VIII. — Cas des racines multiples

Dans les deux paragraphes précédents, nous avons toujours supposé que les racines de l'équation de Killing se comportaient comme des racines simples; qu'y aurait-il à changer s'il n'en était pas ainsi? L'adjointe A,, ne pourrait plus en général être ramenée par un choi\ convenable des variables à la forme du tableau (i) du paragraphe VI. Elle peut toutefois être ramenée à une autre forme canonique.

H. P. ~ ni. " 38

•i.ljS NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

Considérons le groupe des substitutions linéaires permutables à A,,.

Le groupe commun à ce groupe et au groupe adjoint s'appellera l\: de sorte que les substitutions de T^ feront partie du groupe adjoint et seront permutables à Ag (qui est par défînititm l'adjointe de e^", r^", . . . ), mais pourront ne pas l'être aux adjointes de e*^", e?*°. .... Le groupe paramétrique (j étant isomorphe à son groupe adjoint, au sous-groupe F, du groupe adjoint correspondra dans le groupe G un sous-groupe que j appelle ï.

11 est clair alors f[ue f^^ ", i-^^'". . . . feront partie de F, de sorte que ce sousgroupe joue bien le même rôle (|ue le groupe du même nom dans le paragraphe ^ I.

Soit alors c'~ uue Iranslormatuin inruiit<Mniale (Hii'lciiii(|iii' du gioupe d; posons

e^ aura une adjointe A très peu dillénnte de A„ : (piand V tendra vers zéro. V tendra vers un certain opérateur \ „. et A vers A,,, de sorte que la Iransformalion limite e^" aura pour adjointe A,,.

Quand on connaît la fagoii dont Lî tend vers zéro, les opérateurs conjugués de N'i, se trouvent cntièiement déterminés, et il en est de même de \ ,, lui-inètiic. Cela se verrait par une analyse toute pareille à celle du paragraphe VI. Si en particulier e^^ fait partie de F, le résultat s'énonce très simplement ; les opérateurs conjugués de \ , et à la limite ceux de \ „, sont les mêmes (|ue ceux de L . En effet, si /'^ fait partie de F, son adjointe B est permutable à A„ ; je dis à A,, et non à l'adjointe de (?**•.

Cela veut dlrr ijur les deux substitution^ linéairis A,, et B [à r v, niables) admettent des si-rifs régulitncs communes com|)renant ensemble /■ combinaisons linéaires (indépendantes entre elles) des varialdes. Et cela (tu moins d'une manière t^rj . § I, //( fini'). Ces séries aj)partiendront également à leur résultante

Elles nous ilmuieronl doue les ojx'rateurs conjugués de e^ (pu seront les mêmes (|ue ceux de c^ .

Nous ne restreignons pas la généralité en supposant que r' iail partie de F; je veux dire (|ue si e^" est la limite de

[K)ur y.=zo. e' ne faisant pas partie de F, nous pourrons trouver une substitu-

NOUVELLES REMARQIES SUR LES GROUPES CO.MIXliS. •M)!,)

tiou f'' falsiiiil partie de F et telle que c^" soit également la limite de 11 suflii en elTet de prendre Ll':i= V,,; car

gV(, gav,j ^ (jia-t-i iV 0 ^

puisque ces deux transfurmalinns ont même adjointe et ne sont [)as singulières; et |)onr a ^ u il reste ,

Supposons maintenanl

e^ " = lim p^» 1'^^ :

(^^ ne taisant pas forcément partie de P, faisons varier Ij d'une manière continue et de façon à le faire revenir finalement à sa valeur initiale; dans quelles conditions les ditïerentes déterminations de A „ |)ourront-elles s'échanger? Les coefficients de l'adjointe de e^'e*"^ sont des fonctions uniformes des ii, ils devront donc revenir à leurs valeurs initiales; il en est donc de même de V ensemble des opérateurs conjugués de \ „ ; ces opérateurs conjugués [)euvent seuleuieiit s'échanger entre eux; les racines de ré(|uation de Killing d autre part n'ont pas varié, car elles sont restées égales aux logarithmes des raeines de r(M|iiatioii en S de l'adjointe A,,.

