VII. — Discussion des équations différentielles

Dans le paragraphe précédent, nous avons étudié la façon dont se comportent les fonctions i- dans le voisinage d'une tiansf'ormalion singulière, au moins dans

le cas où toutes les racines de l'équation de Killing se com|)orlenl comme des racines simples; pour cela nous nous sommes servis des équations finies du groupe; il conviendrait de reprendre cette étude en se servant des équations différentielles. Nous nous rappelons quelle est la forme de ces équations; si T étant infinitésimale on a

,.V pT ^V— //V

on peut expi'inier -^ en fonction des r et l'on trouve, A étant fixé.

Les A el les B sont de> fondions algébriques des r; de plus 'jj/, est l'une des racines de l'équation de Killing el m est un entier positif qui ser.i égal à i, si, comme nous le supposons, toutes les racines de rr-cjuation de Killing se comportent comme des racines simples.

Les seconds membres ne peuvent devenir infinis f|ne si o)/, est un multiple de o-iT..

Donc, iinr Iransforinalion ne peut ilcieiiir siii<;ii/ièri' //ne si une des racines de f équation de Killing est multiple de 'ait:. Ainsi, pour une rotation de i8i)" les trois racines de l'équation de Killinj; sont

— /r. (). ir. :

la difl'érence de deux entre elles est 2t t: (ce qui est la condition que nous avions envisagée jusqu'ici), mais aucune d'elles n'est multiple de 2/7:, el (;"est pour cette raison qu'elle n'est pas effectivement singulière.

Soit cp une fonction algébrique quelconque des r: on aura évidemment. (>our tout / fixé,

S ir -

Al -7

^^'.Av

sont des fonctions algébriques des r. De plus, si set ses dérivées restent finies, les seconds membres ne pourront devenir infinis que pour e^"A ^ i.

Si cette condition est remplie, ou près del'étre, on se trou\e dans le voisinage d'une transformation singulière ou quasi singulière. Supposons donc que 1 — e~"'''' soit une quantité très petite de l'ordre de z el qu'il en soit de

NOI VELLES RKMA[\OtES SI 11 LES UHOLl'ES CONTIM S. ^Sl)

même df //, : on aura alors srnsihlemciil ( //i étant égal à i l

f soi'te que d-^ scia liui, a uioins ([uc B ne soit nul.

Les deuT» li'anslcirmations r^ et r^+''^ différeront donc d une tjuiintiti' linu'.

Cela lient a oe iju'ellcs sont inliniinenl voisines de deux tiaiislornialions singulières (,'*" el ('*"; mais rfi.v deux Iransfomial ioux dniicni /unir /m'iiic adjointe.

Si donc 9 est un des coefficients de l'adjointe, ou une lonclion bien déleiminée des coefficienls de l'adjointe, d<f devra être infiniment petit, c'est-à-dire que B' devra être nul.

Supposons par exemple que w soil une des racines de l'équation de Killin^.

Si l'adjointe subil une variation infiniment petite, les racines de son équation en .S, qui sont e"', subiront des variations infiniment petite,- et il en sera de même de t.). Si donc on prend y = m, on devra avoir B= o. On a par suite

«f I ' di'., dv,.

Cette relation n'est ainsi établie que [jour (o/, = -ikiT:] mais comme les B et'jj sont des fonctions homogènes des c, elle devra subsister pour toutes les valeurs de o)/i.

Pour étudier cette relation chercbons à nous rendre compte de ce que sont les B,. On a, par la formule (n ) (Païenne, p. 3.Si : voir aussi plus haut ) ( ' )

ti'Pii

I df ^ S '■ ''

Si nous envisageons une racine simple w/, de l'équation de Killingl'' ( £ ) r= o. cette racine nous donnera dans le second membre un ternie

I — e-'^i'" F'(oj/, )

Si ce terme était le scid qui devienne infini quand «""* — i s'annule, les quantités B, seraient simplement proportionnelles à P,/(w/,)6' "O"* P*^^"'i"'"n* écrire, pour t = tj,

(') Œuvres de H. Poincan-, ce lomi-, p. lii. H. P. — III.

290 NOIVKI.I.ES REMARQIKS SIR LES GROl'PES CONTINUS.

Mais il peut arriver que d'autres racines de Kiliing deviennent multiples de 2/7Ï foutes les fois que oj/, est lui-même multiple de 2/r, par exemple s'il y a une racine qui est loujour-- multiple entier de w/,, et par exemple égale à — «^.

