J' II

Les r et les (/ peuxenl èlre regardés comme des fonctions algébriques des r, de sorte que ces équations (8) nous représentent des équations différentielles

.NOl VKLLKS IIKMMIOIKS SI 11 ils (.Roi l'K- (CINTI.MS. .yj

auxquelles doivent satisfaire les f. Quelle est la >if;nifiralii)n de les é(|Mali(iii^ différentielles?

On voit que, si //s/^ est un inlininient pelit de Idrdre de r, vl |iar conséquent (/t/i un inlinimenl petit de l'ordre de £', c/i- sera un infiniuieiil pclil de l'ordre de Ç; de sorte que les deux transfunnations e* et f»^-^'^ difléieroni d infiniment petits de l'ordre de Ç, tandis que leurs adjointes différeront d'infiniment petits de Tordre de Et-, c'est-à-ilirc d'ordre supérieur.

Donc, quand les r varieront de façon à satisfaire aux é(|ualion> diflérenlielles (8), l'adjointe de e^ ne variera pas. .Si donc nous considérons les différentes transformations singulières qui onl même adjointe, les équations différentielles (S') nous feront passer des unes au\ autres d'une façon continue.

Prenons encore un instant pour exemple le j^roupe des rotations, et soil

a, 5. y étant les cosinus directeurs de l'axe de rotation et \i'j l'anole de rotation: on aura pour les équations (8 )

dv-^ ds,

as,

ds ;

et l'on \erra que

d'où S^const. Le point représentatif restera consi, imment sur une sphère (dont le rayon devra être multiple de ir.) et aux différents points de cette sphère correspondront diverses transformations qui auront même adjointe et qui seront d'ailleurs spéciales.

Appelons ^',A le second membre de (8); l'équation (8) définit une transformation infinitésimale Sa qui change i, en i,^ dsi,\ .k- et dépendant de l'opérateur

Il importe de remarquer que les opérateurs Sa ne forment pas un groupe de Lie, comme on pourrait le croire, mais les opérateurs

où <t> est une fonction arbitraire des r, forment un groupe continu d'ordre injiui.

di.

ds^ ' ' ' '

ds,

dv.

di-.

ds.

ds.

rf.,

dv.

ds-, ~ '■■

ds;

'294 NOIVKI.LES RKMARQl i:S SIB LKS GKOl PES CONTIMS.

La condilion pour qu'il en boil ainsi, c'est que l'on ait

les <t>yA.5 étant (ii;s fonctions d(!S c. Pour le montrer, considérons un opérateur T^ du groupe G; on ohtiondra l'opérateur correspondant S/i en multipliant' Ta par

et faisant tendre ensuite les r vers des limites telles que £ tende vers zéro. On a alors

(,)r le criichet (sT*) est une fonction des c et si, par exemple.

T V "ff

on aura

le crochet (sTa) se préseule couinie une .sini|jl(' tonction de> r, où ne tigureul pas lesdéi'ivées -j-- La relation (10) est donc bien de la forme (()) en prenant

<l',</= £(■//■/— ( eT/- 1. */*<■= ec/i-A-— ( = T/ 1. c. y. F. D.

Ce résultat établi, vovons quelles en sont les conséquence^. Dans l'espace à /• dimensions, considérons un point r,, Cj, ..., i'/, tel que x soit multiple de 2 17:; je l'appelle Mo- Prenons ensuite l'équation (8), pour chaque valeur de /. elle définira une famille de courbes telle qu il en passe une par cluuiue point de l'espace à /■ dimensions. Nous aurons donc ;• familles de courbes