Soient alors r"' et ''"' les valeurs Initiale et liuale de c^'; les racines de l'équation de Killing de 15,, seront slors f.),, ',hy. . . ., oi, correspondant aux opérateurs conjugués "/,, Ài, .... "/,, ; les racines de ré(|uation de Killing de B, seront encore w,, '.u, ..., oj,-, correspondant aux fipérateurs conjugués y.,, ij.-^, . . . , /jt, qui ne seront autre chose (|ue les opérateurs /.| . Âo, . . . , À, , dans un autre ordre.

L'ensemjjle des opérateurs conjugues élanl les mêmes pour e"" et pour e"', ces deux transformations sont permutahles et si nous considérons la transformation

,,/iii„-.- 1— /i iii^

où /) est un nombre ^irliilraire, celte transformation ([ui fait d ailleurs partie de l" a mêmes opi'rateurs conjugués (jue (?"" et cjue c"'; (|uand nous ferons croître h de|Hiis u jus(|u'à i , les opérateurs conjugués ne changeront pas, et les racines de l'équation de Killing varieront d'une manière continue; la transformation se réduit pour // = o, à e"' et elle admet jiar consé(|uent les racines to,,

OJ.J. . . ., '.), cf)rresponilanl aux opérateurs y,, [j.^ /j, ; pour // = i , elle se

réduit à c"", les opérateurs sont restés /jti, [j.j, . . ., ;/, , (;t les racines sont deve-

ioo NOUVELLES REMARQUES SUR LES GHOIPKS CONTINUS.

nues C0|, (o.,, . . . , oj, . Gomme nous sommes revenus à la transformation initiale, les racines w' ne sont autre chose que les racines m dans un autre ordre, de même que les pi ne sont autre chose que les À dans un autre ordre; la correspondance entre les racines et les opérateurs doit être rétablie, de sorte que c'est la même permutation qui fait passer des w aux &>', et des 1. aux /j..

Ainsi donc, nous sommes partis de r^' et nous sommes allés à c"' en faisant

et faisant varier (J d'une manière continue comme nous lavons dit ; puis nous sommes revenus de c^' à f"" en prenant

(j/;tl„-.- I— A 11,^

\(i(ic liiinsjorniiil inn n ii /itninis cessé th' /nin- /lurl ir de V <■/ les vannes lie I' i'(funti<ui de Killin<; se sont permutées .

A tout échange entre deux déterminations de \ ,,, correspond donc un échange entre deux racines de l'équation de Killing relative au sous-groupe T. Je veux dire rc(|ualion obtenue en égalant à zéro le déterminant caractéristique relatif à ce sous-groupe; cette équation est de degré ;■ et il ne faut pas la confondre avec l'éfjuation de Killing du sous-groupe, obtenue en égalant à zéro le déterminant caractéristique du sous-groupe, et dont le degré est égal à l'ordre du sous-groupe. Pour ces distinctions, voir Cartan, Tlièsc inaui;iirale, p. 28.

RéciprO(|ueinenl, si deux racines de cette é(|uation s'échangent, deux de> déterminations de \\^ s'échangeront, sauf une restriction sui' liu|uelle nou> reviendrons.

Reprenons ré(|uation

g t (I ^ ^ Vq ^J JE l

et supposons maintenant (jue e^ fasse partie de 1"; alors les opérateurs conjugués de U sont les mêmes (|ue ceux de \'„. Si deux racines de U s'échangent, les opérateurs conjugués correspondant^' de l s'échangent également, de sorte que deux opérateurs de V„ s'échangent.

Si les deux opérateurs de \ j, qui s'échangent ainsi correspondent à deux racines de l'équation de Killing de V,, (ou ce qui revient au même de V,, ) cjuine sont pas égales, deux déterminations différentes de \\ se seront échangées. Tl est clair d'ailleuis que si ces deux racines ne sont pas égales, leur dillérence doit être multiple de 2/7:, puisque ces deux déterminations diftérentes de e^" doivent avoir même adjointe.

NOt VKI.LFS REMARQI ES SIB LES GIIOI PES CONTINUS. 'iol

Soit F(£, t',. i2, ■■•, 1;) le premier memhre de l'équalion de Killing. Le sous-groupe F est caractérisé par un certain nombre de relations linéaires entre les (•; à l'aide de ces relations, on peut exprimer les v en fonctions de m d'entre eux, par exemple de i , , i..., . . ., i„,, m étant l'ordre du sous-groupe F.

