K,. .... F, corresponijaiit aux \aleurs

Par Mo je fais passer une courbe C| de la famdle Fi ; par chacun des points de C| je fais passer une courbe de la famille Fo ; l'ensemble de ces courbes engendrera une surface Co, par les divers points de cette surface Cj je fais passer des courbes de la famille F3 qui vont engendrer une variété C^ à deux ou trois dimensions, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'enfin parles divers points de la variété C,- 1 je fasse passer des courbes de la famille F, qui engendreront la variété C,- qui aura toujours moins de r dimensions.

NOU\KI.LKS REMARQUES SIR LIS (JROUPES CO.NTIM'S. 'ili

Comme les opérateurs ^S/, formonl un groupe, celte xariétéC,- sera inaltérée |)ar les transformations S^, ce sera iiii invariant pour les équations (<^); elle représente donc le lieu des points r,, r^, . . . , i , f[iii correspondent aux diverses transformations singulières admettant une même adjointe.

Or le déterminant des tjJ' n'étani pas nul, nous pouvons déduire des équations (iS) certaines relations linéaires entre les c/r,, relations qui peinent s'écrire

les quantités

correspiuideul aux // riK'iiies m/,

qui (levieniienl siimillanéiuenl miilliples de -iiT:.

Le tableau (i i ) a plus de colonnes que de lignes, et il faut entendre fjue tous les déterminants obtenus en supprimant un nombre convenable de colonnes dans le tableau (i i") doivent être nuls à la fois. Cette équation (i i ) délinit le plan tangeiil à la variété C,-, et ce " plan langenl ■■ est une variélé plane ayant autani de dimensions ipie C, ; or il en a />.

Donc le nombre des dimensions de C, est égal au nombre p des racines qui deviennent simultanément mulli[iles de y.ir.: et les transformations singulières qui admettent cette même adjointe sont au nondire de oo/'. Si une seule racine devient multiple de :>,in, la variéli' C, se réduit à une simple courbe.

Au sous-groupe V du paragraphe précédent correspond dans l'espace à /■ dimensions une variété plane passant par l'origine et qui doit ronlenir la variélé C;-.

Jusqu'ici nous avonsî supposé tpie les r n étaieul assujettis qu'à une seule condition; de telle façon que, seules deviennent multiples de a/'r diverses racines dont le rapport est constant et comniensurable, à savoir celles qui sont égales à une certaine fonelion des r, que nous avons appelée et, mnlllpliée par l'entier ni/,.

Considérons niaintenanl les racines qui s(Uil de la forme

(.)/, = /II/, y.

".)'") \OliVEI,l,KS llliMARQI i;s Sl'R MiS liUOtCES CdNTIMS,

X et (j sont (Jeu\ tondions déterminées des i'; m/, et ti/,. indépendantes l'une de l'autre, sont des entiers; nous appellerons colles racines qui ne sont pa;- de cette forme. Si nous donnons aux i- des valeurs telles que :z el (3 soient multiples de ain, il en sera de même de loules les racines w/, et nous obtiendrons une nouvelle naléf;orie de transformations sinffullères. Soit

; el ; étant très petite, les équations ( i ) ?e réduiront sensiblement à

avec (.8 bis)

dv,

oj/, -Jj^ ii'l

dt.

dvi dfk

ni,,i — ni,'.

di-,

dsn

dVi

dsu

opérateur

^"ff

On aurait ainsi défini V

qui correspondrait à une transformiilion infinitésimale ciiangeanl e, en

Ici encore le> opTiateurs S/, ne forment pas un groupe, mais les opéralcurs <1>S/, cu"i <I> est une foiiclion arbitraire des r, forment un groupe continu d'ordre infini; nous trouvons en effel, en résolvant les équations (i) par rapjiort aux u'' el aux u'j

les Xk,h étant des fonctions des e dép(^ndanl des indices / el //, mais indépendantes de l'indice /, ou bien encore

Sa=(i — c-«'v)i;A<-,/,T/..

En se serviinl de cette formule [par un raisonnement analogue à celui qui piécède et où intervenaient les équations (()) el (n))], on élablirail que les 'l'S/, forment un groupe et l'on en conclurait que les équations analogues aux équations (il)

1 1 1 bis )

rfl'l rfl'j . . . dvr u'! u'.\ . . . II'.':

NOUVKl.LKS llliMAIlOlIKS SLR LES GROUPES CO^■Tl^•l;S. 297

OÙ h prend /) valeurs distinctes s'il y a p racines qui deviennent multiples de 2 «71, où par conséquent le premier membre est un tableau à r colonnes et p -\- I lignes, on en conclurait, dis-je, que ces équations définissent une variété qui n est autre que C,- et qui a précisément p dimensions. Ce seraient donc les mêmes résultats que dans le cas simple examiné d'abord.

Considérons par exemple le groupe lin('aire fractionnaire à deux variables

[ax J-. y: — — a ./• -

by

11 est d'ordre 8. Si a, 'p. y sont les trois racines de l'équation

les huit racines de l'équation de Killing sont Si l'on a

(je veux dire par là que x est égal à 3 plus un multiple de a/n). on aura

3( — ,3 = ri — 2 = 0

et 1 on aura une première famille de transformations singulières, la variété C, étant à deux dimensions. Si l'on a

toutes les racines non nulles sont multiples de 2 ( tt et l'on a une seconde famille de transformations singulières, d'ailleurs spéciales, pour lesquelles la variété Cr est à six dimensions.