Si nous avons ainsi deux racines égales et de signe contraire '»/, et — oj/,, il faut envisager les deux termes

1 — e-''"'' " F'i (.);, 1 I — e'"!'" K'( — co/, 1

d'où

On pourrait alors se demander si la relation (4) va subsister; pour s'en rendre compte, il faut examiner ce que représentent les quantités P,y(w/,); si les racines de réi|ualii)n de Kiliing se ((importent comme des racines simples, il existe /■ o|)érali urs (dits conjugués du premier ordre)

l;i'"= Zii':\, I /i = 1. ' /•).

tels que

I \ l '" I = w/, Li''"

ou

(■ ï) -iliii. l'i = '■'/, l'I-

Si nous formons le déterminant A des /•'- coefficients iij , Cf déterminant ne sera pas nul et nous envisagerons les mineurs

Nous pourrons même, sans restreindre la généralité, supposer A =; 1 . puisque les coefficients // ne sont déterminés que par leurs rapports.

Cela posé, clierclions à déterminer deux opérateurs ^ et / satisfaisant à l'idehlité

(6) ' (VY) = ÇY-Z-

ce qui peut encore s écrire

(7) .ni-"(0 = si';/;,-.

Sup|)OSons que l'on ait

£ étant un coefficient constant très petit; nous aurons sensihlement. en supposant ',)/, racine simple.

ji I-"'» w/, ) = X z'i f',,1 '■>/, I.

NOIIVKM.es BKMARgl F.S SI K I.ICS (ilUII l'RS CONTINIS. )()]

On vdit aiiiM C[iie À doit tMic une tuiulinii liiiéaiii' ^io^ .",

et il vicnl ( en l';iisanl tendre £ V(■l■^ zéru)

Il reste à déleiininor "A; pour cela ndus avons la rt'latmn ( 0 his) { \ W j = to/, W ^ À II'" Z'.

qui se déduit de l'identité (6) en négligeant les puiNsanees supérieures de £. Supposons rpie tous les z\ soii'nl nuls sauf jj, et que ;'^= i ; de -(irle (pie

Soil ensuite

Pieniarquons que la résolution des équalions linéaires

va nous donnei'

de sorte que

Z'= Xy= S.-.kD'kK

Si donc nous remplaçons dans (6 bis) \\' et Z' par leurs valeurs, il vient

ou, en égalant le coefficient de U'''',

d'où

et

Bi = — Mi,('';ii';—-'i' II';'). .

l'indice h' étant celui qui correspond à la racine — • o)/,. Notre relation (.i.!) (qui doit avoii- lieu (piel que soit /) devient alors

flv, ' (IVi

Mais les coefficients t'' ne sont pas proportionnels aux coefficients r','; sans quoi le déterminant A serait nul. On aura donc séparément

' ai', ai't

■^9'* NOl Vi:l.l KS RK.MARQlliS SI» LES GHOIPFS COMIMS.

c l'St à-dire que la reliilion (4) sera vraie séparément pour li racine oj/, et pour la r.icine — w/,, puisque les P/yifo/,) sont entre eux couinie les ii'l ei que les P,/( — wa) sont entre eux comme les uf.

Il est aisé de démontrer la relation (4) dans des ras plus compliqués. Si |iar exemple on avait à la fois les racines ± x el rtast, on commencerail par • donner aux i des valeurs telles que 2 x soit multiple impair de a «r ; alors les racines ± y. n interviendraient pas et l'on démontrerait comme plus haut les relations { j) pour ooy,z=2j: et pour oj^ = — 2 y.. Cela fait, on donnerait aux r des valeurs telles que y. soit multiple de atTi el Ion démontrerait ensuite aisément les équations (4) pour w/, = rha. On pourrait aussi faire directement la démonsiration, par un |irocédé tout semblable à celui qui précède (B, étant une combinaison de quatre termes de lu forme -'j ii'l au lieu de deux seulement).

La relation (■() estrlonc générale; elle a lieu quelles que soient les racines ',> el WA, que ces lacines soient identiques ou distinctes (le cas de to/,= o devant être exclu). Revenons maintenant aux équations (i), où nous supposons toujours m = I .

Donnons aux c des \al(:urs qui rendent une r.icine multiple de a/rt; généralement d'autres racines de\ien(lr<int en iiiénu' Icnqis multiples de :>.(';:. Soit

lu/, = niji 3.

ces racines, où ni/, est un entier posilif ou négatif el y la conimune mesure de toutes ces racines, laquelle doit être elle-même un multiple de a/n; nous continuerons à désigner ces racines par oi/,. el nous désignerons par ',}•, K's racines qui no deviennent pas multiples de a/-.

Si y. est 1res voisin d'un multiple de a/rr, les termes qui conlienneni au dénominateur une expression de la forme i — e '"'■ seront seuls sensibles; si l'on a f*= I -I- c, on aura très sensiblement

1 — e-^'i — ni/i i et les l'quations ( i) se réduiroiil sensiblement à

dti.

ou,

en posant ////, ^= s '/.sa.

iSl

fhi.