On aura par exemple

les a étant des fonctions linéaires de i,, vn, .... v,„. Nous nbliendrons ainsi l'équation

qui est Vi'qiKtlion de Killing relative au saus-grùupe V et dont le premier membre est homogène de degré /• par rapport à

Si le premier membre se décompose en facteurs linéaires, il est impossible que deux de ses racines s'échangent entre elles; et par conséquent que deux déterminations de ^^' s'échangent. La transformation ^^' est .seulement ijuasi singulière.

Supposons au contraire que le premier membre ne se décompose pjs en facteurs linéaires el soit

un facteur irréductible non linéaire, homogène d'ordre y piir i-.ippoil à ; et aux r.

Il est certain alors ([ue les racines de <I' =; o sont susceptibles de s'échanger entre elles.

Alors plusieurs déterminations de \^ s'échangeront entre elles et c^- sera effectivement singulière, à moins que les racines qui s'échangent ainsi entre elles ne correspondent à des racines égales de ^ '„ (ou ce qui revient au même de V o). Soient alors

les valeurs des r qui correspondent à \ „ ; alors r^ ^era ed'ectivemeul singulière à moins que

ne soit une puissance yo"""*^ parfaite.

Si ^(ç, ('") ne se léduit pas à une puissance />'"""' parfaite, e^ admet plusieurs déterminations susceptibles de s'échanger, d'où il suit que le groupe G cimtient

^Oi NOIVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

certainement des Iransforniations spéciales. Ces considérations s"appli(|uent également au cas du paragraphe VI et nous font comprendre les relations enlre les équations en ct de ce paragraphe, et les facteurs de l'équation de Killing relative au groupe T.

Reprenons ré(|ualion

nous voyons que ^*' et e'i^''" sont permutables. Donc, parmi les transformations singulières qui ont pour adjointe Âo, il en existe toujours une qui est permutable à une subsliuilion donnée r' (d'ailleurs quelconque) du soiis-groupe F; et si un groupe (j contient des transformations spéciales, il en contient une qui est permutable à l'inie que!ci)U(|ue de ses transformations.

Eludions maintenant li-s transformations sini;uliéres en parlant des équations did'érentielles

du paragraphe \ II. Dans le cas du paragraphe \ II, lonles les racines se coni-

porlant comme des racines simples, l'exposant tn élail loujours égal à i . Ici nous

examinons le cas où toutes les racines ne se cuiii|ioricnt pas eoninie des racines

simples.

Supposons par exemple que oj/, se comporte comme une racine triple, alors

l'exposant m pourra prendre les valeurs i, \i el .1, et les termes du second

membre de|i). ipji contiennent au dénominateur une puissance de i — e"'"'',

puniront s'écrire

H/ Ht li;'

Il s'agit d'étudier la forme de B,', B7 el B;'. -Supposons, pour (ixer davantage les idées, (|ue la racine ',>/„ tout en se comportant comme une racine triple, soit quintuple et (]ue les opéraleurs conjugués correspondants soient au nombre de cinq, à savoir : deux iln |)remier ordre

Lï,= 1»,' \,. \V,= Sic; \,:

deux du second ordre

L,= i:«;'\,. w., = i:uf\;.

ayant respectivement pour dérivés U( et \\ , ; el un du troisième ordre

ayant pour dérivé \ ;\ il est aisé de voir alors que les B sont de la forme sui-

NOl VELLES REMARQUES SI B LES GROUPES CONTINUS.

vante :

les ^A, les Sa et les /a étant des fonctions algébriques des r, dépendant de l'indice A" mais indépendantes de l'indice /.

Cela posé, reprenons l'équation (2) du paragraphe \ Il

Si <p est un des coefficients de l'adjoinlc et si, en paiticulier, c'est une des racines de l'équation de Killing, on verrait comme au paragraphe \ 1 1 que -jj doit rester fini quand e""- devient très voisin de 1 et par conséquent que B' doit èlnnul. On en conclut, si ',> est une racine quelconque de l'équation do Killing,

</v, ' ,lv, '

,lv, '

Ce sont là des équations tout à t'ait analogues à l'équation ( /j ) du paragraphe \ 1 1 .

Si donc M est \\\w ratine quelconque de l'équation de Killing, et si

est un opérateur conjugué quelconque de \ (^cet opérateur peut être d'ordre quelconque, et se rapporter à une racine de l'équation de Killing (juelcontpie, la racine zi-ro seule c.Tccjtlèr . distincte ou non de w), on uLii-a alors