomorphisme pourra dans certains cas être mériédrique. Si nous formons le groupe adjoint de H,,, de façon à calculer les racines de l'équation de KlUing relative au groupe Hjj, nous ariiverons au résultat suivant : Considéions le déterminant des coefficients d'une subsliluliiui lim aire iiifinitésimali' de II3,; égalonscodétcrminant à zéro après avoir ajouté — (' + '') au^' termes de la diagonale principale, nous obtiendrons une certaine équation en a. Nous distinguerons ainsi 3 équations, à savoir ; l'équation (r/), c'est-à-dire l'équation de Killing relative au groupe G ; l'équation (6), c'est-à-dire l'équation de Killing relative au •groupe H^; et enfin l'équation en c, (pie nous appellerons (c). Nous formerons ces é(piati(>iis poiii' une tran>fi)rmatii>ii quelinnque de G et |)our la substilulion correspondante de Hjc

Nous trouverons alors que les racines de {c) sont quelques-unes des racines de (a) (à savoir celles qui deviennent égales entre elles et à a pour la transformation singulière qui nous a servi de point de départ); chaque racine de (6) est égale à la différence de deux racines de (c) (deux racines de (r) n'étant pas nécessairement distinctes, une des racines de {b) est toujours nulle]. Or, pour notre liansformation singulière, les racines de (c) deviennent égales entre elles à des multiples près de iir.\ donc toutes les racines de CA) sont égales à des

multiples de 2 j'r, de sorte que la transformation correspondante de II^ esl spéciale.

Les iraiisfontiatiuiis sini,'u/irr>'s i/i- G cùrrespondciit ilouc (iii.i tiaiisjormations spéciales de 11^.

Reprenons : notre transformation singulière e^°, son adjointe Ao, les autres transformations singulières r-^'o, qui ont même adjointe et qui appartiennent comme e^» au sous-groupe F, la transformation infinitésimale r' , la transformation finie «'^ = (■"•'"e^ . qui a pour adjointe A et qui tend vers e^" quand U tend vers zéro. Nous avons vu plus haut comment on forme les opérateurs conjugués de V,', en formant les tableaux (2 ) et (3) et les équations (4) et (5). Dans le cas où e^ appartient au sous-groupe Y (c'est-à-dire où 6,a = o, à moins que les deux indices i et /,■ ne se rapportent à des variables dun même système), le résultat peut s'énoncer comme il suil : les o/irrateurs cottjugnès de \ „ soiU les mêmes ({tie ceux de U. Il en résulte cpie Y,, et U sont permutables.

Donc, parmi les transformations singulières qui ont pour adjointe Aq, il en existe toujours une qui esl permutable à une substitution donnée e^ (d'ailleurs quelconque) du sous-groupe T.

Si, en particulier, toutes les racines de l'équation déterminante en S sont égales : l'adjointe A» se réduit à la substitution identique: la transformation singulière 1"^» devient une transformation spéciale; le sous-groupe T n'est autre chose que le groupe G lui-même. Donc,. v/ m/; groupe G contient des transformations spéciales, il en cdiilieni une i/ui est permutable à Vune quelconifue de ses transformations.

Ou bien considérons un groupe G; prenons dans ce groupa deux transformations t'^' et e^'. la seconde tout à fait quelconque, la première assujettie aux conditions que ses racines de killing se comportent comme des racines simples et que le rapport de deux quelconques d'entre elles soit commensurable ; alors il y aura toujours dans le groupe une transformation permutable à e^^ et ayant mêmes racines pour l'équation de Killing que e'': el en effet une des puissances de e^' est une transformation spéciale ou quasi spéciale.